Come si risolvono i problemi di Cauchy con Laplace?

[enea8210]

salve volevo sapere se esiste una formula generale per risolvere i problemi di cauchy con le trasformate di laplace
grazie

[mod="Fioravante Patrone"]
Non ho resistito a vedere sempre Couchy...[/mod]

[Camillo]

La soluzione trovata non verifica una delle condizioni iniziali $y'(0)=1 $ ; credo il problema sia nella formula in cui si determina $L(y) = -s/(s+1)^2 $ che mi risulta invece (S.E.O.) $L(y)= - (s-2)/(s+1)^2 $ .

[Lord K]

Mi sa che non avevo visto l'ipotesi iniziale...

[enea8210]

dov'è che ho sbagliato?

[Camillo]

$s^2L(y)+s-1+2s L(y)+2+L(y) = 1/s $
$( s+1)^2 L(y)= 1/s-1-s $ .
$L(y)= (1-s^2-s)/(s(s+1)^2) $


Edit : corretto errore

[enea8210]

scusa ma il -1 e il +2 si elimina con l'1 a secondo membro

[Lord K]

E poi allora:

$(2-s)/(s+1)^2 = -1/(s+1) + 3/(s+1)^2$

Da cui ricavo l'antitrasformata più facilmente.

[Camillo]

Non abbiamo trasformato il secondo membro , cioè la costante $1 $ , la cui trasformata è $1/s $ .
Tutto da rifare .......

[enea8210]

quindi?

[Camillo]

Riprendendo da $L(y)= (1-s^2-s)/(s(1+s)^2) $ e trasformando il secondo membro in fratti semplici si ottiene

$L(y)=1/s-2/(s+1)-1/(s+1)^2 $

Basta ora antitrasformare per ottenere la soluzione $y= 1-2e^(-t) -te^(-t) $ .

[enea8210]

calcola sto diventando pazzo per capire come a trasformala in fratta semplice

[Camillo]

Conviene risvolgere l'esercizio dall'inizio :

$y'' +2y'+y=1$
$y(0)=-1$
$y'(0) = 1 $

Premetto che le formule corrette sono :

$L(y'')=s^2L(y)-sy(0)-y'(0) $ e non $ L(y'') = s^2L(y)-sy'(0)-y(0) $
$L(y') =sL(y)-y(0) $

Trasformo secondo Laplace entrambi i membri dell'equazione ( anche il secondo !!!) e ottengo :

$L(y'')+2L(y')+L(y) = 1/s $ , essendo $1/s $ la trasformata di $ 1 $ ( più esattamente della funzione di Heaviside $H(t)$ )

Sfruttando le due formule sopra indicate e i valori iniziali dati dal problema si ottiene :

$s^2L(y) -s(-1)-1+2sL(y) -2(-1)+L(y) =1/s $ , da cui

$(s+1)^2 L(y) = (1-s^2-s)/s $ ed infine :

$L(y) = (-s^2-s+1)/(s(s+1)^2) $

Per poter antitrasformare è necessario rielaborarae la funzione a secondo membro in modo che sia la somma di fratti semplici, facilemnte antitrasformabili.

$(-s^2-s+1)/(s(s+1)^2) =A/s+B/(s+1)+C/(s+1)^2 $ .Bisogna determinare $A,B,C $.
Facendo i conto si ottiene

$(-s^2-s+1)/(s(s+1)^2) =(As^2+2As+A+Bs^2+Bs +Cs )/(s(s+1)^2) = ((A+B)s^2+(2A+B+C)s+A)/(s(s+1)^2) $

Per il principio di identità dei polinomi si ottiene allora il sistema lineare di 3 equazioni in 3 incognite

$A+B=-1$
$2A+B+C =-1 $
$A = 1 $
e quindi la soluzione $A=1;B=-2;C=-1 $
L a funzione da antitrasformare è quindi :
$L(y) =1/s-2/(s+1)-1/(s+1)^2 $ .

L'antitrasformata di $1/s $ è $1$
........ quella di $-2/(s+1) $ è $ -2e^(-t) $
..... quella di $ -1/(s+1)^2 $ è $ -te^(-t)$

La soluzione dll'equazione è quindi $y(t) = -te^(-t)-2e^(-t)+1 $ , che soddisfa le condizioni inziali $y(0)=-2+1=-1; y'(0)=2-1=1 $ e soddisfa anche l'equazione originaria come si vede osservando che :

$ y=-te^(-t)-2e^(-t)+1 $
$y'=e^(-t)+te^(-t) $
$y''= -te^(-t)$
e infatti $ y''+2y'+y= 1 $ .

[enea8210]

mamma mia mi starai odiando...cmq grazie

[Camillo]

Spero che ti serva... se vuoi che ti mandi degli appunti con esercizi sulla trasformata di Laplace fammi sapere il tuo indirizzo e-mail ,

[messicoenuvole]

Caro Camillo questo invece e' un esercizio proposta all'ultimo appello di analisi 2 di ing. elettrica politecnico di Bari.Lo sapresti risolvere?

y"-2y'=u(t) ove u(t) credo che sia LA FUNZIONE UNIT STEP
y(0)=0
y'(0)=1


[mod="Camillo"]Era meglio aprire un topic separato.
Per scrivere più chiaro le formule vai a vedere

https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html

Fai vedere un tuo accenno almeno di soluzione .....[/mod]

[messicoenuvole]

Vorrei capire se effetivamente quel u(t) che compare al secondo membro della prima equazione e' la funzione unit step!La sua trasformata e' 1/s...Se cio' e' giusto scrivo l'esercizio....

[Camillo]

Sì è detta anche funzione di Heaviside e vale $u(x)=1$ per $x>0 $ ; $u(x)=0 $ per $x<0 $. La sua trasformata è $1/s $ .

[messicoenuvole]

Provo a risolvere:Inizio trasformando tutto secondo Laplace:

$s^2Y(s)-sY(0)-Y'(0)+2(sY(s)-Y(0))=1/s$

Imponedo le condizioni iniziali e isolonado Y(S) ottengo:


$Y(s)=(1+s)/(s(s^2-2s))$ Il mio problema e' quello di risolver questa antitrasformata!!(Ho provato a fattorizzare il denominatore ma non serve)

[Camillo]

Quello che hai trovato è corretto [per $t > 0 $].
Quindi

$Y(s) = (1+s)/(s^2(s-2)) $ è la tua stessa formula.
Adesso per poter antitrasformare bisogna scomporre la frazione in una somma di fratti semplici , cioè a dire :

$(1+s)/((s^2(s-2)))= A/s+B/s^2 +C/(s-2)=[As(s-2)+B(s-2)+Cs^2]/(s^2(s-2) $
Facendo i conti e applicando il principio di identità dei polinomi troverai che $A=-3/4 ;B=-1/2;C= 3/4$.
Dunque $Y(s)= (-3/4)/s-(1/2)/s^2+(3/4)/(s-2) $ e quindi antitrasformando:

$y(t)= -3/4-t/2+(3/4)e^(2t)$ che soddisfa l'equazione differenziale e i valori iniziali e quindi risolve il PdC.

[messicoenuvole]

Perfetto...ho capito, non riuscivo a scrive la mia formula nella maniera che hai fatto si trattava di una semplice messa in evidenza della s al denominatore.Volevo apportare una correzione alla traccia:nel secondo membro della prima equazione il simbolo e' questo $u_1(t)$ si tratta sempre del gradino ?anche se compare come pedice quel 1??Abbiamo determinato l'integrale generale per t>0 ora devo farlo anche per t Dimenticavo,puoi passarmi esercizi o appunti sull'argomento LAPLACE?A noi elettrici serve molto quindi l'esercizio su tale argomento capita sempre in appello.Il mio indirizzo mail e' [e-mail] .Per scrivere un esercizio sulla CONVOLUZIONE apro un altro posto o scrivo sempre qui?

[Camillo]

"messicoenuvole":Perfetto...ho capito, non riuscivo a scrive la mia formula nella maniera che hai fatto si trattava di una semplice messa in evidenza della s al denominatore.Volevo apportare una correzione alla traccia:nel secondo membro della prima equazione il simbolo e' questo $u_1(t)$ si tratta sempre del gradino ?
anche se compare come pedice quel 1??
Abbiamo determinato l'integrale generale per t>0 ora devo farlo anche per t GRAZIE Giuseppe
Dimenticavo,puoi passarmi esercizi o appunti sull'argomento LAPLACE?A noi elettrici serve molto quindi l'esercizio su tale argomento capita sempre in appello.Il mio indirizzo mail e' [e-mail] .Per scrivere un esercizio sulla CONVOLUZIONE apro un altro posto o scrivo sempre qui?

La risposta alle tue domande è sì.

Meglio aprire un altro post .
ti mando email con appunti