Condizione sufficiente per la continuità
Il testo dell'esercizio è questo:
Supponiamo che [tex]f[/tex] sia una funzione reale definita su [tex]\mathbb{R}[/tex] che soddisfi:
[tex]lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x-h)]=0[/tex]
per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]. Questo implica che [tex]f[/tex] è continua?
Secondo me la risposta è sì. E io lo avrei dimostrato così:
La diseguaglianza che voglio utilizzare (valida per ipotesi) è questa:
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon >0, \exists \delta_{h}=\delta_{h}(\varepsilon, x)>0 \ t.c. \forall h : 0). Considero [tex]\bar{x}=\frac{x+y}{2}[/tex], e per costruzione [tex]\frac{y-x}{2}<\delta /2[/tex].
Ora, [tex]\forall \varepsilon >0, \exists \delta=\delta(\varepsilon, x)>0 \ t.c. \forall y\in \mathbb{R} : y\in(x-\delta,x+\delta)\setminus\{x\}[/tex], si ha:[tex]\mid f(x)-f(y)\mid=\mid f(\bar{x}-\frac{y-x}{2})-f(\bar{x}+\frac{y-x}{2})\mid=[/tex](chiamando [tex]h[/tex] e [tex]\delta_{h}[/tex] rispettivamente [tex]h=\frac{y-x}{2}<\delta /2=\delta_{h}[/tex])[tex]= \mid f(\bar{x}-h)-f(\bar{x}+h)\mid<\varepsilon[/tex] poiché posso usare la [tex](1)[/tex] anche per [tex]\bar{x}\in\mathbb{R}[/tex].
Da questo si deduce che [tex]f[/tex] è continua in [tex]\bar{x}[/tex], perciò per arbitrarietà di [tex]\bar{x}[/tex], [tex]f[/tex] è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Ringrazio in anticipo per eventuali commenti e risposte.
Ciao
Supponiamo che [tex]f[/tex] sia una funzione reale definita su [tex]\mathbb{R}[/tex] che soddisfi:
[tex]lim_{h\to0}[f(x+h)-f(x-h)]=0[/tex]
per ogni [tex]x \in \mathbb{R}[/tex]. Questo implica che [tex]f[/tex] è continua?
Secondo me la risposta è sì. E io lo avrei dimostrato così:
La diseguaglianza che voglio utilizzare (valida per ipotesi) è questa:
[tex]\forall x \in \mathbb{R}, \forall \varepsilon >0, \exists \delta_{h}=\delta_{h}(\varepsilon, x)>0 \ t.c. \forall h : 0
Ora, [tex]\forall \varepsilon >0, \exists \delta=\delta(\varepsilon, x)>0 \ t.c. \forall y\in \mathbb{R} : y\in(x-\delta,x+\delta)\setminus\{x\}[/tex], si ha:[tex]\mid f(x)-f(y)\mid=\mid f(\bar{x}-\frac{y-x}{2})-f(\bar{x}+\frac{y-x}{2})\mid=[/tex](chiamando [tex]h[/tex] e [tex]\delta_{h}[/tex] rispettivamente [tex]h=\frac{y-x}{2}<\delta /2=\delta_{h}[/tex])[tex]= \mid f(\bar{x}-h)-f(\bar{x}+h)\mid<\varepsilon[/tex] poiché posso usare la [tex](1)[/tex] anche per [tex]\bar{x}\in\mathbb{R}[/tex].
Da questo si deduce che [tex]f[/tex] è continua in [tex]\bar{x}[/tex], perciò per arbitrarietà di [tex]\bar{x}[/tex], [tex]f[/tex] è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex].
Ringrazio in anticipo per eventuali commenti e risposte.
Ciao
Risposte
Prova a considerare la funzione
\[
f(x) :=
\begin{cases}
1, & x=0,\\
0, & x\neq 0.
\end{cases}
\]
\[
f(x) :=
\begin{cases}
1, & x=0,\\
0, & x\neq 0.
\end{cases}
\]
Ok. Sono d'accordo con @Rigel che la sua funzione rispetta le ipotesi ed è discontinua in 0.
Ma allora qualcuno sa dirmi dov'è l'errore nella mia dimostrazione? Io non riesco a trovarlo...
Grazie
Ma allora qualcuno sa dirmi dov'è l'errore nella mia dimostrazione? Io non riesco a trovarlo...
Grazie
Il problema è che la tua dimostrazione non dimostra nulla, perché è una semplice riscrittura della proprietà di convergenza che hai assunto come ipotesi.
Ho riletto meglio la mia dimostrazione e credo di aver trovato il punto debole (che forse aveva già individuato @gugo82):
io avrei dovuto trovare un [tex]\delta=\delta(\varepsilon, x)[/tex], e invece nella disuguaglianza della presunta continuità utilizzo l'uguaglianza [tex]\delta/2=\delta_{h}[/tex], dove [tex]\delta_{h}=\delta_{h}(\varepsilon, \bar{x})[/tex] e non [tex]\delta_{h}(\varepsilon, x)[/tex].
Per questo non posso dire che [tex]f[/tex] è continua in [tex]x[/tex].
io avrei dovuto trovare un [tex]\delta=\delta(\varepsilon, x)[/tex], e invece nella disuguaglianza della presunta continuità utilizzo l'uguaglianza [tex]\delta/2=\delta_{h}[/tex], dove [tex]\delta_{h}=\delta_{h}(\varepsilon, \bar{x})[/tex] e non [tex]\delta_{h}(\varepsilon, x)[/tex].
Per questo non posso dire che [tex]f[/tex] è continua in [tex]x[/tex].
(Non capisco se nel testo intendevi scrivere un valore assoluto con le parentesi quadre. Comunque immagino di no!)
