Condizioni per l'integrabilità: f deve essere continua?
Il mese scorso, studiando per l'Esame di Stato di liceo scientifico, trovai su un libro (di Analisi per scuole superiori) il seguente quesito:
"Una funzione continua
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
Di getto, senza pensare troppo, scartai a) e c) (palesemente errate) e risposi b). Con sorpresa, però, al fondo del libro, nelle soluzioni riportava come risposta corretta d).
Il quesito immediatamente successivo al precedente invece diceva:
"Una funzione continua in un intervallo chiuso
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
E questa volta la risposta esatta era proprio la b).
Ero un po' scettico a proposito di questi quesiti, insomma non capivo bene, perchè io avevo sempre saputo che l'insieme delle funzioni integrabili è "più grande" di quello delle funzioni continue (meglio: l'insieme delle funzioni continue è un sottoinsieme delle funzioni integrabili: il che penso sia vero, perchè teoricamente io posso integrare anche una funzione con tanti "saltini", tipo una scala sfruttando la proprietà additiva dell'integrazione).
Tuttavia, discutendone con un mio amico (il grande Luca Lussardi) eravamo giunti alla considerazione che bisogna sempre sapere "dove" si sta integrando. In effetti, a meno di giochi di parole, l'integrale indefinito non è ben definito: dal teorema di Torricelli-Barrow, si sa che però si può scrivere che $int f(x)dx = int_a^xf(t)dt + c$, dove $c$ è opportuna costante reale.
La questione sembrava conclusa lì. Il problema è che stamattina, per caso, ho trovato su un libro - per l'Università - la seguente frase: "La definizione di integrale definito (e quindi di integrale indefinito, aggiungo io) si riferisce a una funzione $f$ limitata su un intervallo $[a,b]$. Non occorre che sia anche continua, anche se spesso per comodità nei grafici compare sempre il diagramma di una funzione continua".
Insomma, adesso, cercando di tagliare e sintetizzare, che pasticci ho combinato? Mi potete per cortesia dire quali sono le condizioni per cui una funzione è integrabile? Deve essere continua? limitata?
Mi scuso se sono stato prolisso e se i miei dubbi potranno sembrare stupidi a qualcuno: ma ho voglia di fare chiarezza e di approfondire.
GRAZIE in anticipo.
Paolo
"Una funzione continua
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
Di getto, senza pensare troppo, scartai a) e c) (palesemente errate) e risposi b). Con sorpresa, però, al fondo del libro, nelle soluzioni riportava come risposta corretta d).
Il quesito immediatamente successivo al precedente invece diceva:
"Una funzione continua in un intervallo chiuso
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
E questa volta la risposta esatta era proprio la b).
Ero un po' scettico a proposito di questi quesiti, insomma non capivo bene, perchè io avevo sempre saputo che l'insieme delle funzioni integrabili è "più grande" di quello delle funzioni continue (meglio: l'insieme delle funzioni continue è un sottoinsieme delle funzioni integrabili: il che penso sia vero, perchè teoricamente io posso integrare anche una funzione con tanti "saltini", tipo una scala sfruttando la proprietà additiva dell'integrazione).
Tuttavia, discutendone con un mio amico (il grande Luca Lussardi) eravamo giunti alla considerazione che bisogna sempre sapere "dove" si sta integrando. In effetti, a meno di giochi di parole, l'integrale indefinito non è ben definito: dal teorema di Torricelli-Barrow, si sa che però si può scrivere che $int f(x)dx = int_a^xf(t)dt + c$, dove $c$ è opportuna costante reale.
La questione sembrava conclusa lì. Il problema è che stamattina, per caso, ho trovato su un libro - per l'Università - la seguente frase: "La definizione di integrale definito (e quindi di integrale indefinito, aggiungo io) si riferisce a una funzione $f$ limitata su un intervallo $[a,b]$. Non occorre che sia anche continua, anche se spesso per comodità nei grafici compare sempre il diagramma di una funzione continua".
