Come risolvere $sinx+cosx>0$
Lo so che è cosa da liceo, ma io la volevo risolvere graficamente, ma non ci sono riuscito.
allora ho fatto cosi:
$sinx>-cosx$
dove $-cosx=sin(x+pi/2)$
riscrivo come:
$sin(x)>sin(x+pi/2)$
ma come di risolve poi? :S
allora ho fatto cosi:
$sinx>-cosx$
dove $-cosx=sin(x+pi/2)$
riscrivo come:
$sin(x)>sin(x+pi/2)$
ma come di risolve poi? :S
Risposte
Moltiplica per [tex]\frac{1}{\sqrt{2}}[/tex] ambo i membri della disequazione [tex]\sin x+\cos x>0[/tex] e sfrutta la formula di addizione del seno.
cioè verrebbe tipo:
$(sin(x)+cos(x))/sqrt(2)>0$
e poi? :S
non ho capito tanto quello che vuoi dire
$(sin(x)+cos(x))/sqrt(2)>0$
e poi? :S
non ho capito tanto quello che vuoi dire
cosa non ti riesce con il metodo grafico ?
Disegna $sinx$ e $-cosx$ e guardi quando il primo sta sopra al secondo..
Disegna $sinx$ e $-cosx$ e guardi quando il primo sta sopra al secondo..
come si disegna $-cos(x)$? questo mi blocca
La formula di addizione del seno è:
[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)[/tex]
Ponendo [tex]\alpha=x[/tex] e [tex]\beta=\frac{\pi}{4}[/tex] ottieni
[tex]\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0[/tex]
A questo punto diventa banale.
[tex]\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)[/tex]
Ponendo [tex]\alpha=x[/tex] e [tex]\beta=\frac{\pi}{4}[/tex] ottieni
[tex]\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)>0[/tex]
A questo punto diventa banale.
Illustro un metodo alternativo, meno forzato di quello proposto da K.Lomax (che, se non ingarri la quantità giusta per cui moltiplicare, è difficile da usare), detto metodo grafico (il motivo si capirà leggendo).*
S'introducono le variabili ausiliarie:
(A) [tex]$\begin{cases} X=\cos x \\ Y=\sin x \end{cases}$[/tex],
le quali evidentemente sono legate dalla relazione [tex]$X^2+Y^2=1$[/tex] (che, graficamente, ti dice che il punto [tex]$(X,Y)$[/tex] sta sulla circonferenza di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex] del piano [tex]$OXY$[/tex]), e si riscrive la disequazione come:
[tex]$X+Y> 0$[/tex]
(che, graficamente, rappresenta il semipiano del piano [tex]$OXY$[/tex] che sta sopra la retta d'equazione [tex]$X+Y=0$[/tex] -bisettrice del secondo e quarto quadrante-).
A questo punto tutto sta a ricercare quali sono i punti del piano [tex]$OXY$[/tex] che verificano contemporaneamente le relazioni:
(*) [tex]$\begin{cases} X+Y> 0 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}$[/tex],
cioè che stanno contemporaneamente sulla circonferenza unitaria e nel semipiano sopra la bisettrice II-IV; facendo un disegnino si trova (la parte in giallo è il semipiano che non interessa):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
circle([0,0],1);
stroke="red"; line([-3,3],[3,-3]);
fill="yellow"; path([[-2.9,2.9],[2.9,-2.9],[-2.9,-2.9]]);[/asvg]
Una volta determinato graficamente l'arco della circonferenza unitaria che contiene le soluzioni del sistema ausiliario (*) rimane da determinare la [tex]$x$[/tex]: tenendo presente le (A), concludiamo che [tex]$x$[/tex] è l'angolo formato dal raggio, congiungente il centro [tex]$O$[/tex] col punto [tex]$(X,Y)$[/tex] veriabile sulla circonferenza, con il semiasse delle [tex]$X$[/tex] positive; pertanto le soluzioni della disequazione originaria nell'intervallo [tex]$[-\pi, \pi]$[/tex] sono:
[tex]$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4} \pi$[/tex] (le disuguaglianze strette giustificate dal fatto che non vogliamo punti [tex]$(X,Y)$[/tex] sulla bisettrice)
e, per ricavare tutte le soluzioni di [tex]$\sin x+\cos x\geq 0$[/tex], bisogna aggiungere la periodicità, ottenendo:
[tex]$-\frac{\pi}{4} +2k\pi < x < \frac{3}{4} \pi +2k\pi$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex].
