Condizioni sulla sublinearità di una funzione
Buon pomeriggio a tutti ,
sto studiando il teorema di esistenza e unicità globale della soluzione di un problema di cauchy. Quando si para di sublinearità della funzione è presentato un lemma in cui si dice che f definita da R ^n+1 ad R^n è sublineare sulla chiusura di un insieme S se f(t,0) è limitata e tutte le derivate parziali rispetto ad y sono continue e limitate nella chiusura di S. Per dimostrarlo il libro dice di dimostrare che f è lipschitziana con costante pari n^(1/2) per L , con L la costante che limita le derivate parziali. Ma non riesco a farlo qualcuno sa come si procede?
Grazie mille per l'aiuto.
sto studiando il teorema di esistenza e unicità globale della soluzione di un problema di cauchy. Quando si para di sublinearità della funzione è presentato un lemma in cui si dice che f definita da R ^n+1 ad R^n è sublineare sulla chiusura di un insieme S se f(t,0) è limitata e tutte le derivate parziali rispetto ad y sono continue e limitate nella chiusura di S. Per dimostrarlo il libro dice di dimostrare che f è lipschitziana con costante pari n^(1/2) per L , con L la costante che limita le derivate parziali. Ma non riesco a farlo qualcuno sa come si procede?
Grazie mille per l'aiuto.
Risposte
Beh, fissati due valori per le variabili hai:
\[
\Big||f(t,x)|-|f(t,o)|\Big|\leq |f(t,x)-f(t,o)|\leq C\ |x|
\]
per Lipshitzianità e disuguaglianza triangolare inversa (\(C\geq 0\) è un'opportuna costante); quindi:
\[
|f(t,x)|\leq |f(t,0)|+C\ |x|
\]
e la tesi segue.
\[
\Big||f(t,x)|-|f(t,o)|\Big|\leq |f(t,x)-f(t,o)|\leq C\ |x|
\]
per Lipshitzianità e disuguaglianza triangolare inversa (\(C\geq 0\) è un'opportuna costante); quindi:
\[
|f(t,x)|\leq |f(t,0)|+C\ |x|
\]
e la tesi segue.
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