Condizione necessaria per convergenza di una serie
Ciao a tutti, mi sto preparando per l’esame di analisi 1, e non mi è chiara una cosa sull’argomento delle serie numeriche: se il limite per la verifica della condizione necessaria non esistesse cosa si può dire sulla convergenza della serie?
Risposte
Secondo te? Hai provato a farti degli esempi semplici, riciclati dagli esempi più significativi visti nella teoria, per vedere cosa succede nei vari casi?
Si ho provato a guardare, ma sono un po’ scemo, tipo la serie con termine generico sin(2^n) ha limite che non esiste, quindi la serie cosa fa?
Non è questione di essere scemi, non svalutarti così. L'esempio che hai scelto è complicato, nel senso che non ti aiuta rispetto alle tue conoscenze pregresse: per questo ti avevo suggerito di provare con esempi significativi visti nella teoria.
Nel caso in cui non vale la condizione necessaria, la serie non può convergere; ma non convergente può significare divergente o indeterminata. Quindi, ancora c'è ambiguità sul comportamento; perciò, ci sono due possibilità. O in realtà si può dimostrare che basta l'ipotesi di non esistenza del limite per dedurre uno e uno soltanto dei due comportamenti "divergente" o "indeterminata", oppure si esibiscono due esempi in cui in uno la serie è divergente e l'altro la serie è indeterminata e tali che per entrambi non valga la condizione necessaria; se si riesce a fare una cosa del genere, significa che non si può dedurre nulla a priori sulla divergenza o sulla indeterminatezza solamente dal fatto che non valga la condizione necessaria.
Uno degli esempi fondamentali per le serie è $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Sappiamo che diverge a $+\infty$: riesci a modificare la successione sotto il segno di serie in una che non ha limite ma di cui riesci ancora a stabilire il carattere? Pensaci un po'.
Nel caso in cui non vale la condizione necessaria, la serie non può convergere; ma non convergente può significare divergente o indeterminata. Quindi, ancora c'è ambiguità sul comportamento; perciò, ci sono due possibilità. O in realtà si può dimostrare che basta l'ipotesi di non esistenza del limite per dedurre uno e uno soltanto dei due comportamenti "divergente" o "indeterminata", oppure si esibiscono due esempi in cui in uno la serie è divergente e l'altro la serie è indeterminata e tali che per entrambi non valga la condizione necessaria; se si riesce a fare una cosa del genere, significa che non si può dedurre nulla a priori sulla divergenza o sulla indeterminatezza solamente dal fatto che non valga la condizione necessaria.
Uno degli esempi fondamentali per le serie è $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}$. Sappiamo che diverge a $+\infty$: riesci a modificare la successione sotto il segno di serie in una che non ha limite ma di cui riesci ancora a stabilire il carattere? Pensaci un po'.
Il caso di una serie geometrica con base x<-1? Il limite della successione non esiste e quindi anche il carattere della serie è indeterminato? Quindi quando il limite non esiste o non viene uguale a zero sicuramente la serie non converge, ma resta da capire se diverge o se è indeterminata? Grazie mille
Prego!
Dipende se ti riferisci a:
$$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n x^k$$
o a:
$$\lim_{n \to +\infty} x^n$$
Nel primo caso, hai ragione: nel secondo no. Pensa, ad esempio, ad $a_n=\frac{1}{n}+|\sin n|$.
È proprio quello che ho scritto nel messaggio precedente.
Dipende se ti riferisci a:
$$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n x^k$$
o a:
$$\lim_{n \to +\infty} x^n$$
Nel primo caso, hai ragione: nel secondo no. Pensa, ad esempio, ad $a_n=\frac{1}{n}+|\sin n|$.
"ciaomammalolmao":
Quindi quando il limite non esiste o non viene uguale a zero sicuramente la serie non converge, ma resta da capire se diverge o se è indeterminata?
È proprio quello che ho scritto nel messaggio precedente.
Scusami non capisco, presa la serie geometrica come somma per n che va da zero a infinito del termine generico x^n, se facciamo il limite del termine generico con x<-1 quest’ultimo non esiste, ed è per questo che anche la serie è indeterminata?
No, non è quello il motivo. È proprio per questo che ti ho fatto ragionare su possibili esempi e ti ho, infine, proposto l'altra serie $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}+|\sin n|\right)$. Esiste $\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n}+|\sin n|\right)$? Se non esiste, cosa puoi dire su $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}+|\sin n|\right)$? È indeterminata anch'essa, come la serie geometrica?
Io direi che il limite non esiste in quanto $ 1/n $ va a zero, mentre $ |sin(n)| $ non ammette limite, però sulla somma direi che diverge in quanto la somma di $1/n+|sin(n)|$ è confrontabile con $1/n$ che diverge. Giusto?
Sì, esatto. Hai che $\frac{1}{n}+|\sin n| \ge \frac{1}{n}$ per ogni $n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}$, questo dimostra che $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}+|\sin n|\right)=+\infty$ e non esiste il limite di $\frac{1}{n}+|\sin n|$ per $n \to +\infty$. Invece, tu prima ti chiedevi se facendo il limite del termine generale e vedendo che esso non esiste allora si può dire che la serie è indeterminata; no, esistono serie con termine non esistente ma divergenti, come $\sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{n}+|\sin n|\right)$. La confusione che vedevo prima è che per $x< -1$ i limiti:
$$\lim_{n \to +\infty} x^n$$
$$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n x^k$$
sono due cose ben diverse. Essendo infatti per ogni $x \ne -1$:
$$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
se $x<-1$, non esiste il limite di $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ per $n \to +\infty$ e quindi $\sum_{k=0}^n x^k$ è indeterminata; cosa molto diversa dal dire che dalla non esistenza del limite di $x^n$ per $n \to +\infty$ quando $x< -1$ si può dedurre l'indeterminatezza della serie (e quella col modulo del seno è un controesempio a questa affermazione). Spero che ora sia chiaro
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$$\lim_{n \to +\infty} x^n$$
$$\lim_{n \to +\infty} \sum_{k=0}^n x^k$$
sono due cose ben diverse. Essendo infatti per ogni $x \ne -1$:
$$\sum_{k=0}^n x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$
se $x<-1$, non esiste il limite di $\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ per $n \to +\infty$ e quindi $\sum_{k=0}^n x^k$ è indeterminata; cosa molto diversa dal dire che dalla non esistenza del limite di $x^n$ per $n \to +\infty$ quando $x< -1$ si può dedurre l'indeterminatezza della serie (e quella col modulo del seno è un controesempio a questa affermazione). Spero che ora sia chiaro
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Grazie! Penso di aver capito, si ora che ci penso non ha senso dire che se non esiste il limite il carattere della serie è sicuramente non determinato, grazie ancora.
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