***
Evidentemente questo metodo va bene, più in generale, per risolvere disequazioni nella forma [tex]$f(\cos x, \sin x)\geq 0$[/tex], in cui [tex]$f(X,Y)$[/tex] è una funzione definita almeno in un aperto [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] che ha intersezione non vuota con la circonferenza unitaria.
__________
* Di solito s'insegna alle superiori.
S'introducono le variabili ausiliarie:
(A) [tex]$\begin{cases} X=\cos x \\ Y=\sin x \end{cases}$[/tex],
le quali evidentemente sono legate dalla relazione [tex]$X^2+Y^2=1$[/tex] (che, graficamente, ti dice che il punto [tex]$(X,Y)$[/tex] sta sulla circonferenza di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex] del piano [tex]$OXY$[/tex]), e si riscrive la disequazione come:
[tex]$X+Y> 0$[/tex]
(che, graficamente, rappresenta il semipiano del piano [tex]$OXY$[/tex] che sta sopra la retta d'equazione [tex]$X+Y=0$[/tex] -bisettrice del secondo e quarto quadrante-).
A questo punto tutto sta a ricercare quali sono i punti del piano [tex]$OXY$[/tex] che verificano contemporaneamente le relazioni:
(*) [tex]$\begin{cases} X+Y> 0 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}$[/tex],
cioè che stanno contemporaneamente sulla circonferenza unitaria e nel semipiano sopra la bisettrice II-IV; facendo un disegnino si trova (la parte in giallo è il semipiano che non interessa):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
circle([0,0],1);
stroke="red"; line([-3,3],[3,-3]);
fill="yellow"; path([[-2.9,2.9],[2.9,-2.9],[-2.9,-2.9]]);[/asvg]
Una volta determinato graficamente l'arco della circonferenza unitaria che contiene le soluzioni del sistema ausiliario (*) rimane da determinare la [tex]$x$[/tex]: tenendo presente le (A), concludiamo che [tex]$x$[/tex] è l'angolo formato dal raggio, congiungente il centro [tex]$O$[/tex] col punto [tex]$(X,Y)$[/tex] veriabile sulla circonferenza, con il semiasse delle [tex]$X$[/tex] positive; pertanto le soluzioni della disequazione originaria nell'intervallo [tex]$[-\pi, \pi]$[/tex] sono:
[tex]$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4} \pi$[/tex] (le disuguaglianze strette giustificate dal fatto che non vogliamo punti [tex]$(X,Y)$[/tex] sulla bisettrice)
e, per ricavare tutte le soluzioni di [tex]$\sin x+\cos x\geq 0$[/tex], bisogna aggiungere la periodicità, ottenendo:
[tex]$-\frac{\pi}{4} +2k\pi < x < \frac{3}{4} \pi +2k\pi$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex].
***
Evidentemente questo metodo va bene, più in generale, per risolvere disequazioni nella forma [tex]$f(\cos x, \sin x)\geq 0$[/tex], in cui [tex]$f(X,Y)$[/tex] è una funzione definita almeno in un aperto [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] che ha intersezione non vuota con la circonferenza unitaria.
__________
* Di solito s'insegna alle superiori.
Me con le parametriche non potevamo uscirne prima?
$ 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2) > 0 \to t^2 - 2t - 1 < 0 $.. E poi discutere i punti in cui $ x = \pi/2 + k\pi $
PS: $ t = tan(x/2) $
$ 2t/(1+t^2) + (1-t^2)/(1+t^2) > 0 \to t^2 - 2t - 1 < 0 $.. E poi discutere i punti in cui $ x = \pi/2 + k\pi $
PS: $ t = tan(x/2) $
@pater46: Anche... Però le formule parametriche non le ricordo mai. 
Ti dirò, a me neanche piacciono tanto. Però in certe situazioni tornano utili, per esempio per evitare di arrovellarti troppo per una disequazione/ equazione di primo grado... Oppure certi integrali...