Insomma, adesso, cercando di tagliare e sintetizzare, che pasticci ho combinato? Mi potete per cortesia dire quali sono le condizioni per cui una funzione è integrabile? Deve essere continua? limitata?
Mi scuso se sono stato prolisso e se i miei dubbi potranno sembrare stupidi a qualcuno: ma ho voglia di fare chiarezza e di approfondire.
GRAZIE in anticipo.
Paolo
Risposte
L'integrale di Riemann si definisce per funzioni limitate definite su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$. C'è poi il teorema che ti dice che se una funzione è continua su $[a,b]$ limitato allora è ivi integrabile secondo Riemann (è una bella applicazione del Teorema di Heine-Cantor). Ma le funzioni integrabili secondo Riemann sono molte di più delle funzioni continue (ad esempio le costanti a tratti); esiste un Teorema, che va al di là dell'Analisi I, che caratterizza le funzioni integrabili secondo Riemann in termini delle loro discontinuità: una funzione $f : [a,b] \to \RR$ è integrabile secondo Riemann se e solo se il suo insieme di discontinuità è Lebesgue-trascurabile.
Ciao Luca,
ci sentiamo anche qui
. Anzitutto, grazie mille per la risposta. Ho capito, stiamo parlando di integrale di Riemann, per cui "affettiamo" la $f$ in verticale: $f$ deve essere limitata e continua su un chiuso e limitato $[a,b]$. Ok, fin qui ci sono. GRAZIE.
Quanto al teorema di Heine-Cantor, l'ho sentito e l'ho letto su un libro di Analisi II che ho comprato recentemente con qualcuno (... ). Non riesco soltanto a comprenderlo perchè non riesco a capire che cosa intende per "uniformemente continua": qui si vedono i miei buchi di Analisi II...
GRAZIE per l'aiuto.
Paolo
ci sentiamo anche qui
. Anzitutto, grazie mille per la risposta. Ho capito, stiamo parlando di integrale di Riemann, per cui "affettiamo" la $f$ in verticale: $f$ deve essere limitata e continua su un chiuso e limitato $[a,b]$. Ok, fin qui ci sono. GRAZIE.Quanto al teorema di Heine-Cantor, l'ho sentito e l'ho letto su un libro di Analisi II che ho comprato recentemente con qualcuno (...
). Non riesco soltanto a comprenderlo perchè non riesco a capire che cosa intende per "uniformemente continua": qui si vedono i miei buchi di Analisi II... GRAZIE per l'aiuto.
Paolo
L'uniforme continuità è una condizione di continuità un filino più forte; detto in parole povere prendi la definizione di continuità solita $\epsilon-\delta$ e imponi che $\delta$ dipenda solo da $\epsilon$ e non dal punto $x_0$ nel quale definisci la continuità.
Il significato geometrico è questo: una funzione uniformemente continua ha il grafico che non si impenna troppo, anche se tale significato vale solo su intervalli illimitati, infatti il Th di Heine-Cantor ti dice che su un intervallo chiuso e limitato continuità e uniforme continuità coincidono. Per avere il vero controllo sull'impennarsi del grafico la nozione giusta è rappresentata dalla lipschitzianità.
Il significato geometrico è questo: una funzione uniformemente continua ha il grafico che non si impenna troppo, anche se tale significato vale solo su intervalli illimitati, infatti il Th di Heine-Cantor ti dice che su un intervallo chiuso e limitato continuità e uniforme continuità coincidono. Per avere il vero controllo sull'impennarsi del grafico la nozione giusta è rappresentata dalla lipschitzianità.
"Luca.Lussardi":
L'uniforme continuità è una condizione di continuità un filino più forte; detto in parole povere prendi la definizione di continuità solita $\epsilon-\delta$ e imponi che $\delta$ dipenda solo da $\epsilon$ e non dal punto $x_0$ nel quale definisci la continuità.
