Compatto e connesso

[thedarkhero]

Sia $EsubCC$ così definito: $E={i^n+(n/(n+1))^(n-1):ninNN^+}$.
E è sequenzialmente compatto? E è connesso?

[dissonance]

[mod="dissonance"]Qualche idea, please.[/mod]
E poi controlla la formula. Probabilmente intendevi $(n/(n+1))$. E che cos'è $i$? In quale spazio topologico vive il tuo insieme $E$? Insomma, spiccica qualche parola in più.

[thedarkhero]

Per essere sequenzialmente compatto dovrebbe essere chiuso è limitato. Limitato lo è visto che la successione degli elementi di E converge, ma è chiuso?
Per essere connesso non saprei proprio come partire...

[dissonance]

"thedarkhero":la successione degli elementi di E converge

sicuro? A me pare di no invece. Quel termine $i^n$, anzi, "serve" proprio a non fare convergere la successione. Ma la compattezza (sequenziale) la recuperi lo stesso. Io direi: lascia perdere il cannone Heine-Borel, verifica la definizione. Prendi una successione di elementi di $E$. In qualche modo si riesce a dire che deve esistere una estratta convergente.

Mentre per la connessione, è opportuno che tu specifichi la definizione di connessione che intendi verificare. Parli di connessione per archi?

[thedarkhero]

Non mi è chiaro come risolveresti la compattezza.
Comunque per connessione intendo che non esiste un sottoinsieme chiusaperto proprio non vuoto.

[gugo82]

Innanzitutto bisognerebbe provare la limitatezza (che non è difficile se tieni presenti certe cose riguardo la successione $(n/(n+1))^(n-1)$); una volta fatto ciò, visto che la chiusura è banale (ma non tanto...), hai compattezza per il teorema di Heine-Borel.

Per la connessione io guarderei un po' come è fatto l'insieme: i punti sono tutti abbastanza lontani gli uni dagli altri, no? (Questo si ricollega in qualche modo anche al fatto che $E$ è chiuso.)

[thedarkhero]

Sulla limitatezza non ci sono problemi. Sulla chiusura si...come faccio a trovare la chiusura di quell'insieme?
Per il discorso che i punti sono abbastanza lontani...ci sono 4 punti di accumulazione, giusto?

[gugo82]

Evidente che ci sono quattro accumulazioni... Ma delle accumulazioni non ce ne facciamo niente, perchè non stanno in $E$.

Guarda come sono disposti i punti di $E$: ce ne sono, ad esempio, di isolati? E, se sì, quanti sono?

[thedarkhero]

Giusto, quindi E è chiuso e limitato, quindi compatto.
Ma per la connessione?

[gugo82]

Guarda i punti isolati e rispondi alla seguente domanda:

"Se una parte $E\subseteq CC$ contenente più di un punto ha un punto isolato $z_0$, $E$ può essere connessa?"

[thedarkhero]

Ma un insieme è connesso se non ha punti isolati?

[gugo82]

Ti ho chiesto di rispondere alla domanda, mica di farne un'altra...

Ad ogni modo, la definizione di connessione non coinvolge i punti isolati; però se guardi attentamente (casomai facendoti un disegnino) capisci dove voglio arrivare.
Insomma, la chiave sta nel rispondere in maniera giusta alla domanda che ti ho fatto sopra.

[thedarkhero]

Non saprei...non vedo la relazione tra punto isolato e connessione

[gugo82]

Vedi che succede a studiar tardi la sera?

Tornando seri, l'insieme $A:=B\cup \{z0\}$ (ove $B:=\{z\in CC: |z|<=2\}$ e $z0:=2+2*i$) disegnato qui sotto ti sembra connesso?
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes(1,1,"labels", 1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
circle([0,0],2);
var z0=[2,2];
dot(z0);
text(z0,"z0",aboveright);
text([-1,1],"B",belowright);[/asvg]

[thedarkhero]

Intuitivamente no nel senso che penso a un insieme connesso come un insieme privo di punti isolati ma dovendo applicare la definizione non saprei...

[gugo82]

Se non ti pare connesso, dimostralo.

Per farlo ti basta trovare due aperti $A_1,A_2$ non vuoti disgiunti tali che $\{z0\} \subseteq A_1, B\subseteq A_2$ (perchè?).
Ci riesci?
E se sì, quali proprietà sfrutti?

[thedarkhero]

Non ho capito chi sono z0 e B comunque non mi basta trovare due chiusi non vuoti A e B tali che A unito B = E e A intersecato B = VUOTO?

[gugo82]

"thedarkhero":Non ho capito chi sono z0 e B comunque non mi basta trovare due chiusi non vuoti A e B tali che A unito B = E e A intersecato B = VUOTO?

Mi cito, così non perdo tempo col disegnino.

"Gugo82":Tornando seri, l'insieme $A:=B\cup \{z0\}$ (ove $B:=\{z\in CC: |z|<=2\}$ e $z0:=2+2*i$) disegnato qui sotto ti sembra connesso?
[asvg]xmin=-3;xmax=3;ymin=-3;ymax=3;
axes(1,1,"labels", 1,1,"grid");
fill="dodgerblue";
circle([0,0],2);
var z0=[2,2];
dot(z0);
text(z0,"z0",aboveright);
text([-1,1],"B",belowright);[/asvg]

Ovviamente $B$ e $z0$ non c'entrano nulla col tuo esercizio.
La domanda è di carattere generale e te la faccio perchè vorrei farti riflettere sul rapporto tra connessione e esistenza di punti isolati.

Se poi farti riflettere è impossibile, allora rinuncio.

[thedarkhero]

Sfrutto il fatto che se sono aperti disgiunti allora la loro intersezione è vuota e la loro unione è E. Inoltre siccome sono aperti disgiunti so che z0 è un punto isolato. Ma non è la stessa cosa che ho scritto nel post precedente?

[gugo82]

Ma perchè, $\{z0\}$ è aperto in $CC$?

Insomma, ho capito che vuoi dire, ma formalizza meglio il discorso please.

[thedarkhero]

z0 è un chiuso ma posso prendere un intorno aperto di z0 che abbia intersezione vuota con B.