Secondo me in modo molto più semplice puoi notare che il testo dell'esercizio dice:
$ lim_(h -> 0) f(x+h) = lim_(h -> 0) f(x-h) $ per la linearità del limite
Se tu fissi il valore di $x$, il limite a primo membro non è altro che il limite destro di $f$ in $x$, mentre il secondo membro è il limite sinistro
Quindi, se non ho sbagliato tutto, il tuo esercizio chiede se l'uguaglianza dei limiti in un qualsiasi punto basta a affermare che la funzione è continua, cosa che chiaramente non è vera!
Riguardo alla tua dimostrazione, io non sono assolutamente un esperto ma avrei una vaga idea... secondo me l'errore sta nel passaggio finale in cui affermi che la funzione è continua: stai implicitamente utilizzando la proposizione $(1)$ di partenza come garante della continuità... per dimostrare questo stesso fatto!
Il fatto che $|f(bar(x) +h) - f(bar(x)-h)|< epsilon$ per un $bar(x)$ vicinissimo a $x$ secondo me non dimostra nulla, perché la dimostrazione non fornisce nessuna informazione sul valore della funzione in $bar(x)$...!
Secondo me in modo molto più semplice puoi notare che il testo dell'esercizio dice:
$ lim_(h -> 0) f(x+h) = lim_(h -> 0) f(x-h) $ per la linearità del limite
Se tu fissi il valore di $x$, il limite a primo membro non è altro che il limite destro di $f$ in $x$, mentre il secondo membro è il limite sinistro
Quindi, se non ho sbagliato tutto, il tuo esercizio chiede se l'uguaglianza dei limiti in un qualsiasi punto basta a affermare che la funzione è continua, cosa che chiaramente non è vera!
Riguardo alla tua dimostrazione, io non sono assolutamente un esperto ma avrei una vaga idea... secondo me l'errore sta nel passaggio finale in cui affermi che la funzione è continua: stai implicitamente utilizzando la proposizione $(1)$ di partenza come garante della continuità... per dimostrare questo stesso fatto!
Il fatto che $|f(bar(x) +h) - f(bar(x)-h)|< epsilon$ per un $bar(x)$ vicinissimo a $x$ secondo me non dimostra nulla, perché la dimostrazione non fornisce nessuna informazione sul valore della funzione in $bar(x)$...!
"Gendarmevariante":
Secondo me in modo molto più semplice puoi notare che il testo dell'esercizio dice:
$ lim_(h -> 0) f(x+h) = lim_(h -> 0) f(x-h) $ per la linearità del limite
Se tu fissi il valore di $x$, il limite a primo membro non è altro che il limite destro di $f$ in $x$, mentre il secondo membro è il limite sinistro
Quindi, se non ho sbagliato tutto, il tuo esercizio chiede se l'uguaglianza dei limiti in un qualsiasi punto basta a affermare che la funzione è continua, cosa che chiaramente non è vera!
Sono perfettamente d'accordo. Così è molto più semplice. Grazie.
"Gendarmevariante":
Riguardo alla tua dimostrazione, io non sono assolutamente un esperto ma avrei una vaga idea... secondo me l'errore sta nel passaggio finale in cui affermi che la funzione è continua: stai implicitamente utilizzando la proposizione (1) di partenza come garante della continuità... per dimostrare questo stesso fatto!
Il fatto che |f(x¯¯+h)−f(x¯¯−h)|<ε per un x¯¯ vicinissimo a x secondo me non dimostra nulla, perché la dimostrazione non fornisce nessuna informazione sul valore della funzione in x¯¯...!
Nella mia dimostrazione, forse non vi ritrovate perché ho sbagliato a scrivere il passaggio conclusivo, perché ho scritto:
"EdmondDantès":
Da questo si deduce che [tex]f[/tex] è continua in [tex]\bar{x}[/tex], perciò per arbitrarietà di [tex]\bar{x}[/tex], [tex]f[/tex] è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex].
mentre volevo scrivere:
"Da questo si deduce che [tex]f[/tex] è continua in [tex]x[/tex], perciò per arbitrarietà di [tex]x[/tex], [tex]f[/tex] è continua in [tex]\mathbb{R}[/tex]."
"Gendarmevariante":
(Non capisco se nel testo intendevi scrivere un valore assoluto con le parentesi quadre. Comunque immagino di no!)
E' la stessa cosa, dal momento che \(\lim_{x\to x_0} g(x) = 0\) se e solo se \(\lim_{x\to x_0} |g(x)| = 0\).
Secondo me in modo molto più semplice puoi notare che il testo dell'esercizio dice:
$ lim_(h -> 0) f(x+h) = lim_(h -> 0) f(x-h) $ per la linearità del limite.
In generale non è corretto agire in questo modo, in quanto la linearità del limite è garantita solo se esistono finiti i due limiti.
Considera, ad esempio, la funzione di Dirichlet
\[
f(x) := \begin{cases}
0, &\text{se}\ x\in\mathbb{Q},\\
1, &\text{se}\ x\in\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\,.
\end{cases}
\]
Se prendi \(x=0\) (oppure un qualsiasi numero razionale), vedi subito che
\[
\lim_{h\to 0} [ f(x+h) - f(x-h)] = 0,
\]
dal momento che la quantità fra parentesi quadre è identicamente nulla, ma d'altra parte i due limiti separati non esistono.
Ecco... Ammetto che non avevo pensato a nessuna delle due cose!!
In ogni caso, giusto per salvare il mio ragionamento potrei dire che comunque come controesempio è ugualmente efficace, anche se riferito a un caso particolare... no?
In ogni caso, giusto per salvare il mio ragionamento potrei dire che comunque come controesempio è ugualmente efficace, anche se riferito a un caso particolare... no?
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