Il significato geometrico è questo: una funzione uniformemente continua ha il grafico che non si impenna troppo, anche se tale significato vale solo su intervalli illimitati, infatti il Th di Heine-Cantor ti dice che su un intervallo chiuso e limitato continuità e uniforme continuità coincidono. Per avere il vero controllo sull'impennarsi del grafico la nozione giusta è rappresentata dalla lipschitzianità.
Ho letto in giro per il web oggi pomeriggio e mi sono informato. Ho capito in linea di massima che cosa si intende, ho capito che $\delta$ non deve dipendere da $x_0$ (infatti, ha senso di parlare di contitnuità uniforme solo in un intervallo, non in un punto: cosa non vera per la continuità).
L'unica cosa che non capisco è la seguente: prendi una qualsiasi funzione continua, tipo $y=1/x$ in $(0, +oo)$. Se prendi la definizione di continuità $\epsilon-\delta$ solita, alla fine trovi un valore di $\delta_\epsilon$ che dipende appunto solo da $\epsilon$, proprio come succede quando verifichi i limiti: però tale funzione nell'intervallo non è uniformemente continua. Dov'è l'errore?
Quanto alla lipschitzianità ricordo che anche di quella una volta avevamo parlato (a proposito del Teorema di Rademacher, mi pare): volendo, uno potrebbe poi controllare quanto si impenna il grafico anche studiando se la funzione è $\alpha$-holderiana, no?
Grazie mille come al solito.
Paolo
$1/x$ è uniformemente continua in ogni intervallo $[\delta,+\infty)$ ma non in $(0,+\infty)$. Se fai il conto vedi che su $(0,+\infty)$ il $\delta$ dipende anche dal punto e si stringe man mano che vai verso $0$...
Per l'holderianiità sì, è corretto, è una condizione che sta tra l'uniforme continuità e la lipschitzianità.
Per l'holderianiità sì, è corretto, è una condizione che sta tra l'uniforme continuità e la lipschitzianità.
Praticamente dovrei fare così: data $y=1/x$ prendo un punto $x_0$ e devo vedere se
$\forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta_\epsilon > 0 \ \ \mbox{ tale che} \forall x : |x-x_0|<\delta_\epsilon -> |f(x)-f(x_0)|< \epsilon$
Quindi, procederei così:
$|1/x - 1/x_0|< \epsilon$
$-\epsilon < 1/x-1/x_0 < \epsilon $
Poi potrei sommare ai tre membri $1/x_0$, prendere gli inversi girando i versi. Ma mi sa che ho sbagliato qualcosa, perchè non mi trovo... anche perchè non riesco a vedere la diversità in questo caso tra un intervallo del tipo $(0, +oo)$ e $[\delta, +oo)$.
Scusa se non capisco nulla.
GRAZIE.
P.S. Tutto chiaro in linea teorica comunque... certo, man mano che vai verso $0$ il rettangolo si stringe... però come si giustifica? Grazie anche per la conferma sull'holderianità.
$\forall \epsilon > 0 \ \ \exists \delta_\epsilon > 0 \ \ \mbox{ tale che} \forall x : |x-x_0|<\delta_\epsilon -> |f(x)-f(x_0)|< \epsilon$
Quindi, procederei così:
$|1/x - 1/x_0|< \epsilon$
$-\epsilon < 1/x-1/x_0 < \epsilon $
Poi potrei sommare ai tre membri $1/x_0$, prendere gli inversi girando i versi. Ma mi sa che ho sbagliato qualcosa, perchè non mi trovo... anche perchè non riesco a vedere la diversità in questo caso tra un intervallo del tipo $(0, +oo)$ e $[\delta, +oo)$.
Scusa se non capisco nulla.
GRAZIE.
P.S. Tutto chiaro in linea teorica comunque... certo, man mano che vai verso $0$ il rettangolo si stringe... però come si giustifica? Grazie anche per la conferma sull'holderianità.
La risposta giusta era la b)
Una funzione continua [definita su un insieme accettebile per le scuole secondarie] ha integrale indefinito, cioè ammette primitive.
Una funzione continua [definita su un insieme accettebile per le scuole secondarie] ha integrale indefinito, cioè ammette primitive.
