Cond. sufficiente per la non uniforme continuità
A parer vostro è vera la seguente proposizione?
Proposizione: Sia $f : (0,+oo) -> RR$ tale che $AA a , b > 0$ , $f(x) > a x + b$ almeno in un intorno di $+oo$. Allora $f$ non può essere uniformemente continua.
Proposizione: Sia $f : (0,+oo) -> RR$ tale che $AA a , b > 0$ , $f(x) > a x + b$ almeno in un intorno di $+oo$. Allora $f$ non può essere uniformemente continua.
Risposte
Nota: è la violazione della condizione di sublinearità.
"dissonance":
https://www.matematicamente.it/forum/teorema-della-farfalla-t30472.html
Grazie... E' il teorema da cui sono partito. Il problema è che nella dimostrazione di quel criterio per $f : [0,+oo) -> RR$ serve che la $f$ sia definita nell'estremo $0$.
Naturalmente, se devo dimostrare che la funzione non è u.c. , non mi serve a nulla sapere cosa succede in un intorno di $0$ se ho già intuito che il comportamento patologico è all'infinito (*). Secondo me la proposizione che ho dato va bene, ma vorrei una conferma.
(*) mettiamo che sia almeno lì il problema.
In effetti a occhio sembra proprio non serva a nulla, ma soprattutto mi incuriosisce il fatto che l'enunciato non si possa fare per ogni estremo sinistro $(x_0,+oo)$ (ma anche destro, cioè un intervallo del tipo $(-oo,x_0)$) dell'intervallo di definizione della $f$. Ma è così?
Perchè se non lo è sei a posto, se lo è voglio sapere perchè!
Mi potresti linkare la dimostrazione?
Perchè se non lo è sei a posto, se lo è voglio sapere perchè!
Mi potresti linkare la dimostrazione?
"Giuly19":
In effetti a occhio sembra proprio non serva a nulla, ma soprattutto mi incuriosisce il fatto che l'enunciato non si possa fare per ogni estremo sinistro $(x_0,+oo)$ (ma anche destro, cioè un intervallo del tipo $(-oo,x_0)$) dell'intervallo di definizione della $f$. Ma è così?
Perchè se non lo è sei a posto, se lo è voglio sapere perchè!
Mi potresti linkare la dimostrazione?
La dimostrazione - che è, a dire il vero, un po' nodosa - fa giocare allo $0$ un ruolo importante. In sostanza si dimostra materialmente che esistono le costanti $a$ e $b$.
Dimostrazione:
Sia $f$ u.c. ; allora $AA epsilon > 0 , EE delta > 0 : AA x, y in [0, +oo[$ tali che $| x - y | <= delta$ si ha che $|f(x) - f(y)| <= epsilon$
Prendendo $epsilon = 1$ si vede facilmente (direi che un disegno dovrebbe essere convincente) che:
Per $0 <= x <= delta$ si ha $|f(x) - f(0)| <= epsilon = 1$ ,
per $delta <= x <= 2 delta$ si ha $|f(x) - f(0)| <= 1 + 1 $
Per induzione... Se $n delta <= x <= (n+1) delta$ si ha $|f(x) - f(0)| <= n + 1 $ (*)
Consideriamo $|f(x) - f(0)| <= n + 1 $; per le proprietà del valore assoluto possiamo minorare:
$|f(x)| - |f(0)| <= |f(x) - f(0)| <= n + 1 $
ed avendo $n delta <= x <= (n+1) delta$ dalla (*), maggioriamo $n$ così: $n <= x/delta$.
$|f(x)| <= x/delta + 1 + |f(0)| $
Prendendo $A = 1/delta$ e $B = 1 + |f(0)|$ si ha la tesi: $|f(x)| <= A x + B$
Se ho a che fare con una funzione definita in $(x_0 , +oo)$, la dimostrazione mi sembra si possa modificare come segue:
la funzione è sicuramente definita in $x_0 + 1$. Allora:
la funzione è sicuramente definita in $x_0 + 1$. Allora:
Vabbè ho capito ma quella non è proprio la dimostrazione della tua proposizione.
