Come si risolvono i problemi di Cauchy con Laplace?
salve volevo sapere se esiste una formula generale per risolvere i problemi di cauchy con le trasformate di laplace
grazie
[mod="Fioravante Patrone"]
Non ho resistito a vedere sempre Couchy...[/mod]
grazie
[mod="Fioravante Patrone"]
Non ho resistito a vedere sempre Couchy...[/mod]
Risposte
Ricetta per tutte le trasformate (Fourier compresa):
1) Si controlla che il problema di Cauchy sia L-Trasformabile (le equazioni di solito sono ODE)
2) Si L-Trasforma il problema
3) Si risolve il problema in maniera semplice mediante risoluzione rispetto alla variabile s
4) Si Anti L-Trasforma la soluzione.
Tutto chiaro??
1) Si controlla che il problema di Cauchy sia L-Trasformabile (le equazioni di solito sono ODE)
2) Si L-Trasforma il problema
3) Si risolve il problema in maniera semplice mediante risoluzione rispetto alla variabile s
4) Si Anti L-Trasforma la soluzione.
Tutto chiaro??
assolutamente no
devo fare un'esame e nn ho assolutamente idea di come si risolvono questi problemi dove mi si chiede esplicitamente di risolvere un problema di cauchy con il metodo delle trasformate di laplace
Prova a postare un esercizio.
Comunque si scrive Cauchy e non Couchy 
Allora supponiamo di avere il seguente problema:
${(y'=y),(y(0)=1):}$
1) Posso L-Trasformare il problema!
2) Lo L-Trasformo, ovvero calcolo la trasformata sia per il primo membro che per il secondo:
$L(y')=sL(y)-y(0)$ (ovvero la trasformata di una derivata)
Da qui ho allora:
$sL[y]-y(0)=L[y]$
3) Ricavo $L[y]$
$L[y]=(y(0))/(s-1)$
4) Anti trasformo:
$y=L^(-1)[(y(0))/(s-1)]$
$y=y(0)e^t$
Con il valore iniziale specificato dunque la soluzione al problema di Cauchy è:
$y=e^t$
${(y'=y),(y(0)=1):}$
1) Posso L-Trasformare il problema!
2) Lo L-Trasformo, ovvero calcolo la trasformata sia per il primo membro che per il secondo:
$L(y')=sL(y)-y(0)$ (ovvero la trasformata di una derivata)
Da qui ho allora:
$sL[y]-y(0)=L[y]$
3) Ricavo $L[y]$
$L[y]=(y(0))/(s-1)$
4) Anti trasformo:
$y=L^(-1)[(y(0))/(s-1)]$
$y=y(0)e^t$
Con il valore iniziale specificato dunque la soluzione al problema di Cauchy è:
$y=e^t$
Sia da risolvere il seguente Problema di Cauchy (PdC):
$u''+2u'+2u =0 $
$u(0) =1 $
$u'(0) = 2 $
Trasformo l'equazione e tenendo conto delle condizioni inziali si ha :
$s^2L(u) -s-2+2[sL(u) -1] +2L(u) =0 $
da cui :
$L(u) = (s+4)/(s^2+2s+2) =(s+4)/[(s+1)^2+1] = (s+1)/[(s+1)^2+1] +3/[(s+1)^2+1] =L (e^(-x)cos x +3e^(-x)sinx)$
ed infine $u(x)= e^(-x)cosx+3e^(-x)sinx $ che è la soluzione cercata del PdC, avendo ricordato che :
$L(u')= sL(u) -u(0) $
$L(u'') =s^2L(u) -su(0)-u'(0) $
ed anche che
$L(e^(ax) sinbx )= b/[(s-a)^2+b^2] $ per $s> a $
$L(e^(ax)cosbx) =(s-a)/[(s-a)^2+b^2] $ per $ s > a $ .
$u''+2u'+2u =0 $
$u(0) =1 $
$u'(0) = 2 $
Trasformo l'equazione e tenendo conto delle condizioni inziali si ha :
$s^2L(u) -s-2+2[sL(u) -1] +2L(u) =0 $
da cui :
$L(u) = (s+4)/(s^2+2s+2) =(s+4)/[(s+1)^2+1] = (s+1)/[(s+1)^2+1] +3/[(s+1)^2+1] =L (e^(-x)cos x +3e^(-x)sinx)$
ed infine $u(x)= e^(-x)cosx+3e^(-x)sinx $ che è la soluzione cercata del PdC, avendo ricordato che :
$L(u')= sL(u) -u(0) $
$L(u'') =s^2L(u) -su(0)-u'(0) $
ed anche che
$L(e^(ax) sinbx )= b/[(s-a)^2+b^2] $ per $s> a $
$L(e^(ax)cosbx) =(s-a)/[(s-a)^2+b^2] $ per $ s > a $ .
domani cerco di potare un esercizio che nn so fare
Testo del problema:
risolvere il problema di cauchy f"'(x)+f"(x)+f'(x)+f(x)=0 ; f(0)=f'(0)=0 f"(0)=0 usando il metodo della trs di Laplace.
risolvere il problema di cauchy f"'(x)+f"(x)+f'(x)+f(x)=0 ; f(0)=f'(0)=0 f"(0)=0 usando il metodo della trs di Laplace.
${(y'''+y''+y'+y=0),(y(0)=y'(0)=y''(0)=0):}$
Trasformo:
$L[y''']=s^3L[y]-s^2y''(0)-sy'(0)-y(0)=s^3L[y]$
$L[y'']=s^2L[y]-sy'(0)-y(0)=s^2L[y]$
$L[y']=sL[y]-y(0)=sL[y]$
Ed ottengo che il problema diventa:
$s^3L[y]+s^2L[y]+sL[y]+L[y]=0$
$L[y](s^3+s^2+s+1)=0$
Ora la soluzione è:
$L[y]=0$
Antitrasformo:
$L^(-1)[0]=0$
ovvero:
$y=f(x) \equiv 0$
Trasformo:
$L[y''']=s^3L[y]-s^2y''(0)-sy'(0)-y(0)=s^3L[y]$
$L[y'']=s^2L[y]-sy'(0)-y(0)=s^2L[y]$
$L[y']=sL[y]-y(0)=sL[y]$
Ed ottengo che il problema diventa:
$s^3L[y]+s^2L[y]+sL[y]+L[y]=0$
$L[y](s^3+s^2+s+1)=0$
Ora la soluzione è:
$L[y]=0$
Antitrasformo:
$L^(-1)[0]=0$
ovvero:
$y=f(x) \equiv 0$
ah ok grazie
Adesso ci aspettiamo qualche contributo da enea8210....un esercizio risolto , un esercizio risolto in parte perchè ha incontrato difficoltà ad arrivare fino alla fine.
cioè?!
Posta tu qualche tuo esercizio svolto! 
eh prima fatemi capire come si fanno....che non è facile trovare la trasformata di alcune funzioni
[mod="Camillo"]Il Forum non è un luogo in cui si postano degli esercizi che non si sanno fare ( o non si ha voglia di fare ) e si aspetta che qualcuno li risolva.
La nostra "policy" è che chi ha difficoltà faccia vedere che cosa ha fatto, dove e perchè non riesce più a procedere e allora lo aiutiamo.
Credo che nel caso tuo le difficoltà sorgano dalla mancanza di una base teorica sull'argomento, base che ti invito a formarti al più presto.
Altrimenti il nostro supporto verrà a mancare : detto in altre parole non siamo disposti a svolgere esercizi "a macchinetta", per soddisfare la tua speranza che all'esame te ne capiti uno uguale o simile... sarebbe mancare di rispetto alla Matematica che va invece capita con sudore, approfondita e fatta propria.[/mod]
La nostra "policy" è che chi ha difficoltà faccia vedere che cosa ha fatto, dove e perchè non riesce più a procedere e allora lo aiutiamo.
Credo che nel caso tuo le difficoltà sorgano dalla mancanza di una base teorica sull'argomento, base che ti invito a formarti al più presto.
Altrimenti il nostro supporto verrà a mancare : detto in altre parole non siamo disposti a svolgere esercizi "a macchinetta", per soddisfare la tua speranza che all'esame te ne capiti uno uguale o simile... sarebbe mancare di rispetto alla Matematica che va invece capita con sudore, approfondita e fatta propria.[/mod]
allora :
y"+2y'+y=1 y(0)=-1 y'(0)=1
s2L(y)+s-1+2(sL(y)+1)+L(y)=1 .... L(y)= (- s)/(s+1)^2 ..... ora nn so piu come continuare
y"+2y'+y=1 y(0)=-1 y'(0)=1
s2L(y)+s-1+2(sL(y)+1)+L(y)=1 .... L(y)= (- s)/(s+1)^2 ..... ora nn so piu come continuare
dato che nn mi è stato spiegato da nessuno come si svolgono alcuni esercizi...e cioè i passaggi basilari pensavo che avrei potuto troavare aiuto qui...se nn è possibile lo cerco da un'altra parte
Occhio che ora dovresti anche postarli nel formato corretto che trovi qui:
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
prima che il moderatore ri-intervenga
A parte questo fino qui va bene e da qui tocca Anti trasformare la funzione:
$(-s)/(s+1)^2 = -s*(1/(s+1)^2)$
Da cui:
$L^(-1)[s f(s)]=(L^(-1)[f(s)])'$ (Definizione al contrario della derivata sotto la trasformata)
Allora ho che:
$L^(-1)[1/(s+1)^2]= te^(-t)$ (Applicazione della definizione della derivata di funzioni esponenziali)
e quindi:
$L^(-1)[(-s)/(s+1)^2]=-Dte^(-t)=-e^(-t)+te^(-t)$
Verifica:
$L[e^(-t)(t-1)]= int_0^(oo) e^(-t)(t-1)e^(-st) dt = int_0^(oo) e^(-t)te^(-st) dt - int_0^(oo) e^(-(s+1)t) dt =$[un pochi di conticini]$= 1/(s+1)^2 - 1/(s+1) = (1-s-1)/(s+1)^2 = (-s)/(s+1)^2$
https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
prima che il moderatore ri-intervenga
A parte questo fino qui va bene e da qui tocca Anti trasformare la funzione:
$(-s)/(s+1)^2 = -s*(1/(s+1)^2)$
Da cui:
$L^(-1)[s f(s)]=(L^(-1)[f(s)])'$ (Definizione al contrario della derivata sotto la trasformata)
Allora ho che:
$L^(-1)[1/(s+1)^2]= te^(-t)$ (Applicazione della definizione della derivata di funzioni esponenziali)
e quindi:
$L^(-1)[(-s)/(s+1)^2]=-Dte^(-t)=-e^(-t)+te^(-t)$
Verifica:
$L[e^(-t)(t-1)]= int_0^(oo) e^(-t)(t-1)e^(-st) dt = int_0^(oo) e^(-t)te^(-st) dt - int_0^(oo) e^(-(s+1)t) dt =$[un pochi di conticini]$= 1/(s+1)^2 - 1/(s+1) = (1-s-1)/(s+1)^2 = (-s)/(s+1)^2$
grazie gentilissimo
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