Come dimostrare che una funzione è speciale
Salve a tutti. Volevo chiedere una curiosità per la quale non ho rintracciato un libro o documentazione inerente. Come si dimostra la trascendenza della funzione gamma e delle altre funzioni speciali (zeta, fz. bessel......) e ancor meglio che le funzioni speciali non sono combinazione di funzioni elementari (algebriche, seno, cos ecc.)? Se non chiedo troppo sarei interessato anche al caso complesso. Ps: Conosco a tal proposito il teorema di liouville il quale prova la non esistenza di primitive semplici. Con esso, quindi si dimostra ad esempio che l'integrale gaussiano e gli integrali ellittici non sono combinazione di funzioni elementari.
Risposte
Beh, secondo me, il teorema di Liouville ti dice quello che vuoi una volta che hai dimostrato una formula di rappresentazione integrale opportuna.
Ad esempio, dato che:
\[
\begin{split}
\operatorname{J}_n (x) &= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \cos \left( nt - x\ \sin t\right)\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \cos(nt)\ \cos(x\ \sin t)\ \text{d} t + \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \sin (nt)\ \sin (x\ \sin t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
(qui \(n\in \mathbb{N}\)), il teorema di Liouville ti dice che \(\operatorname{J}_n\) non è elementare.
Ad esempio, dato che:
\[
\begin{split}
\operatorname{J}_n (x) &= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \cos \left( nt - x\ \sin t\right)\ \text{d} t\\
&= \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \cos(nt)\ \cos(x\ \sin t)\ \text{d} t + \frac{1}{\pi}\ \int_0^\pi \sin (nt)\ \sin (x\ \sin t)\ \text{d} t
\end{split}
\]
(qui \(n\in \mathbb{N}\)), il teorema di Liouville ti dice che \(\operatorname{J}_n\) non è elementare.
ok che ad esempio esiste una rappresentazione integrale per la gamma, ma liouville si riferisce ad un integrale indefinito, quali sono gli integrali ellittici, mentre la rappresentazione integrale della gamma è un integrale definito, la variabile indipendente della funzione compare nella funzione integranda e non come estremo dell'integrale. Per questo sto cercando altri metodi per provare la "specialità" della gamma e delle altre funzioni speciali.
gugo 82, per quanto riguarda l'esempio che mi hai fatto sulle funzionidi bessel, in base al precedente messaggio che ti ho scritto, dimostreresti che Jn è speciale rispetto alla variabile integranda t, mentre devo dimostrarlo relativamente alla variabile x. potresti mostrarmi come fai? Segnalami se conosci anche un po di bibliografia in merito a questo (libri, o materiale su web).
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