"Fioravante Patrone":
La risposta giusta era la b)
Una funzione continua [definita su un insieme accettebile per le scuole secondarie] ha integrale indefinito, cioè ammette primitive.
Thanks a lot. E' bello sapere che ogni tanto qualcuno (per di più, non uno qualsiasi, ma Fioravante Patrone in persona...) la pensa come te.
Paolo
"Fioravante Patrone":
La risposta giusta era la b)
Una funzione continua [definita su un insieme accettebile per le scuole secondarie] ha integrale indefinito, cioè ammette primitive.
Se per insieme accettabile intendi un intervallo chiuso e limitato, allora basta il teorema fondamentale del calcolo integrale, altrimenti come fai a dire ciò?
Tempo fa aprii un topic su questo argomento e non saltarono fuori condizioni necessarie e sufficienti su un generico sottoinsieme dei reali....
@Leonardo89, 1
Prendiamo $RR$, ok?
Se $f:RR -> RR$ è continua, allora $\int_0^x f(t) dt$ è una primitiva di $f$.
Easy, isn't it?
Il fatto è che il tfci passa attaverso l'uso di una funzione integrale, che per essere definita richiede semplicemente integrali definiti su intervalli chiusi e limitati.
No problem at all.
@Paolo90
Sarà un banale errore di stampa.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
@Leonardo89, 2
Riguardo ai tuoi post vecchi essi sono su un'altra questione, meno banale: CNS per ammettere primitiva. Alla quale non so dare risposta. Qui hai una funzione continua, ergo è ovvio che abbia primitive.
Prendiamo $RR$, ok?
Se $f:RR -> RR$ è continua, allora $\int_0^x f(t) dt$ è una primitiva di $f$.
Easy, isn't it?
Il fatto è che il tfci passa attaverso l'uso di una funzione integrale, che per essere definita richiede semplicemente integrali definiti su intervalli chiusi e limitati.
No problem at all.
@Paolo90
Sarà un banale errore di stampa.
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
@Leonardo89, 2
Riguardo ai tuoi post vecchi essi sono su un'altra questione, meno banale: CNS per ammettere primitiva. Alla quale non so dare risposta. Qui hai una funzione continua, ergo è ovvio che abbia primitive.
Probabilmente è un errore di stampa, però trovo di pessima abitudine dare le funzioni senza dire dove queste sono definite... a lupo grigio fischieranno le orecchie.
"Luca.Lussardi":
Probabilmente è un errore di stampa, però trovo di pessima abitudine dare le funzioni senza dire dove queste sono definite... a lupo grigio fischieranno le orecchie.
Grazie mille per l'aiuto.
Tornando alla continuità uniforme di $1/x$ è corretto il tuo conto, alla fine se scrivi la disuguaglianza come $...\le x \le...$ vedi che $\delta$ dipende da $\epsilon$ e $x_0$. Se invece ragioni in un intervallo della forma $[a,+\infty)$ con $a>0$ (uso $a$ invece di $\delta$ per ovvie ragioni) e rifai la definizione di continuità vedi che puoi scegliere un $\delta_\epsilon$ che va bene per tutti gli $x$ in $[a,+\infty)$ prendendo semplicemente il minimo dei $\delta_\epsilon(x_0)$ che trovi, minimo che non è zero perchè stai minimizzando con $x_0 \in [a,+\infty)$.
"Luca.Lussardi":
Tornando alla continuità uniforme di $1/x$ è corretto il tuo conto, alla fine se scrivi la disuguaglianza come $...\le x \le...$ vedi che $\delta$ dipende da $\epsilon$ e $x_0$.
In effetti, proseguendo nei miei conti - salvo sviste - alla fine ottengo $x_0/(1+\epsilonx_0) < x < x_0/(1-\epsilonx_0)$, e come si può vedere i due membri più esterni dipendono effettivamente da $\epsilon$ e $x_0$.
