Condizioni per l'integrabilità: f deve essere continua?
Il mese scorso, studiando per l'Esame di Stato di liceo scientifico, trovai su un libro (di Analisi per scuole superiori) il seguente quesito:
"Una funzione continua
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
Di getto, senza pensare troppo, scartai a) e c) (palesemente errate) e risposi b). Con sorpresa, però, al fondo del libro, nelle soluzioni riportava come risposta corretta d).
Il quesito immediatamente successivo al precedente invece diceva:
"Una funzione continua in un intervallo chiuso
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
E questa volta la risposta esatta era proprio la b).
Ero un po' scettico a proposito di questi quesiti, insomma non capivo bene, perchè io avevo sempre saputo che l'insieme delle funzioni integrabili è "più grande" di quello delle funzioni continue (meglio: l'insieme delle funzioni continue è un sottoinsieme delle funzioni integrabili: il che penso sia vero, perchè teoricamente io posso integrare anche una funzione con tanti "saltini", tipo una scala sfruttando la proprietà additiva dell'integrazione).
Tuttavia, discutendone con un mio amico (il grande Luca Lussardi) eravamo giunti alla considerazione che bisogna sempre sapere "dove" si sta integrando. In effetti, a meno di giochi di parole, l'integrale indefinito non è ben definito: dal teorema di Torricelli-Barrow, si sa che però si può scrivere che $int f(x)dx = int_a^xf(t)dt + c$, dove $c$ è opportuna costante reale.
La questione sembrava conclusa lì. Il problema è che stamattina, per caso, ho trovato su un libro - per l'Università - la seguente frase: "La definizione di integrale definito (e quindi di integrale indefinito, aggiungo io) si riferisce a una funzione $f$ limitata su un intervallo $[a,b]$. Non occorre che sia anche continua, anche se spesso per comodità nei grafici compare sempre il diagramma di una funzione continua".
Insomma, adesso, cercando di tagliare e sintetizzare, che pasticci ho combinato? Mi potete per cortesia dire quali sono le condizioni per cui una funzione è integrabile? Deve essere continua? limitata?
Mi scuso se sono stato prolisso e se i miei dubbi potranno sembrare stupidi a qualcuno: ma ho voglia di fare chiarezza e di approfondire.
GRAZIE in anticipo.
Paolo
"Una funzione continua
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
Di getto, senza pensare troppo, scartai a) e c) (palesemente errate) e risposi b). Con sorpresa, però, al fondo del libro, nelle soluzioni riportava come risposta corretta d).
Il quesito immediatamente successivo al precedente invece diceva:
"Una funzione continua in un intervallo chiuso
a) è derivabile;
b) ammette integrale indefinito;
c) è monotona;
d) nessuna risposta precedente è vera."
E questa volta la risposta esatta era proprio la b).
Ero un po' scettico a proposito di questi quesiti, insomma non capivo bene, perchè io avevo sempre saputo che l'insieme delle funzioni integrabili è "più grande" di quello delle funzioni continue (meglio: l'insieme delle funzioni continue è un sottoinsieme delle funzioni integrabili: il che penso sia vero, perchè teoricamente io posso integrare anche una funzione con tanti "saltini", tipo una scala sfruttando la proprietà additiva dell'integrazione).
Tuttavia, discutendone con un mio amico (il grande Luca Lussardi) eravamo giunti alla considerazione che bisogna sempre sapere "dove" si sta integrando. In effetti, a meno di giochi di parole, l'integrale indefinito non è ben definito: dal teorema di Torricelli-Barrow, si sa che però si può scrivere che $int f(x)dx = int_a^xf(t)dt + c$, dove $c$ è opportuna costante reale.
La questione sembrava conclusa lì. Il problema è che stamattina, per caso, ho trovato su un libro - per l'Università - la seguente frase: "La definizione di integrale definito (e quindi di integrale indefinito, aggiungo io) si riferisce a una funzione $f$ limitata su un intervallo $[a,b]$. Non occorre che sia anche continua, anche se spesso per comodità nei grafici compare sempre il diagramma di una funzione continua".
Insomma, adesso, cercando di tagliare e sintetizzare, che pasticci ho combinato? Mi potete per cortesia dire quali sono le condizioni per cui una funzione è integrabile? Deve essere continua? limitata?
