Come si risolvono le EQ. DIFFERENZIALI CON MODULO

[PoppoGBR]

salve a tutti, vorrei sapere in quale modo si risolvono le eq. differenziali con il modulo. esempio

y''-3y'+2y=|e^x-1|

che passaggi devo fare per risolverla? (senza modulo la sò risolvere ma con il modulo ho riscontrato difficoltà)

[amel3]

Se non sbaglio la tua unica preoccupazione è trovare una funzione y=y(x) di classe almeno $C^2$ che soddisfi la condizione:
$y''(x)-3y'(x)+2y(x)=e^x-1, \ \ forall x in [0,+oo]$
$y''(x)-3y'(x)+2y(x)=-e^x+1, \ \ forall x in [-oo,0)$

[Fioravante Patrone1]

"amel":Se non sbaglio la tua unica preoccupazione è trovare una funzione y=y(x) di classe almeno $C^2$

qui sta la parte "difficile", nel senso che non e' di routine, dell'esercizio
far vedere che i due pezzi si raccordano bene

ed e' sottile la distinzione fra derivabile due volte (la condizione minimale affinche' possa avere senso(*) l'equazione differenziale data) ed essere $C^2$

sarebbe da capire come fa amel (giustamente) ad essere cosi' sicuro che ci si debba occupare di funzioni di classe $C^2$


(*) nota: si parla di "avere senso" dal punto di vista di una interpretazione classica dell'equazione differenziale. Chi si occupa, ad esempio, di teoria del controllo ottimo sa che a volte bisogna andare oltre!

[PoppoGBR]

sapente quindi in quale maniera si risolve? dopo che la rislolvo due volte, una con il modulo negato e una con il modulo positivo. che cosa devo fare? se sommo le due soluzioni viene si annullano a vicenda.....devo lasciarle distinte? o si fa in qualche altro modo?

[Fioravante Patrone1]

"PoppoGBR":una con il modulo negato e una con il modulo positivo

"PoppoGBR":che cosa devo fare? se sommo le due soluzioni

sommare?

"PoppoGBR":devo lasciarle distinte? o si fa in qualche altro modo?

il mio suggeriemnto e' quello di riflettere su quello che stai facendo
cosa che non hai certo fatto, se parli di "sommare"

essendo un esercizio "non standard", esso richiede, proprio come prima cosa, di pensare attentamente al significato di quello che si sta facendo

[PoppoGBR]

scusate non mi potete dire come si fa? nessuno lo sa fare? dopo che me l'avete detto li saprò risolvere...ci sarà un metodo per risolverle quelle con il modulo.

[Fioravante Patrone1]

ma scusa, te l'aveva già detto amel
leggi con attenzione il suo post, c'è scritta la procedura da seguire
ciao

[Kroldar]

Peccato... questo problema non soddisfa le ipotesi del teorema di urang-utang© e quindi l'omonimo metodo di risoluzione non si può applicare

[PoppoGBR]

ho capito ma la soluzione finale come deve essere composta? di solito è composta dall'integrale generale piu l'integrale particolare....questa volta che c'è il modulo come sarà sempre uguale?

[Fioravante Patrone1]

trovi l'integrale generale a destra di 0
avrai due costanti arbitrarie, $a$ e $b$

idem a sx di 0, altre 2 costanti arbitrarie, $c$ e $d$
poi le riduci a due imponendo la condizione indicata da amel

[amel3]

"Fioravante Patrone":

ed e' sottile la distinzione fra derivabile due volte (la condizione minimale affinche' possa avere senso(*) l'equazione differenziale data) ed essere $C^2$

sarebbe da capire come fa amel (giustamente) ad essere cosi' sicuro che ci si debba occupare di funzioni di classe $C^2$

Ops, il prof. Patrone mi ha un po' soppravvalutato...
A dir la verità, sicuramente sbagliando, ad intuito, vedendo che in pratica dovevo raccordare i due pezzi, pensavo: - Chiedo regolarità a tutte le derivate.
Non sono affatto sicuro, anzi, semplicmente avevo messo sotto gamba la cosa...
Molto scientifico come ragionamento...
Vabbè basta vado a fare i tarocchi...