Compattezza di un insieme definito implicitamente.

[feddy]

Ciao a tutti,

svolgendo una simulazione mi è venuto un dubbio su questo punto.

Dire se l'insieme

$Omega={(x,y) in RR^2: -3x^2y^2 +x^2+6y^4-2=0}$

è compatto. [Soluzione: No]

Svolgimento:

Utilizzo il teorema di Heine-Borel, ossia tale insieme è compatto $<=>$ è chiuso e limitato.

Innanzitutto detta $f(x,y)=-3x^2y^2 +x^2+6y^4-2$, tale funzione è continua in $RR^2$ e pertanto, essendo $Omega=f^-1(0)$, l'insieme è chiuso.

Per mostrare la limitatezza avevo pensato di procedere così:

$0=f(x,y)>=6y^4-2$, da cui $|y|<= root(4)(1/3)$. Pertanto la $y$ è limitata.

Analogamente ho $0=f(x,y)>=-2-3x^2y^2$.

Da cui ricavo $3x^2y^2+2>=0$. Questa espressione è sempre verificata. In particolare, anche per $y$ limitata, la $x$ può assumere valori arbitrariamente molto grandi ed essere ancora vera. Quindi la $x$ non è limitata e pertanto nemmeno l'insieme.

Quindi l'insieme non è un compatto.

[feddy]

Up

[Ernesto011]

$f(x,y)=-3x^2y^2+x^2+6y^4-2=x^2(-3y^2+1)+6y^2-2=0$
Ricavando la $x$, ottengo $x=+- sqrt((6y^4-2)/(1-3y^2))$

Prendendo valori di $y$ che tendono ad azzerare il denominatore (e rendono positiva la radice) puoi ottenere valori di $x$ arbitrariamente grandi, cioè $Omega$ non è limitato

EDIT: per quel che riguarda i tuoi passaggi, $f(x,y)=-3x^2y^2+x^2+6y^4-2<=6y^4-2$ sarebbe vero se $-3x^2y^2+x^2<=0$ sempre, ma continuando ottengo $x^2(-3y^2+1)<=0$ che è banalmente positivo per $abs(y)<1/3$ quindi la tua stima è falsa

[feddy]

Grazie mille, era quello che mi mancava !