Mi scuso se sono stato prolisso e se i miei dubbi potranno sembrare stupidi a qualcuno: ma ho voglia di fare chiarezza e di approfondire.
GRAZIE in anticipo.
Paolo
Risposte
"Paolo90":
[quote="Luca.Lussardi"]$e^{-x}$ è uniformemente continua in $(0,+\infty)$ ma non su tutto $\RR$.
Allora, devo verificare che $\forall \epsilon > 0 \exists \delta_\epsilon > 0 \mbox{ tale che } \forall x,y \in (0, +oo) \mbox{ } |x-y|<\delta_\epsilon -> |f(x)-f(y)|<\epsilon$.[/quote]
Invece di far conti, non sarebbe meglio notare che $"e"^(-x)$ gode della proprietà:
$|"e"^(-x) -"e"^(-y)|<=|x-y|$
per $x,y \in [0,+oo[$?
(Infatti $"e"^(-x)$ è di classe $C^oo$ ed ha la derivata prima limitata; quindi per ottenere la disuguaglianza basta applicare il teorema di Lagrange, mettere un po' di valori assoluti e maggiorare convenientemente.)
Non è una questione di via più breve per provare l'uniforme continuità, il fatto è che Paolo voleva "toccare con mano" (a quanto ho capito) l'indipendenza del $\delta$ dal punto per capire davvero dove sta l'uniforme continuità di una funzione. Forse l'esempio che ho dato non è facile da studiare a mano... ma il principio è lo stesso, uno trova il $\delta$ "puntuale" e scopre che su $(0,+\infty)$ lo può limitare dal basso, mentre su tutto $\RR$ il minimo (inf) è $0$.
"Luca.Lussardi":
Non è una questione di via più breve per provare l'uniforme continuità, il fatto è che Paolo voleva "toccare con mano" (a quanto ho capito) l'indipendenza del $\delta$ dal punto per capire davvero dove sta l'uniforme continuità di una funzione. Forse l'esempio che ho dato non è facile da studiare a mano... ma il principio è lo stesso, uno trova il $\delta$ "puntuale" e scopre che su $(0,+\infty)$ lo può limitare dal basso, mentre su tutto $\RR$ il minimo (inf) è $0$.
Sì, esatto, era una questione di "toccare con mano". Chiedo scusa a Gugo82 se non sono così sveglio a notare certe cose "ovvie" ma ho molto da imparare, lo so, e sono qui apposta. Grazie comunque per i suoi suggerimenti. E GRAZIE mille, Luca, per l'aiuto.
"Paolo90":
[quote="Luca.Lussardi"]Non è una questione di via più breve per provare l'uniforme continuità, il fatto è che Paolo voleva "toccare con mano" (a quanto ho capito) l'indipendenza del $\delta$ dal punto per capire davvero dove sta l'uniforme continuità di una funzione. Forse l'esempio che ho dato non è facile da studiare a mano... ma il principio è lo stesso, uno trova il $\delta$ "puntuale" e scopre che su $(0,+\infty)$ lo può limitare dal basso, mentre su tutto $\RR$ il minimo (inf) è $0$.
Sì, esatto, era una questione di "toccare con mano". Chiedo scusa a Gugo82 se non sono così sveglio a notare certe cose "ovvie" ma ho molto da imparare, lo so, e sono qui apposta.[/quote]
Vabbè, non c'è nulla di cui scusarti... La cosa è scocciante da fare a mano, perciò ho suggerito una via alternativa.
Un esempio più comodo è il classico $f(x)=x^2$ per $x \in [0,1]$.
Sì, anche se prendendo un compatto l'inconveniente è che ogni funzione continua diventa uniformemente continua grazie alla compattezza del dominio che fa "magicamente" sempre apparire l'uniformità del $\delta$. Secondo me gli esempi migliori se uno vuole vedere questa uniforme continuità sono su intervalli illimitati, in modo che non entri in gioco Heine-Cantor, poi forse quelli che ho dato io come conti sono però complessi...
"Gugo82":
Un esempio più comodo è il classico $f(x)=x^2$ per $x \in [0,1]$.
