Come disegnare grafico di funzione fratta?

[francesfarmer]

Ciao a tutti. Mi trovo in difficoltà perché non so come disegnare il grafico di una funzione fratta.
Ad esempio

$(x)/(x-1)$ come faccio? Ho cercato ovunque su internet ma non ci ho capito molto.

[HaldoSax]

Ciao francesfarmer utilizza geogebra e il gioco è fatto .Scherzi a parte prima di tutto bisogna studiare il dominio della funzione. Per quelle fratte bisogna porre il denominatore diverso da zero e poi vedere le condizioni di esistenza della funzione al denominatore. In questo caso è sufficiente porre $x\ne1$.
il secondo passo è quello di studiare la positività ponendo la funzione $\ge0$. Poi si studiano i limiti agli estremi del dominio. Il penultimo passo consiste nello studiare la derivata per ricercare eventuali massimi o minimi ed infine la derivata seconda per studiare eventuali flessi. .

Ad esempio: $y=\frac{1}{sqrt{x-1}}$

Dominio $sqrt{x-1}\ne0$ -> $x\ne1$
$x-1>0$ -> $x>1$

D:$(1;+\infty)$

$y\ge0$ ------> $\frac{1}{sqrt{x-1}}\ge0$ --------> $x\ge1$

$\lim_{x \to 1} y(x)=\+infty$

$\lim_{x \to +\infty} y(x)=0$

$y'\ge0$ -> $-\frac{1}{2(x-1)^(3/2)}\ge0$

Spero di essere stato chiaro

[francesfarmer]

Ok, grazie Puoi dirmi se in questo caso sto facendo le cose in modo giusto?

Pongo $x/(x-1) >= 0$
Prima calcolo il numeratore $x>=0$
E poi il denominatore $x-1>0 -> x>1$

Siccome il dominio è $(-infty,0) U (2,+infty)$ calcolo i limiti agli estremi
$lim_(x-> -infty) (x/(x-1)) = lim_(x->-infty) ((x(x/x))/(x(1-1/x))) = 1$

$lim_(x-> 0) (x/(x-1)) = 0$

$lim_(x-> 2) (x/(x-1)) = 2$

$lim_(x-> +infty) (x/(x-1)) = ((x(x/x))/(x(1-1/x)))=1$

La derivata è $1/(x^2-2x+1)$

$1$ è il punto di flesso, non ci sono massimi e minimi.


Avrò fatto un sacco di errori.
Io vorrei solo trovare l'inversa di $x/(x-1)$ ma per vedere se è invertibile devo vedere se è iniettiva e suriettiva. Per vedere se è iniettiva e suriettiva mi serve vedere il grafico.

[HaldoSax]

Ci sono solamente due errori il primo è nel dominio in quanto $x-1\ne0$ ----> $x\ne1$ quindi D: $(-\infty,1)U(1,+\infty)$ non so dove hai trovato $0$ e $2$ , il secondo è un segno meno nella derivata. $-1/(x^2-2x+1)$. Il resto è corretto

[francesfarmer]

Wow non me l'aspettavo grazie mille!

Un'ultima cosa, per disegnare effettivamente il grafico ora che ho trovato tutti questi dati, come faccio?

[HaldoSax]

Lo studio di $y\ge0$ ti dice se la funzione sta sopra o sotto l'asse delle $x$, $+$ sopra $-$ sotto. Il fatto che i limiti all'infinito tendono ad un numero indica che c'è un asintoto orizzontale a quota $y=1$. Il fatto che $y'\le0$ indica che la funzione è sempre decrescente. Infine in tra $0$ e $1$ hai un cambio di concavità.