Condizioni per l'uniforme continuità
esiste una condizione necessaria e sufficiente per l'uniforme continuità di una funzione?
sui libri di analisi sono sempre illustrate le condizioni classiche (heine cantor, derivata limitata, lipschitzianità, asintoti) ma sono praticamente tutte condizioni di sufficienza.
queste condizioni possono esistere? come si fa a dimostrare che possono o non possono esistere?
sui libri di analisi sono sempre illustrate le condizioni classiche (heine cantor, derivata limitata, lipschitzianità, asintoti) ma sono praticamente tutte condizioni di sufficienza.
queste condizioni possono esistere? come si fa a dimostrare che possono o non possono esistere?
Risposte
Esistono anche condizioni necessarie... Per esempio:
Se $f$ è uniformemente continua in $(a,b)$, allora è continua in $(a,b)$.
Se $f$ è uniformemente continua, allora $f$ manda insiemi limitati in insiemi limitati e manda successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.
Per esempio puoi dire che $1/x$ non è u.c. sull'intervallo $(0,1]$ usando questi risultati. Sia $a_n = 1/n$ , $n in NN$. $a_n$ è di Cauchy eppure $f(a_n) = n$ non è di Cauchy.
Se $f$ è uniformemente continua in $(a,b)$, allora è continua in $(a,b)$.
Se $f$ è uniformemente continua, allora $f$ manda insiemi limitati in insiemi limitati e manda successioni di Cauchy in successioni di Cauchy.
Per esempio puoi dire che $1/x$ non è u.c. sull'intervallo $(0,1]$ usando questi risultati. Sia $a_n = 1/n$ , $n in NN$. $a_n$ è di Cauchy eppure $f(a_n) = n$ non è di Cauchy.
Un'altra condizione necessaria è la sublinearità.
Se $f:[0,+infty) to RR$ è uniformemente continua, allora $f$ è sublineare, cioé esistono $A$,$B$ tali che $f(x)\le Ax+B$.
La dimostrazione è semplice ma istruttiva.
Se $f:[0,+infty) to RR$ è uniformemente continua, allora $f$ è sublineare, cioé esistono $A$,$B$ tali che $f(x)\le Ax+B$.
La dimostrazione è semplice ma istruttiva.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo