Condizione sufficiente di differenziabilità
Ciao a tutti 
Ho un po' di confusione in testa riguardo la differenziabilità.
Studiando la teoria sul libro ho capito che, per funzioni di due (o più) variabili, il fatto che io "trovi" un piano tangente alla funzione non implica che questo esista, o meglio il procedimento per individuare il piano tangente è valido nell'ipotesi che esso ci sia. Perché questo esista deve essere verificato che
\(\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0)(x- x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)(y- y_0) + o(\sqrt{h^2+k^2})\)
per \(\displaystyle (h,k) \rightarrow (0,0) \).
Se perciò quel "mostro" è verificato allora f è differenziabile e ciò garantisce che il piano tangente esiste, cioè garantisce la derivabilità. Non solo: essa implica anche la continuità della funzione.
E fin qui non dovrei avere problemi.
Ora:
il teorema di condizione sufficiente di differenziabilità afferma che, data una funzione \(\displaystyle f:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), con \(\displaystyle x_0 \in A \), e ipotizzando che le derivate parziali esistano in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) e siano continue in \(\displaystyle x_0 \), allora $f$ è differenziabile in $x_0$. La cosa si può estendere poi in tutto A se tutto ciò è verificato per ogni suo punto. Quindi la funzione si dice di classe \(\displaystyle C^1 (A) \) e si scrive \(\displaystyle f \in C^1(A) \).
Al che io penso: "Va bene, siccome le derivate esistono e sono continue, e poichè la loro esistenza presuppone che f sia differenziabile, tutto ciò è logico".
Poi però continua affermando che \(\displaystyle f \in C^1(A) \Rightarrow f\) differenziabile in A
ma l'implicazione inversa non vale!
So che non c'è contraddizione (migliaia di studenti prima di me hanno imparato che ciò è vero), ma non riesco a superare l'ostacolo da solo. Prima si afferma che se f è differenziabile allora implica derivabilità, continuità e piano tangente; dopo sembra affermarsi il suo contrario (l'implicazione inversa non vale).
Cos'è che non ho capito esattamente?
Ho un po' di confusione in testa riguardo la differenziabilità.
Studiando la teoria sul libro ho capito che, per funzioni di due (o più) variabili, il fatto che io "trovi" un piano tangente alla funzione non implica che questo esista, o meglio il procedimento per individuare il piano tangente è valido nell'ipotesi che esso ci sia. Perché questo esista deve essere verificato che
\(\displaystyle f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x} (x_0, y_0)(x- x_0) + \frac{\partial f}{\partial y} (x_0, y_0)(y- y_0) + o(\sqrt{h^2+k^2})\)
per \(\displaystyle (h,k) \rightarrow (0,0) \).
Se perciò quel "mostro" è verificato allora f è differenziabile e ciò garantisce che il piano tangente esiste, cioè garantisce la derivabilità. Non solo: essa implica anche la continuità della funzione.
E fin qui non dovrei avere problemi.
Ora:
il teorema di condizione sufficiente di differenziabilità afferma che, data una funzione \(\displaystyle f:A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\), con \(\displaystyle x_0 \in A \), e ipotizzando che le derivate parziali esistano in un intorno di \(\displaystyle x_0 \) e siano continue in \(\displaystyle x_0 \), allora $f$ è differenziabile in $x_0$. La cosa si può estendere poi in tutto A se tutto ciò è verificato per ogni suo punto. Quindi la funzione si dice di classe \(\displaystyle C^1 (A) \) e si scrive \(\displaystyle f \in C^1(A) \).
Al che io penso: "Va bene, siccome le derivate esistono e sono continue, e poichè la loro esistenza presuppone che f sia differenziabile, tutto ciò è logico".
Poi però continua affermando che \(\displaystyle f \in C^1(A) \Rightarrow f\) differenziabile in A
ma l'implicazione inversa non vale!
So che non c'è contraddizione (migliaia di studenti prima di me hanno imparato che ciò è vero), ma non riesco a superare l'ostacolo da solo. Prima si afferma che se f è differenziabile allora implica derivabilità, continuità e piano tangente; dopo sembra affermarsi il suo contrario (l'implicazione inversa non vale).
Cos'è che non ho capito esattamente?
Risposte
"Brancaleone":Questo è sbagliato. Con la terminologia in uso sul tuo libro, una funzione può essere derivabile rispetto a tutte le sue variabili singolarmente ma non essere differenziabile. Esempio totalmente banale:
le derivate esistono [...]la loro esistenza presuppone che f sia differenziabile[...]
\[f(x, y)=\begin{cases} 1 & x=0 \\ 1 & y=0 \\ 0 &x, y \ne 0\end{cases}\]
In \((x, y)=(0,0)\) le derivate parziali rispetto ad \(x\) e rispetto ad \(y\) esistono ma la funzione non è differenziabile.
"dissonance":Questo è sbagliato. Con la terminologia in uso sul tuo libro, una funzione può essere derivabile rispetto a tutte le sue variabili singolarmente ma non essere differenziabile.[/quote]
[quote="Brancaleone"]le derivate esistono [...]la loro esistenza presuppone che f sia differenziabile[...]
Ma allora qual è la relazione tra derivata e differenziale?
L'unica cosa che attualmente mi è chiara è che se una funzione è derivabile e continua, allora essa è differenziabile (o sbaglio?)
No Branca. Il concetto di differenziabilità è un estenzsione del concetto di derivabilità. Vedila in questo modo: dire che una funzione è derivabile in un punto, significa dire che il limite del suo rapporto incrementale esiste finito in quel punto. Dato che in uno spazio topologico non basta questo, allora bisgona verificare che questo succeda per tutte le direzioni. Quindi il concetto di differenziabilità ti assicura che la funzione è derivabile lungo tutte le direzioni in un dato punto. L'esempio che ti ha fatto dissonance è più che chiaro. Spero di essermi spiegato.
P.S. una funzione di più variabili può essere derivabile in un punto rispetto ad una delle variabili ma può non essere continua in quel punto. Ora nonmi viene un esempio ma credo che quello di dissonance valga anche per questo.
P.S. una funzione di più variabili può essere derivabile in un punto rispetto ad una delle variabili ma può non essere continua in quel punto. Ora nonmi viene un esempio ma credo che quello di dissonance valga anche per questo.
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