Prima di partire a macchinetta con i conti (se no Gugo si arrabbia
) noto che $|x^2-y^2|=|x-y||x+y|$. Ora, $x,y \in [0,1]$ perciò $|x^2-y^2|=|x-y|(x+y)$. A questo punto sarebbe utile una maggiorazione per cui magicamente "sparisse" il termine $x+y$. Forse da lì poi si potrebbe concludere, giusto? Il problema è che non mi viene in mente nessuna maggiorazione di questo tipo. Grazie.
Beh... Se $x<=1, y<=1$ allora $x+y<=\ldots$ 
Se poi vogliamo accontentare Luca, possiamo prendere $f(x):=(x+1)/x$ in $[pi/sqrt(2)-("e")/pi,+oo[$; oppure $g(x):=(x^2+1)/x$ in $[pi/("e" sqrt(7)), +oo[$.
Se poi vogliamo accontentare Luca, possiamo prendere $f(x):=(x+1)/x$ in $[pi/sqrt(2)-("e")/pi,+oo[$; oppure $g(x):=(x^2+1)/x$ in $[pi/("e" sqrt(7)), +oo[$.
Sì, addirittura se $f : [0,+\infty) \to \RR$ è continua e ha un asintoto obliquo allora è uniformemente continua, questo è più astratto ma è carino che la condizione di asintoto obliquo permette di provare l'uniforme continuità.
Mamma mia, stavo veramente annegando in una pozzanghera... scusate. Certo, se $x<=1, y<=1$ allora ovviamente $x+y<=2$. Perciò posso dire che $|x^2-y^2|<2|x-y|$, per cui prendendo $\delta_\epsilon = \epsilon/2$ ho verificato che la funzione $f(x)=x^2$ è uniformemente continua nel compatto $[0,1]$. Ho sbagliato qualcosa, vero? Me lo sento...
Sì, l'avevo letto sulle tue dispense. E mi sono detto: "Caspita, bel risultato! Sarebbe bello dimostrarlo". Ma, francamente, non so da dove cominciare (che novità, eh?).
Ciao e grazie a entrambi.
Paolo
"Luca.Lussardi":
Sì, addirittura se $f : [0,+\infty) \to \RR$ è continua e ha un asintoto obliquo allora è uniformemente continua, questo è più astratto ma è carino che la condizione di asintoto obliquo permette di provare l'uniforme continuità.
Sì, l'avevo letto sulle tue dispense. E mi sono detto: "Caspita, bel risultato! Sarebbe bello dimostrarlo". Ma, francamente, non so da dove cominciare (che novità, eh?).
Ciao e grazie a entrambi.
Paolo
"Paolo90":
Mamma mia, stavo veramente annegando in una pozzanghera... scusate. Certo, se $x<=1, y<=1$ allora ovviamente $x+y<=2$. Perciò posso dire che $|x^2-y^2|<2|x-y|$, per cui prendendo $\delta_\epsilon = \epsilon/2$ ho verificato che la funzione $f(x)=x^2$ è uniformemente continua nel compatto $[0,1]$. Ho sbagliato qualcosa, vero? Me lo sento...
Nono, tutto a posto; la dimostrazione è proprio così che va a finire.
Nello stesso ordine di idee c'è quella dell'uniforme continuità della potenza $x^n$ per $n \in NN$ in ogni intervallo limitato.
(Ovviamente se non vuoi applicare il teorema di Cantor citato da Luca.)
Provato a risolvere quei due esercizietti?
Più o meno siamo sempre lì...
il problema invece secondo me risiede nella parola "indefinito"(non a livello di superiori) se prendiamo ad esempio $e^(x^2)$ in $[a,b]$ sappiamo che è integrabile secondo riemann perchè continua in un intervallo però se non sbaglio non si può fare l'integrale indefinito.
Caso mai non esiste una primitiva in forma elementare...
esattamente! e a questo punto l'integrale indefinito si può fare?Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua ma credo che di queste funzioni si possa fare solamente uno studio "qualitativo",(crescenza,concavità,convergenza,ecc.) se consideriamo l'integrale indefinito.E' corretto?
Saperlo fare a mano e trovare una forma elementare della primitiva è diverso che dire che esiste. Ci sono funzioni per cui l'integrale non esiste proprio, ad esempio la funzione di Dirichlet non è integrabile secondo Riemann, ma qui non stiamo dicendo che è impossibile scrivere la primitiva in forma elementare, stiamo dicendo che la primitiva non c'è proprio...
Ok grazie!avevo capito proprio male il topic.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo