Come conviene svolgere un limite?
Buongiorno a tutti,
cercavo un aiuto rispetto a un limite semplice che mi era venuto in mente (non è preso da un esercizo ma serve per spiegareil mio dubbio)
Ad esempio se avessi: $lim (x->-pi) ln(tg(x/2))$
Mi viene in modo semplice di scrivere "mentalmente" $ln(tg(pi/2))=ln(oo)=oo$ (scusate la bruttura
ma volevo solo illustrare il passaggio mentale).
Il miodubbio però è questo: in teoria io non posso fare il limite "a pezzi" mentre io considero lacomposizione come se latangente tende a infinitoe poi allora ln tende a infinito. Ma dovrebbe essere in teoria un errore... allora vorrei capire, realmente quali teoremi sto utilizzando come è formalmente corretto svolgerlo?
Vi ringrazio, spero davvero di capire più a fondo con l'aiuto di qualcuno
cercavo un aiuto rispetto a un limite semplice che mi era venuto in mente (non è preso da un esercizo ma serve per spiegareil mio dubbio)
Ad esempio se avessi: $lim (x->-pi) ln(tg(x/2))$
Mi viene in modo semplice di scrivere "mentalmente" $ln(tg(pi/2))=ln(oo)=oo$ (scusate la bruttura
ma volevo solo illustrare il passaggio mentale).Il miodubbio però è questo: in teoria io non posso fare il limite "a pezzi" mentre io considero lacomposizione come se latangente tende a infinitoe poi allora ln tende a infinito. Ma dovrebbe essere in teoria un errore... allora vorrei capire, realmente quali teoremi sto utilizzando come è formalmente corretto svolgerlo?
Vi ringrazio, spero davvero di capire più a fondo con l'aiuto di qualcuno
Risposte
Perché dovrebbe essere un errore?
Ciao gugo82, in realtà so che è corretto ma non so quanto formalmente sia un ragionamento corretto perché non riesco appieno a capire che teoremi stia usando per giungere al risultato (come primo dubbio)
Come secondo punto dubbio, invece, mi accorgo che risolvendo in questo modo "a pezzi" certe volte arrivo ad errore (quindi mi pare in generale sbagliato). Un esempio su tutti il limite neperiano: $(1+0)^oo=1^oo$ facendo sempre il ragionamento di cui sopra di passaggio al limite "a pezzi".
Insomma vorrei chiarire meglio questi due punti che mi confondono
PS: nel limite volevo scrivere $pi^-$ ma non ero ben riuscito prima mi accorgo solo ora.
Come secondo punto dubbio, invece, mi accorgo che risolvendo in questo modo "a pezzi" certe volte arrivo ad errore (quindi mi pare in generale sbagliato). Un esempio su tutti il limite neperiano: $(1+0)^oo=1^oo$ facendo sempre il ragionamento di cui sopra di passaggio al limite "a pezzi".
Insomma vorrei chiarire meglio questi due punti che mi confondono
PS: nel limite volevo scrivere $pi^-$ ma non ero ben riuscito prima mi accorgo solo ora.
Ciao mafoldo,
Benvenuto sul forum!
Credo che potrebbe tornarti utile questo thread, anche se è un po' datato...
Benvenuto sul forum!
Credo che potrebbe tornarti utile questo thread, anche se è un po' datato...
Ciao pilloeffe, grazie per la lettura che ho molto apprezzato. In realtà mi era già chiaro e ho riletto ed èservito a convincermi di quanto già sapevo riordinando le idee.
Diciamo però che il mio dubbio è più teorico che pragmatico, soinfatti il risultato di quei limiti, ma non capisco le due domande di cui sopranel mio ultimo post.
Non capisco cioè cosa mi permetta certe volte di fare a pezzi il limite (come nel mio esempio iniziale), mentre nel limite di nepero come sappiamo no se no giungeremmo all'errato uno a infinito quando sappiamo essere e.
Poi vorrei capire quali teoremi sto usando per sostituire nel mio esempio oo come fosse una funzione continua. Io ho studiato di pari passo la teoria, ma mi sembra di applicare il metodo risolutivo senza sapere DAVERO cosa io stia facendo.
Era quesrto il senso della domanda
Diciamo però che il mio dubbio è più teorico che pragmatico, soinfatti il risultato di quei limiti, ma non capisco le due domande di cui sopranel mio ultimo post.
Non capisco cioè cosa mi permetta certe volte di fare a pezzi il limite (come nel mio esempio iniziale), mentre nel limite di nepero come sappiamo no se no giungeremmo all'errato uno a infinito quando sappiamo essere e.
Poi vorrei capire quali teoremi sto usando per sostituire nel mio esempio oo come fosse una funzione continua. Io ho studiato di pari passo la teoria, ma mi sembra di applicare il metodo risolutivo senza sapere DAVERO cosa io stia facendo.
Era quesrto il senso della domanda
Se ho capito bene ti manca il passaggio
$\lim(\ln\tan x)=\ln(\lim\tan x)$
Un buon punto di partenza è il teorema di continuità della funzione composta (da funzioni continue)
$\lim(\ln\tan x)=\ln(\lim\tan x)$
Un buon punto di partenza è il teorema di continuità della funzione composta (da funzioni continue)
Esatto però non capisco bene come usarlo esendo infinito non un punto di continuità (non è proprio un vero punto l'infinito).
Inoltre non capisco perché non valga per il limite di nepero, nel senso se vale per lim(lntanx)=ln(limtanx) perché non vale "sostituire" nel limite di nepero (appunto quello che si dice fare a pezzi il limite).
Mi sono incartato su queste due cose.
Inoltre non capisco perché non valga per il limite di nepero, nel senso se vale per lim(lntanx)=ln(limtanx) perché non vale "sostituire" nel limite di nepero (appunto quello che si dice fare a pezzi il limite).
Mi sono incartato su queste due cose.
Fare (erroneamente) il limite a pezzi è un'altra cosa rispetto alla forma indeterminata del limite che definisce il numero di Nepero e rispetto alla possibilità di "portare il limite dentro le funzioni continue" nel caso dell'esempio che hai proposto qui; "fare il limite a pezzi" significa mandare al limite solo alcuni fattori che dipendono da $x$ nella funzione, quando invece, nel momento in cui $x \to x_0$, tutto ciò che dipende da $x$ deve tendere a $x_0$ simultaneamente.
Esempio di "mandare il limite a pezzi e sbagliare": consideriamo la funzione $f(x)=\frac{\sin x - x}{x^3}$ e calcoliamone il limite per $x \to 0^+$. Sai che $\frac{\sin x}{x} \to 1$ per $x \to 0^+$, scrivendo il limite come
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x - x}{x^3} =\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\sin x}{x}-\frac{1}{x^2}\right)$$
Si fa ora un pensiero abominevole tipo: dato che $\frac{\sin x}{x} \to 1$ per $x \to 0^+$, si manda solo $\frac{\sin x}{x}$ ad $1$ ignorando che altri termini sotto il segno di limite dipendono da $x$, giungendo erroneamente a
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}\cdot 1-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0^+} 0 = 0$$
Come vedi, non ha senso perché altri termini sotto il segno di limite dipendono da $x$; infatti (senza usare tecniche più avanzate, come gli sviluppi di Taylor) passando al limite tutto insieme (nella scrittura della funzione prima dell'abominio) otterresti giustamente la forma indeterminata $\infty - \infty$ e non potresti concludere nulla.
Ricorda inoltre che le forme indeterminate si ottengono quando due termini tendono alle quantità che generano la forma indeterminata: nella logica del ragionamento sbagliato che stiamo seguendo non si ha una forma indeterminata, perché ciò che tenderebbe a $\infty-\infty$ si cancella prima di passare al limite lasciando sotto il segno di limite la funzione identicamente nulla, che ha pertanto limite nullo.
Nel limite che definisce il numero di Nepero invece, hai mandato correttamente tutto ciò che dipende da $n$ al limite ma non puoi concludere nulla perché si presenta una forma indeterminata; quindi ci vuole un'analisi più approfondita, non hai fatto un errore. Se giungi a $1^\infty$ significa solamente che non puoi dedurre a priori il risultato del limite procedendo per sostituzione, non che hai sbagliato.
Nel caso del limite che hai portato qua come esempio, vorresti sfruttare dei teoremi che ti assicurano di poter eseguire impunemente quelle operazioni: uno è quello che ha già citato Nickbru, ossia quello sulla continuità della composizione di funzioni continue, l'altro è il teorema del limite di funzioni composte; tutti i tuoi dubbi sul fatto che ci sia $\infty$ di mezzo si sviscerano leggendo bene i teoremi in gioco e conoscendo le proprietà degli oggetti matematici che si considerano in tali teoremi (ponendo particolare attenzione su "punti di accumulazione"). Su che libro di testo stai studiando?