Le formule parametriche sono spesso utili ma mi paicciono poco perchè mi ricordano metodi " brute force "
In questo caso il metodo più elegante IMHO è quello grafico usato da gugo.
In questo caso il metodo più elegante IMHO è quello grafico usato da gugo.
"gugo82":
Illustro un metodo alternativo, meno forzato di quello proposto da K.Lomax (che, se non ingarri la quantità giusta per cui moltiplicare, è difficile da usare), detto metodo grafico (il motivo si capirà leggendo).*
S'introducono le variabili ausiliarie:
(A) [tex]$\begin{cases} X=\cos x \\ Y=\sin x \end{cases}$[/tex],
le quali evidentemente sono legate dalla relazione [tex]$X^2+Y^2=1$[/tex] (che, graficamente, ti dice che il punto [tex]$(X,Y)$[/tex] sta sulla circonferenza di centro [tex]$(0,0)$[/tex] e raggio [tex]$1$[/tex] del piano [tex]$OXY$[/tex]), e si riscrive la disequazione come:
[tex]$X+Y> 0$[/tex]
(che, graficamente, rappresenta il semipiano del piano [tex]$OXY$[/tex] che sta sopra la retta d'equazione [tex]$X+Y=0$[/tex] -bisettrice del secondo e quarto quadrante-).
A questo punto tutto sta a ricercare quali sono i punti del piano [tex]$OXY$[/tex] che verificano contemporaneamente le relazioni:
(*) [tex]$\begin{cases} X+Y> 0 \\ X^2+Y^2=1\end{cases}$[/tex],
cioè che stanno contemporaneamente sulla circonferenza unitaria e nel semipiano sopra la bisettrice II-IV; facendo un disegnino si trova (la parte in giallo è il semipiano che non interessa):
[asvg]xmin=-2;xmax=2;ymin=-2;ymax=2;
axes("","");
circle([0,0],1);
stroke="red"; line([-3,3],[3,-3]);
fill="yellow"; path([[-2.9,2.9],[2.9,-2.9],[-2.9,-2.9]]);[/asvg]
Una volta determinato graficamente l'arco della circonferenza unitaria che contiene le soluzioni del sistema ausiliario (*) rimane da determinare la [tex]$x$[/tex]: tenendo presente le (A), concludiamo che [tex]$x$[/tex] è l'angolo formato dal raggio, congiungente il centro [tex]$O$[/tex] col punto [tex]$(X,Y)$[/tex] veriabile sulla circonferenza, con il semiasse delle [tex]$X$[/tex] positive; pertanto le soluzioni della disequazione originaria nell'intervallo [tex]$[-\pi, \pi]$[/tex] sono:
[tex]$-\frac{\pi}{4} < x < \frac{3}{4} \pi$[/tex] (le disuguaglianze strette giustificate dal fatto che non vogliamo punti [tex]$(X,Y)$[/tex] sulla bisettrice)
e, per ricavare tutte le soluzioni di [tex]$\sin x+\cos x\geq 0$[/tex], bisogna aggiungere la periodicità, ottenendo:
[tex]$-\frac{\pi}{4} +2k\pi < x < \frac{3}{4} \pi +2k\pi$[/tex] con [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex].
***
Evidentemente questo metodo va bene, più in generale, per risolvere disequazioni nella forma [tex]$f(\cos x, \sin x)\geq 0$[/tex], in cui [tex]$f(X,Y)$[/tex] è una funzione definita almeno in un aperto [tex]$\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$[/tex] che ha intersezione non vuota con la circonferenza unitaria.
__________
* Di solito s'insegna alle superiori.
gran bella spiegazione! *_*
lo so che si fa al liceo, ma a volte tutte queste proprietà sfuggono!
"clever":
[quote="gugo82"]Illustro un metodo alternativo, [...] detto metodo grafico [...]
Di solito s'insegna alle superiori.
lo so che si fa al liceo, ma a volte tutte queste proprietà sfuggono!
[/quote]Beh, anche l'alfabeto si insegna alle elementari, ma scommetto che lo ricordi ancora...
Voglio dire che ci sono delle cose di base che, per quanto siano state studiate lontano nel tempo, non devono andare mai perse (soprattutto se si frequenta una facoltà scientifica!).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo