Compatto e connesso

[thedarkhero]

Sia $EsubCC$ così definito: $E={i^n+(n/(n+1))^(n-1):ninNN^+}$.
E è sequenzialmente compatto? E è connesso?

[gugo82]

"thedarkhero":z0 è un chiuso ma posso prendere un intorno aperto di z0 che abbia intersezione vuota con B.

Ok, diciamo $A_1$ l'intorno aperto di $z0$ che non interseca $B$.

Visto che $CC$ è uno spazio metrico, possiamo anche scegliere un aperto $A_2$ che contiene tutto $B$ ed è disgiunto da $A_1$.
Ne viene che gli insiemi $B=A_2 cap A$ e $\{z0\}=A_1 cap A$ (ricordo che $A:=B cup \{z0\}$) sono aperti nella topologia indotta da $CC$ su $A$; in più essi sono disgiunti, non vuoti ed hanno unione uguale ad $A$.
Pertanto $A$ non è connesso in $CC$.

Cerchiamo di generalizzare quanto abbiamo dimostrato: innanzitutto della forma di $B$ non ce ne frega niente (insomma, $B$ può essere un punto, una patata, una linea, etc... non ci interessa), ci basta che $B$ sia "abbastanza distante" da $z0$, ossia che $z0$ non sia di accumulazione per $B$; appena succede questo possiamo dire che $A:=B\cup \{\z0}$ non è connesso perchè si può ripercorrere il ragionamento precedente.

Allora, possiamo dire che "Se un insieme $A\subseteq CC$, avente più di due punti distinti*, ha un punto isolato, allora $A$ è sconnesso"?
Sì, ed infatti è proprio questo che abbiamo dimostrato qua sopra.

Ora torna al tuo insieme $E$, quello della traccia dell'esercizio.
Esso ha punti isolati?
Alla luce di quanto visto, può essere mai connesso?

__________
* L'ipotesi che $A$ abbia almeno due punti è indispensabile, perchè i singleton di $CC$ sono sempre connessi.

[thedarkhero]

Ogni suo punto è isolato, quindi no.

[gugo82]

Bravo!
Finalmente!