Esempio di "mandare il limite a pezzi e sbagliare": consideriamo la funzione $f(x)=\frac{\sin x - x}{x^3}$ e calcoliamone il limite per $x \to 0^+$. Sai che $\frac{\sin x}{x} \to 1$ per $x \to 0^+$, scrivendo il limite come
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x - x}{x^3} =\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\sin x}{x}-\frac{1}{x^2}\right)$$
Si fa ora un pensiero abominevole tipo: dato che $\frac{\sin x}{x} \to 1$ per $x \to 0^+$, si manda solo $\frac{\sin x}{x}$ ad $1$ ignorando che altri termini sotto il segno di limite dipendono da $x$, giungendo erroneamente a
$$\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}\cdot 1-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0^+} \left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0^+} 0 = 0$$
Come vedi, non ha senso perché altri termini sotto il segno di limite dipendono da $x$; infatti (senza usare tecniche più avanzate, come gli sviluppi di Taylor) passando al limite tutto insieme (nella scrittura della funzione prima dell'abominio) otterresti giustamente la forma indeterminata $\infty - \infty$ e non potresti concludere nulla.
Ricorda inoltre che le forme indeterminate si ottengono quando due termini tendono alle quantità che generano la forma indeterminata: nella logica del ragionamento sbagliato che stiamo seguendo non si ha una forma indeterminata, perché ciò che tenderebbe a $\infty-\infty$ si cancella prima di passare al limite lasciando sotto il segno di limite la funzione identicamente nulla, che ha pertanto limite nullo.
Nel limite che definisce il numero di Nepero invece, hai mandato correttamente tutto ciò che dipende da $n$ al limite ma non puoi concludere nulla perché si presenta una forma indeterminata; quindi ci vuole un'analisi più approfondita, non hai fatto un errore. Se giungi a $1^\infty$ significa solamente che non puoi dedurre a priori il risultato del limite procedendo per sostituzione, non che hai sbagliato.
Nel caso del limite che hai portato qua come esempio, vorresti sfruttare dei teoremi che ti assicurano di poter eseguire impunemente quelle operazioni: uno è quello che ha già citato Nickbru, ossia quello sulla continuità della composizione di funzioni continue, l'altro è il teorema del limite di funzioni composte; tutti i tuoi dubbi sul fatto che ci sia $\infty$ di mezzo si sviscerano leggendo bene i teoremi in gioco e conoscendo le proprietà degli oggetti matematici che si considerano in tali teoremi (ponendo particolare attenzione su "punti di accumulazione"). Su che libro di testo stai studiando?
Il problema, come già notavo tempo fa, è che non si conosce un enunciato generale per il Teorema sul Limite di una Funzione Composta. Invece di fare le cose per bene, ci si limita a dare una versione del teorema con la componente esterna continua e la componente interna convergente e questo porta ai dubbi che ogni tanto, ciclicamente, emergono.
Tanto per sapere, che libro usi?
Tanto per sapere, che libro usi?
Vi ringrazio per aver evidenziato il mio errore, in un messaggio molto dettagliatamente e credo di aver colto.
In effetti ho compreso meglio la differenza del fare a pezzi un limite v/s forma indeterminata. Vorrei in maggior modo approfondire il discorso, nel senso che mi chiedo: perché quando c'è una forma determinata sicuramente non vale quella "algebra dei limiti che discende dai vari teoremi sui limiti"?
Definisco meglio il dubbio: quello che voglio dire è che tutte le forme indeterminate mi pare escano empiricamente, cioè se ho $0*oo, 1^oo...$ concludiamo sempre essere forme indeterminate e non poter dire quanto viene il limite (quindi ci suggerisce di usare altre strade); tuttavia questa "definizione" esce dall'esperienza di qualcuno che le ha codificate, non esiste nessun teorema che dica che tutte le forme determinate sono quelle e solo quelle. Perché un domani non potremmo trovare una forma indeterminata espressa in altro modo rispetto alle classiche 7?
Quello che fatico a vedere nell'utilizzare la "sostituzione dell'infinito" e quando mi esce dal limite $1*oo$ e dico essere infinito mi pare un mero raginamento empirico,ma per quale motivo una funzione che si riduce ad essere 1*oo in effetti dà infinito, non mi sembra seguire la definizione di limite tendente a oo, applico una mera sostituzione e non riesco sempre a trovare un teorema che mi dica che quello che faccio è corretto.
