Completamenti e isometrie.
Ciao a tutti!
(i) Mostrare che se un sottospazio $Y$ di uno spazio metrico $X$ consiste in un insieme finito di punti, allora è completo.
Se $Y$ ha un numero finito di punti, allora non può avere punti di accumulazione, perché se \(\displaystyle y\in Y \) è possibile iterando la scelta di \(\displaystyle \epsilon \) ottenere eventualmente \(\displaystyle B(y,\epsilon)\cap Y=\varnothing \). Di conseguenza \(\displaystyle Y=\overline Y \) e un sottospazio chiuso di uno spazio metrico è completo. Credo si possa passare anche per il completamento del sottospazio \(\displaystyle X-Y \), che dovrebbe essere denso in $X$ in quanto ogni \(\displaystyle y\in Y \) è di accumulazione per $X$?
(ii) Cos'è il completamento di uno spazio metrico discreto? Dello spazio dei numeri razionali con metrica \(\displaystyle d(x,y)=|x-y| \)?
Per i razionali nessuna difficoltà, si tratta semplicemente della retta reale; invece non riesco a vedere cosa sia il completamento di uno spazio discreto...
(iii) Se $X_1$ e $X_2$ sono isometrici e \(\displaystyle X_1 \) è completo, allora anche \(\displaystyle X_2 \) è completo.
Segue dal fatto che se $X_1$ è completo allora ogni sua successione di Cauchy è convergente; dall'esistenza dell'isometria \(\displaystyle T:X_1\to X_2 \), \(\displaystyle d_1(x_n,x_m)\le\epsilon \) implica \(\displaystyle d_2(Tx_n,Tx_m)\le\epsilon \), ovvero che le immagini di successioni di Cauchy sono ancora di Cauchy nello spazio $X_2$.
Queste successioni dovrebbero anche convergere poiché nuovamente \(\displaystyle d_1(x_n,x_1)\le\epsilon \) implica \(\displaystyle d_2(Tx_n,x_2)\le\epsilon \) con \(\displaystyle x_2=Tx_1\in TX_1\subset X_2 \).
Viceversa, siccome l'isometria è un'applicazione biettiva, se una successione è di Cauchy in $X_2$ allora lo è anche la sua controimmagine in $X_1$; questo dovrebbe bastare a concludere che una successione è di Cauchy in $X_2$ se e solo se lo è in $X_1$ dimostrando con quanto sopra la completezza di $X_2$.
Su quest'ultimo passaggio però non sono molto sicuro
(i) Mostrare che se un sottospazio $Y$ di uno spazio metrico $X$ consiste in un insieme finito di punti, allora è completo.
Se $Y$ ha un numero finito di punti, allora non può avere punti di accumulazione, perché se \(\displaystyle y\in Y \) è possibile iterando la scelta di \(\displaystyle \epsilon \) ottenere eventualmente \(\displaystyle B(y,\epsilon)\cap Y=\varnothing \). Di conseguenza \(\displaystyle Y=\overline Y \) e un sottospazio chiuso di uno spazio metrico è completo. Credo si possa passare anche per il completamento del sottospazio \(\displaystyle X-Y \), che dovrebbe essere denso in $X$ in quanto ogni \(\displaystyle y\in Y \) è di accumulazione per $X$?
(ii) Cos'è il completamento di uno spazio metrico discreto? Dello spazio dei numeri razionali con metrica \(\displaystyle d(x,y)=|x-y| \)?
Per i razionali nessuna difficoltà, si tratta semplicemente della retta reale; invece non riesco a vedere cosa sia il completamento di uno spazio discreto...
(iii) Se $X_1$ e $X_2$ sono isometrici e \(\displaystyle X_1 \) è completo, allora anche \(\displaystyle X_2 \) è completo.
Segue dal fatto che se $X_1$ è completo allora ogni sua successione di Cauchy è convergente; dall'esistenza dell'isometria \(\displaystyle T:X_1\to X_2 \), \(\displaystyle d_1(x_n,x_m)\le\epsilon \) implica \(\displaystyle d_2(Tx_n,Tx_m)\le\epsilon \), ovvero che le immagini di successioni di Cauchy sono ancora di Cauchy nello spazio $X_2$.
Queste successioni dovrebbero anche convergere poiché nuovamente \(\displaystyle d_1(x_n,x_1)\le\epsilon \) implica \(\displaystyle d_2(Tx_n,x_2)\le\epsilon \) con \(\displaystyle x_2=Tx_1\in TX_1\subset X_2 \).
Viceversa, siccome l'isometria è un'applicazione biettiva, se una successione è di Cauchy in $X_2$ allora lo è anche la sua controimmagine in $X_1$; questo dovrebbe bastare a concludere che una successione è di Cauchy in $X_2$ se e solo se lo è in $X_1$ dimostrando con quanto sopra la completezza di $X_2$.
Su quest'ultimo passaggio però non sono molto sicuro
Risposte
Il completamento di $X$ è il quoziente \(Cauchy(X)/Zero(X)\); ora, se $X$ è discreto...
"killing_buddha":
ora, se $X$ è discreto...
Hai dimenticato un pezzo
a parte gli scherzi, cosa indichi con \(\text{Zero}(X) \)? Immagino che \(\displaystyle \text{Cauchy}(X) \) siano le sue successioni di Cauchy... comunque gli spazi quozienti ricordo di averli addocchiati in passato ma non mi sono mai sforzato di capirli, sorry.
E' una buona idea familiarizzare con i quozienti, oppure non capirai la nozione di completamento.
Il completamento metrico di uno spazio metrico \((X,d)\) si ottiene da un quoziente dello spazio delle sue successioni di Cauchy su $X$, $Cauchy(X)$. Il quoziente che devi fare è rispetto alla relazione di equivalenza che dice che due successioni \({\bf x}, {\bf y}\) sono simili, \({\bf x} \approx {\bf y}\), se e solo se la successione \(\{d(x_n, y_n)\mid n\in \mathbb N\}\) è infinitesima.
$Zero(X)$ è la relazione che ho appena descritto. (chi è, ad esempio, quando $X$ è lo spazio metrico dei razionali?)
Qui ci sono delle informazioni in più: https://proofwiki.org/wiki/Completion_T ... tric_Space)
In particolare, nota che il completamento di $X$ ha la seguente proprietà universale: ogni volta che $f : X \to Y$ è una mappa di spazi metrici e $Y$ è completo, esiste un'unica estensione di $f$ ad una mappa di spazi metrici $\bar f : \overline X \to Y$.
Il completamento metrico di uno spazio metrico \((X,d)\) si ottiene da un quoziente dello spazio delle sue successioni di Cauchy su $X$, $Cauchy(X)$. Il quoziente che devi fare è rispetto alla relazione di equivalenza che dice che due successioni \({\bf x}, {\bf y}\) sono simili, \({\bf x} \approx {\bf y}\), se e solo se la successione \(\{d(x_n, y_n)\mid n\in \mathbb N\}\) è infinitesima.
$Zero(X)$ è la relazione che ho appena descritto. (chi è, ad esempio, quando $X$ è lo spazio metrico dei razionali?)
Qui ci sono delle informazioni in più: https://proofwiki.org/wiki/Completion_T ... tric_Space)
In particolare, nota che il completamento di $X$ ha la seguente proprietà universale: ogni volta che $f : X \to Y$ è una mappa di spazi metrici e $Y$ è completo, esiste un'unica estensione di $f$ ad una mappa di spazi metrici $\bar f : \overline X \to Y$.
Quindi \(\displaystyle \text{Zero}(X) \) sono le classi di successioni la cui distanza reciproca va a zero per \(\displaystyle n\to\infty \)? E fare il quoziente significa identificare tra loro le successioni di Cauchy che hanno questa proprietà? Non sono sicuro che le cose stiano così perché non riesco a vedere come questo procedimento garantisca il completamento dello spazio di partenza. Proverò a leggere meglio la dimostrazione del teorema...
Nello spazio dei razionali, se prendo una successione $x_n$ convergente a \(\displaystyle r\in \mathbb{Q} \) allora essa risulta equivalente a ogni altra successione di razionali \(\displaystyle x'_n \) convergente a \(\displaystyle r \), poiché se vale \(\displaystyle \begin{matrix}\lim_{n\rightarrow\infty}\end{matrix}d(x_n,x'_n)=0 \) per la disuguaglianza triangolare \(\displaystyle d(x'_n,l)\le d(x'_n,x_n)+d(x_n,l)\le 2\epsilon\to 0 \).
Invece nello spazio discreto a \(\displaystyle d(x_n,x'_n)\to 0 \) corrisponde, definitivamente, la richiesta \(\displaystyle x_n=x'_n \). Quindi il completamento corrisponde allo spazio stesso? Dimmi se sto prendendo delle cantonate, è un discorso strano da fare per me
Nello spazio dei razionali, se prendo una successione $x_n$ convergente a \(\displaystyle r\in \mathbb{Q} \) allora essa risulta equivalente a ogni altra successione di razionali \(\displaystyle x'_n \) convergente a \(\displaystyle r \), poiché se vale \(\displaystyle \begin{matrix}\lim_{n\rightarrow\infty}\end{matrix}d(x_n,x'_n)=0 \) per la disuguaglianza triangolare \(\displaystyle d(x'_n,l)\le d(x'_n,x_n)+d(x_n,l)\le 2\epsilon\to 0 \).
Invece nello spazio discreto a \(\displaystyle d(x_n,x'_n)\to 0 \) corrisponde, definitivamente, la richiesta \(\displaystyle x_n=x'_n \). Quindi il completamento corrisponde allo spazio stesso? Dimmi se sto prendendo delle cantonate, è un discorso strano da fare per me
Cooomunque,
P.S. Altra piccola cosa, nella proprietà che dica killing_buddha alla fine del suo ultimo post sottintende che la funzione sia uniformemente continua (e anche l'estensione).
"Lèo":questo non è vero, riflettici.
e un sottospazio chiuso di uno spazio metrico è completo.
P.S. Altra piccola cosa, nella proprietà che dica killing_buddha alla fine del suo ultimo post sottintende che la funzione sia uniformemente continua (e anche l'estensione).
"Lèo":
Quindi \(\displaystyle \text{Zero}(X) \) sono le classi di successioni la cui distanza reciproca va a zero per \(\displaystyle n\to\infty \)? E fare il quoziente significa identificare tra loro le successioni di Cauchy che hanno questa proprietà?
Si.
Non sono sicuro che le cose stiano così perché non riesco a vedere come questo procedimento garantisca il completamento dello spazio di partenza.
Sostanzialmente stai aggiungendo tutti i possibili limiti di una qualche successione di Cauchy che prima mancavano, che sarebbero le classi di successioni che non appartengono all'immagine della funzione che immerge lo spazio di partenza nel suo completamento, cioè quella che manda un elemento nella classe della successione che vale costantemente quell'elemento (che è di Cauchy perché è convergente).
Nello spazio dei razionali, se prendo una successione $x_n$ convergente a \(\displaystyle r\in \mathbb{Q} \)
Attento! Non devi prendere successioni convergenti, devi prendere successioni di Cauchy, sennò veramente non stai facendo niente!
Invece nello spazio discreto a \(\displaystyle d(x_n,x'_n)\to 0 \) corrisponde, definitivamente, la richiesta \(\displaystyle x_n=x'_n \). Quindi il completamento corrisponde allo spazio stesso? Dimmi se sto prendendo delle cantonate, è un discorso strano da fare per me
Si esatto, cerca ora di concentrarti su questa dimostrazione per rispondere a questa domanda: quando è che veramente il completamento corrisponde allo spazio stesso?
Giusto, mi sono dimenticato dell'ipotesi di completezza...
Per quanto riguarda lo spazio discreto, mi ero dimenticato di averne dimostrato la completezza, quindi è abbastanza banale che il completamento coincida con lo spazio stesso... invece per i razionali ho un problema: se non posso parlare del limite della successione, come uso la condizione \(\displaystyle d(x_n,x'_n)\to 0 \) per definire la relazione di equivalenza?
Per quanto riguarda lo spazio discreto, mi ero dimenticato di averne dimostrato la completezza, quindi è abbastanza banale che il completamento coincida con lo spazio stesso... invece per i razionali ho un problema: se non posso parlare del limite della successione, come uso la condizione \(\displaystyle d(x_n,x'_n)\to 0 \) per definire la relazione di equivalenza?
Ma cosa intendi scusa? La relazione è proprio quella, cioè due successioni sono equivalenti se vale quella condizione.
Mi sono espresso male. Mi chiedevo quale fosse la risposta alla domanda chi è \(\displaystyle \text{Zero}(X) \) nel caso dello spazio metrico dei razionali, se la relazione di equivalenza è sempre quella... mi sembra scontato dire le successioni di Cauchy di razionali aventi quella proprietà.
In più rispetto a quelle che dici te ci sono le classi di successioni che "moralmente convergono ad uno stesso irrazionale".
Piccola osservazione. Quel quoziente è un quoziente di \(\mathbb{Q}\)-spazi vettoriali. Insomma quell'insieme è un sottospazio vettoriale e viene mandato in 0 dalla proiezione nel quoziente.
Sai otta ci avevo pensato, ma non essendo nello spazio come si fa a parlare di convergenza? Tu dici moralmente, ma a livello formale?
Loro non convergono ma la loro differenza si.
Ah è vero... ora ci sono, perfetto 
In effetti una cosa che sarebbe stato più utile dirti (se non lo sai già) prima è che date due successioni di Cauchy $(x_n),(y_n)$ esiste finito $\lim_{n->+\infty} d(x_n,y_n)$ (dimostralo!).
A livello formale sono le successioni stesse (o meglio le classi di esse) a essere i nuovi limiti!
Mi spiego meglio: se hai uno spazio metrico $(X,d)$, identifichi ogni elemento $x\inX$ con la classe della successione costante $c(x)=(x)_k$ nel completamento $\bar{X}$, adesso se hai una successione $(x_n)_n$ in $X$ di Cauchy ma non convergente ti sposti nel completamento e al posto di $(x_n)_n$ hai $([c(x_n)])_n$ che convergerà a $[(c(x_n))_n]$.
"Lèo":
Sai otta ci avevo pensato, ma non essendo nello spazio come si fa a parlare di convergenza? Tu dici moralmente, ma a livello formale?
A livello formale sono le successioni stesse (o meglio le classi di esse) a essere i nuovi limiti!
Mi spiego meglio: se hai uno spazio metrico $(X,d)$, identifichi ogni elemento $x\inX$ con la classe della successione costante $c(x)=(x)_k$ nel completamento $\bar{X}$, adesso se hai una successione $(x_n)_n$ in $X$ di Cauchy ma non convergente ti sposti nel completamento e al posto di $(x_n)_n$ hai $([c(x_n)])_n$ che convergerà a $[(c(x_n))_n]$.
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