Voglio dire: è vero che se $A => B$ allora $non B => non A$, però in quel caso tu stai negando B e in più togliendo un'ulteriore ipotesi, quindi secondo me in realtà puoi metterci quell'estremo aperto senza problemi; però dovrei pensarci meglio.
In ogni caso dalla dimostrazione non mi sembra sia necessario considerare lo $0$, potrei benissimo prendere un altro punto come punto di partenza. Anche quella non l'ho letta con estrema attenzione, però mi è sembrata abbastanza chiara, se quest'ultima è una fesseria fammelo notare, grazie!
Voglio dire: è vero che se $A => B$ allora $non B => non A$, però in quel caso tu stai negando B e in più togliendo un'ulteriore ipotesi, quindi secondo me in realtà puoi metterci quell'estremo aperto senza problemi; però dovrei pensarci meglio.
In ogni caso dalla dimostrazione non mi sembra sia necessario considerare lo $0$, potrei benissimo prendere un altro punto come punto di partenza. Anche quella non l'ho letta con estrema attenzione, però mi è sembrata abbastanza chiara, se quest'ultima è una fesseria fammelo notare, grazie!
Sono dello stesso parere; infatti modificando la dimostrazione come prima mi sembra che le cose funzionino allo stesso modo. Mi sembra che l'unica differenza sia la noncuranza di ciò che avviene in $(x_0 , x_0 + 1)$, in cui è possibile che la funzione faccia le cose più strane. Dal momento che devo negare l'u.c. è sufficiente che consideri $x >= x_0 + 1$. Se dimostro che non è uniformemente continua in $[x_0 + 1 , +oo)$ necessariamente non può ovviamente essere uniformemente continua su $(x_0 , +oo)$.
Teniamo anche conto del fatto che se abbiamo una funzione $f: I subset RR \to RR$ uniformemente continua allora essa può essere prolungata per continuità a tutta la chiusura di $I$. (*) Quindi se $f:(x_0, infty) \to RR$ è uc, possiamo pensarla definita in $[x_0, infty)$. Perciò non è un problema quell'estremo: basta esaurire il caso $f:[0, infty)\to RR$, il resto sono conseguenze ovvie.
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(*) Vale in generale per $f: I \subset E \to F$ con $E, F$ spazi metrici, $F$ completo.
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(*) Vale in generale per $f: I \subset E \to F$ con $E, F$ spazi metrici, $F$ completo.
Per Giuly89: non è vero che se $A=>B$ allora $nonA=>nonB$. Caso mai è $nonB=>nonA$.
Mi sono accorto di aver scritto una boita. Se $A => B$ allora $nonB=>nonA$, e non quello che ho scritto.
E comunque pensandoci meglio quella proposizione non so se è vera! Infatti proprio quello che ho scritto adesso mi mette dei dubbi, ora penso a un controesempio.
Anche se l'ipotesi dell'intorno di $+oo$ mi sa che è fondamentale, però non so, adesso chiedo anche al mio prof!
Ps: Luca non avevo visto il tuo messaggio, fortunatamente me ne sono accorto da solo altrimenti sarebbe stato preoccupante XD, grazie comunque per avermelo fatto notare!
Ok avevo fatto un po' di confusione, rileggendo il mio vecchio messaggio, corretto, torna tutto. Quella proposizione è vera, ora ne sono convinto anche io!
E comunque pensandoci meglio quella proposizione non so se è vera! Infatti proprio quello che ho scritto adesso mi mette dei dubbi, ora penso a un controesempio.
Anche se l'ipotesi dell'intorno di $+oo$ mi sa che è fondamentale, però non so, adesso chiedo anche al mio prof!
Ps: Luca non avevo visto il tuo messaggio, fortunatamente me ne sono accorto da solo altrimenti sarebbe stato preoccupante XD, grazie comunque per avermelo fatto notare!
Ok avevo fatto un po' di confusione, rileggendo il mio vecchio messaggio, corretto, torna tutto. Quella proposizione è vera, ora ne sono convinto anche io!
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