Non so se ho reso bene la domanda che mi pongo.
Riguardo la domanda sul libro, credo di aver sbagliato nel senso che fino ad ora ho usato le dispense perché ho faticato tanto a seguire le lezioni e mi sembrava andasse a una velocità x3 rispetto alla mia capacità di comprensiva e questo mi ha costretto a seguire passo passo le note (tutto sommato) dettagliate del professore. Ora, con più calma, vorrei trovare un libro consono per (diciamo) passare alla fase 2 rispetto alla mia infarinatura che ho ottenuto finora. Se avete consigli ascolto volentieri. Anzi, la domanda capita a fagiuolo.
In effetti ho compreso meglio la differenza del fare a pezzi un limite v/s forma indeterminata. Vorrei in maggior modo approfondire il discorso, nel senso che mi chiedo: perché quando c'è una forma determinata sicuramente non vale quella "algebra dei limiti che discende dai vari teoremi sui limiti"?
Definisco meglio il dubbio: quello che voglio dire è che tutte le forme indeterminate mi pare escano empiricamente, cioè se ho $0*oo, 1^oo...$ concludiamo sempre essere forme indeterminate e non poter dire quanto viene il limite (quindi ci suggerisce di usare altre strade); tuttavia questa "definizione" esce dall'esperienza di qualcuno che le ha codificate, non esiste nessun teorema che dica che tutte le forme determinate sono quelle e solo quelle. Perché un domani non potremmo trovare una forma indeterminata espressa in altro modo rispetto alle classiche 7?
Quello che fatico a vedere nell'utilizzare la "sostituzione dell'infinito" e quando mi esce dal limite $1*oo$ e dico essere infinito mi pare un mero raginamento empirico,ma per quale motivo una funzione che si riduce ad essere 1*oo in effetti dà infinito, non mi sembra seguire la definizione di limite tendente a oo, applico una mera sostituzione e non riesco sempre a trovare un teorema che mi dica che quello che faccio è corretto.
Non so se ho reso bene la domanda che mi pongo
.Riguardo la domanda sul libro, credo di aver sbagliato nel senso che fino ad ora ho usato le dispense perché ho faticato tanto a seguire le lezioni e mi sembrava andasse a una velocità x3 rispetto alla mia capacità di comprensiva e questo mi ha costretto a seguire passo passo le note (tutto sommato) dettagliate del professore. Ora, con più calma, vorrei trovare un libro consono per (diciamo) passare alla fase 2 rispetto alla mia infarinatura che ho ottenuto finora. Se avete consigli ascolto volentieri
. Anzi, la domanda capita a fagiuolo.
"mafoldo":
Vorrei in maggior modo approfondire il discorso, nel senso che mi chiedo: perché quando c'è una forma determinata sicuramente non vale quella "algebra dei limiti che discende dai vari teoremi sui limiti"?
Se riesci a dare una definizione di “forma indeterminata” lo capisci…
"mafoldo":
Definisco meglio il dubbio: quello che voglio dire è che tutte le forme indeterminate mi pare escano empiricamente […]
No.
"mafoldo":
[…] cioè se ho $0*oo, 1^oo...$ concludiamo sempre essere forme indeterminate e non poter dire quanto viene il limite (quindi ci suggerisce di usare altre strade)
L’avverbio “sempre” è insidioso, in Matematica quanto nella vita.
Ad esempio, il $lim_(n -> oo) 0*n$ è in forma indeterminata?
Il limite $lim_(x -> - oo) 1^x$ è in forma indeterminata?
"mafoldo":
[…] tuttavia questa "definizione" esce dall'esperienza di qualcuno che le ha codificate, non esiste nessun teorema che dica che tutte le forme determinate sono quelle e solo quelle. Perché un domani non potremmo trovare una forma indeterminata espressa in altro modo rispetto alle classiche 7?
Quello che fatico a vedere nell'utilizzare la "sostituzione dell'infinito" e quando mi esce dal limite $1*oo$ e dico essere infinito mi pare un mero raginamento empirico,ma per quale motivo una funzione che si riduce ad essere 1*oo in effetti dà infinito, non mi sembra seguire la definizione di limite tendente a oo, applico una mera sostituzione e non riesco sempre a trovare un teorema che mi dica che quello che faccio è corretto.