"Luca.Lussardi":
Se invece ragioni in un intervallo della forma $[a,+\infty)$ con $a>0$ (uso $a$ invece di $\delta$ per ovvie ragioni) e rifai la definizione di continuità vedi che puoi scegliere un $\delta_\epsilon$ che va bene per tutti gli $x$ in $[a,+\infty)$ prendendo semplicemente il minimo dei $\delta_\epsilon(x_0)$ che trovi, minimo che non è zero perchè stai minimizzando con $x_0 \in [a,+\infty)$.
"Rifacendo" i conti in un intervallo del tipo $[a,+\infty)$ trovo $a/(1+\epsilona) < x Perdona la mia infinita ignoranza.
Grazie.
Cambia che non dipende più da $x_0$, quindi hai verificato la condizione di uniforme continuità; il $\delta$ che hai trovato dipende solo da $a$ e $\epsilon$.
@ Paolo90
Ho letto nei precedenti post che "la funzione deve essere limitata e continua su di un intervallo chiuso è limitato".
Pongo una questione che può sembrare effimera, ma a me sembra che basti dire la funzione sia continua su di un chiuso e limitato. Ciò da solo, in forza del teorema di Weirstrass, garantisce che la funzione sia limitata... o no?
Ho letto nei precedenti post che "la funzione deve essere limitata e continua su di un intervallo chiuso è limitato".
Pongo una questione che può sembrare effimera, ma a me sembra che basti dire la funzione sia continua su di un chiuso e limitato. Ciò da solo, in forza del teorema di Weirstrass, garantisce che la funzione sia limitata... o no?
"maurymat":
@ Paolo90
Ho letto nei precedenti post che "la funzione deve essere limitata e continua su di un intervallo chiuso è limitato".
Pongo una questione che può sembrare effimera, ma a me sembra che basti dire la funzione sia continua su di un chiuso e limitato. Ciò da solo, in forza del teorema di Weirstrass, garantisce che la funzione sia limitata... o no?
Vero, caspita, mi era sfuggito. Grazie per l'osservazione molto precisa.
Tornando alla questione principale,
Ah, ecco: ho capito. Praticamente ora $delta$ dipende solo più da $a$ che è un estremo dell'intervallo e non più dal punto $x_0$. Sì, in linea di massima ci sono.
Posso chiederti un favore? Mi dai un altro esempio di una funzione che sia uniformemente continua su un intervallo, please, cosicchè io possa verificarlo per vedere se ho realmente capito? Grazie.
"Luca.Lussardi":
Cambia che non dipende più da $x_0$, quindi hai verificato la condizione di uniforme continuità; il $\delta$ che hai trovato dipende solo da $a$ e $\epsilon$.
Ah, ecco: ho capito. Praticamente ora $delta$ dipende solo più da $a$ che è un estremo dell'intervallo e non più dal punto $x_0$. Sì, in linea di massima ci sono.
Posso chiederti un favore? Mi dai un altro esempio di una funzione che sia uniformemente continua su un intervallo, please, cosicchè io possa verificarlo per vedere se ho realmente capito? Grazie.
$e^{-x}$ è uniformemente continua in $(0,+\infty)$ ma non su tutto $\RR$.
"Luca.Lussardi":
$e^{-x}$ è uniformemente continua in $(0,+\infty)$ ma non su tutto $\RR$.
Mannaggia, non ci siamo.
Allora, devo verificare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta_\epsilon > 0 \mbox{ tale che } \forall x,y \in (0, +oo) \mbox{ } |x-y|<\delta_\epsilon -> |f(x)-f(y)|<\epsilon$.
Con le consuete manipolazioni algebriche, arrivo alla fine a $-log(e^-y-\epsilon) < x < - log(e^-y+\epsilon)$. In effetti, il $\delta_\epsilon$ non dipende dal punto $x$.
Se faccio lo stesso ragionamento in $(-oo, + oo)$, cioè $RR$, che cosa cambia? alla fine ho sempre la stessa disequazione, no? Aiutami, ti prego, sono un caso disperato...
GRAZIE
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