Non so se ho reso bene la domanda che mi pongo
E da ciò si vede che non hai studiato, stai procedendo “per sentito dire”, avendo ascoltato male e capito meno.
Prendi un libro e vai.
"mafoldo":
Riguardo la domanda sul libro, credo di aver sbagliato nel senso che fino ad ora ho usato le dispense perché ho faticato tanto a seguire le lezioni e mi sembrava andasse a una velocità x3 rispetto alla mia capacità di comprensiva e questo mi ha costretto a seguire passo passo le note (tutto sommato) dettagliate del professore. Ora, con più calma, vorrei trovare un libro consono per (diciamo) passare alla fase 2 rispetto alla mia infarinatura che ho ottenuto finora. Se avete consigli ascolto volentieri
“(Tutto sommato) dettagliate” a detta di chi?
Il libro non serve trovarlo con calma: serve subito.
Ma, dico io, alle superiori li compravo i libri di testo, sì? E come ti viene in mente che all’università i libri siano un optional?
Cosa studi (senza libri)?
Il libro non serve trovarlo con calma: serve subito.
Ma, dico io, alle superiori li compravo i libri di testo, sì? E come ti viene in mente che all’università i libri siano un optional?
Cosa studi (senza libri)?
Intendo dire che sono 560 pagine di dispense: è un preludio del libro che il Professore sta scrivendo. Non sono poche né raffazzonate, intendevo questo.
(alla fine ogni libro è stato scritto da un Professore/essere umano, non capisco perché quello del mio professore debba per forza essere peggiore
; fondamentalmente è stato questo il mio ragionamento.)E da ciò si vede che non hai studiato, stai procedendo “per sentito dire”, avendo ascoltato male e capito meno.
Prendi un libro e vai.
In realtà sentito dire non credo; piuttosto capito meno, quello si
Il limite $lim_(x -> - oo) 1^x$ è in forma indeterminata?
Ovviamente no
"mafoldo":
Definisco meglio il dubbio: quello che voglio dire è che tutte le forme indeterminate mi pare escano empiricamente […]
No.
Lo immaginavo e per questo ho chiesto, perché so/avverto che qualcosa di importante mi sfugge.
Se riesci a dare una definizione di “forma indeterminata” lo capisci…
In effetti questa stavo cercando. Perché probabilemente per ora non ho capito nulla e vorrei leggere una definizione corretta. In che testo potrei trovarla e soprattutto che testo consigliereste?
Inoltre, non è detto che nemmeno leggendo dal testo capisca, perché magari è quello che già ho letto e non ho capito probabilmente...
Scusa, mafoldo, ma come faccio a consigliarti un testo senza sapere a che ti serve?
Cosa studi?
Matematica? Ingegneria? Fisica? Altro?
E, a parte le dispense di 560 pagine del tuo prof (quali sono? Il numero di pagine dice tutto e niente), quali testi ti sono stati consigliati? Ne hai sfogliato/letto qualcuno? Sì? No? Impressioni?
Ad ogni buon conto, se hai studiato i teoremi sui limiti, la definizione di forma indeterminata è lì dentro e, credo, se guardi bene negli appunti la trovi.
Cosa studi?
Matematica? Ingegneria? Fisica? Altro?
E, a parte le dispense di 560 pagine del tuo prof (quali sono? Il numero di pagine dice tutto e niente), quali testi ti sono stati consigliati? Ne hai sfogliato/letto qualcuno? Sì? No? Impressioni?
Ad ogni buon conto, se hai studiato i teoremi sui limiti, la definizione di forma indeterminata è lì dentro e, credo, se guardi bene negli appunti la trovi.
Ti ringrazio ancora per la risposta
Ristudierò questa parte meglio e cercherò altre letture perché probabilmente non ho capito appieno. D'altra parte alcune volte mi capita di non riuscire a collegare teoria al pragmatismo dell'esercizio. Ossia, solo dopo alcuni giorni di esercizi, certe volte mi accorgo e dico <> che pur so dimostrare ma non avevo collegato come "applicazione".
In effetti non l'ho detto (scusatemi): studio fisica
Come dicevo ho più che altro seguito il percorso del professore perché non ho avuto davvero tempo materiale tra algebra lineare, analisi, e altri corsi. Ho dovuto seguire passo-passo per starci dietro con 4 lezioni a settimana di analisi il materiale cresce esponenzialmente ma prima dell'esame voglio prendermi più tempo, per questo faccio il secondo appello a luglio così da avere il tempo per studarlo ben bene. Perora ho dato un primo sguardo d'insieme accompagnato e guidato dal Professore seguendo tutte le lezioni, ma mi serve tempo per approfondire e capire e quello devo farloda solo.
Ho guardato diversi testi, purtroppo non posso acquistarli tutti. Il consigliato De Marco che trovo avvincente svogliandolo, ma sento di non esserci ancora pronto... vorrei avere due testi: uno più semplice da affiancare al De Marco. Per quanto riguarda il librodel Prof l'ho letto velocemente tutto e lo trovo molto simile al De Marco per intenderci.
"gugo82":
Ad ogni buon conto, se hai studiato i teoremi sui limiti, la definizione di forma indeterminata è lì dentro e, credo, se guardi bene negli appunti la trovi.
Ristudierò questa parte meglio e cercherò altre letture perché probabilmente non ho capito appieno. D'altra parte alcune volte mi capita di non riuscire a collegare teoria al pragmatismo dell'esercizio. Ossia, solo dopo alcuni giorni di esercizi, certe volte mi accorgo e dico <
Cosa studi?
Matematica? Ingegneria? Fisica? Altro?
In effetti non l'ho detto (scusatemi): studio fisica
quali testi ti sono stati consigliati? Ne hai sfogliato/letto qualcuno? Sì? No? Impressioni?
Come dicevo ho più che altro seguito il percorso del professore perché non ho avuto davvero tempo materiale tra algebra lineare, analisi, e altri corsi. Ho dovuto seguire passo-passo per starci dietro con 4 lezioni a settimana di analisi il materiale cresce esponenzialmente ma prima dell'esame voglio prendermi più tempo, per questo faccio il secondo appello a luglio così da avere il tempo per studarlo ben bene. Perora ho dato un primo sguardo d'insieme accompagnato e guidato dal Professore seguendo tutte le lezioni, ma mi serve tempo per approfondire e capire e quello devo farloda solo.
Ho guardato diversi testi, purtroppo non posso acquistarli tutti. Il consigliato De Marco che trovo avvincente svogliandolo, ma sento di non esserci ancora pronto... vorrei avere due testi: uno più semplice da affiancare al De Marco. Per quanto riguarda il librodel Prof l'ho letto velocemente tutto e lo trovo molto simile al De Marco per intenderci.
"mafoldo":
Ti ringrazio ancora per la risposta
Prego.
"mafoldo":
[quote="gugo82"]Ad ogni buon conto, se hai studiato i teoremi sui limiti, la definizione di forma indeterminata è lì dentro e, credo, se guardi bene negli appunti la trovi.
Ristudierò questa parte meglio e cercherò altre letture perché probabilmente non ho capito appieno. D'altra parte alcune volte mi capita di non riuscire a collegare teoria al pragmatismo dell'esercizio. Ossia, solo dopo alcuni giorni di esercizi, certe volte mi accorgo e dico <
All'inizio è normale, non preoccuparti.
Però, usualmente, cosa sia una forma indeterminata si chiarisce anche in aula (fisica o virtuale che sia) non appena viene esaurito l'argomento "teoremi sui limiti".
La definizione, grosso modo, è la seguente: "si dice che un limite è in forma indeterminata quando non si possono applicare immediatamente i teoremi sui limiti per calcolarne il valore, ma serve un'ulteriore analisi".
Dunque i limiti $lim_(n -> oo) 0*n$ e $lim_(x -> -oo) 1^x$ o anche $lim_(x -> 0) x*sin(e^(1/x^2))$ non sono forme indeterminate (perché?) ma, ad esempio, $lim_(n -> oo) n*sin(1/n^2)$ lo è.
"mafoldo":Cosa studi?
Matematica? Ingegneria? Fisica? Altro?
In effetti non l'ho detto (scusatemi): studio fisica
Ok, grazie.
"mafoldo":quali testi ti sono stati consigliati? Ne hai sfogliato/letto qualcuno? Sì? No? Impressioni?
Come dicevo ho più che altro seguito il percorso del professore perché non ho avuto davvero tempo materiale tra algebra lineare, analisi, e altri corsi. Ho dovuto seguire passo-passo per starci dietro con 4 lezioni a settimana di analisi il materiale cresce esponenzialmente ma prima dell'esame voglio prendermi più tempo, per questo faccio il secondo appello a luglio così da avere il tempo per studarlo ben bene. Perora ho dato un primo sguardo d'insieme accompagnato e guidato dal Professore seguendo tutte le lezioni, ma mi serve tempo per approfondire e capire e quello devo farloda solo.
Ho guardato diversi testi, purtroppo non posso acquistarli tutti. Il consigliato De Marco che trovo avvincente svogliandolo, ma sento di non esserci ancora pronto... vorrei avere due testi: uno più semplice da affiancare al De Marco. Per quanto riguarda il librodel Prof l'ho letto velocemente tutto e lo trovo molto simile al De Marco per intenderci.
Il De Marco è sicuramente un buon testo, ma personalmente non mi piace un granché.
Se hai fatto uno scientifico decente, ti consiglio il Pagani & Salsa o il Giusti; se invece ti mancano le basi, puoi prendere un testo un po' più elementare, tipo Marcellini & Sbordone.
Ti ringrazio, allora sì, proverò con il giusti che mi sembrava abbastanza formale (vorrei infatti imparare ad esserlo dato che me ne sento ancora distante anni luce). Grazie del consiglio
Perfetto, in effetti è quello che ho letto, però non so perché mi appaia come una cosa empirica e non formale. Non so spiegarlo nel senso che è una sensazione in cui non riescoa racchiudere perfettamente cosa sia una forma indeterminata se non guardando caso per caso (intendevo questo con empirico).
E soprattutto non riesco a vedere perché si riducano sempre solo a quei sette casi, perché non possono essercene altri?
Provo inoltre a rispondere alla tua domanda (dirò cavolate ma credo sia l'unico modo per imparare sforzarmi):
] direi che la prima successione di cui faccio il limite è quella che ha sostegno ${0}_n$, cioè è una successione costante e il limite della costante è la costante stessa.
] essendo $1^x$ continua persvolgere il limite $x->x_0$ posso procedere alla sostituzione del valore $1^(x_0)$ (però qui non so bene come dire nel senso che vale per ogni valore di $x_0$ che sostituisco e la definizione di limite tendente a infinito vuol dire poter considerare un intorno di infinito, cioè poter sostituire ogni valore al di sopra del valore "di controllo M").
Altrimenti potrei mostrare con la definizione di limite che vale 1.
Insomma, non so bene che teorema dire che posso applciare per non essere indeterminata.
] a) questa è una mia vecchia odiata conoscenza, ho avuto un dubbio esistenziale su questa che poi ho capito forse come trattare (ma di cui non sono pienamente certo). Posso dimostrare che ogni volta che ho una funzione limitata stile seno e una infinitesima quale è x facendola tendere a zero, poiché lafunzione seno non solo è limitata ma ha un massimo posso applicare i due carabinieri alla funzione costruita con massimo*x (M*x) e trovare il limite. Insomma non è una forma indeterminata proprio perché con questo teorema del confronto mostro che ha limite (pertanto è unico) e vale proprio 0.
b) D'altro canto forse potrei anche applicare queste? https://www.matematicamente.it/appunti/ ... ui-limiti/
in un certo senso potrei dire: la funzione seno è continua quindi punto per punto posso sostituire un valore ma avrà immagine con valore massimo 1, mettiamo quindi 1, il limite di x vale infinito: quindi stando al teorema della pagina linkata ho 0*1 e quindi il limite vale zero.
Questo secondo approccio sarebbe corretto? Inoltre non mi sono stati attivamente mostrati nelle lezioni quei teoremi (quindi perché il limite del prodotto di due funzioni sia il limite separatamente del prodotto dei limiti lo vorrei dimostrare da solo).
Perquanto riguarda il limite forma indeterminata:
]] Potrei dire la funzione $sin(1/n^2)$ in un intorno di infinito è continua posso valutare il limite perqulunque valore che sia maggiore di M e in particolare tale limite fa zero. Il limite della funzione a moltiplicare: $n$ indicato è infinito, quindi ho 0*oo e stando al teorema del link (pressapoco quello che è stato enunciato anche a me) quando questo capita è indeterminata.
Però siamo in una tautologia del dubbio, perché è indeterminata quando è 0*oo?
Spero avrai voglia di rimproverarmi sugli errori
Però, usualmente, cosa sia una forma indeterminata si chiarisce anche in aula (fisica o virtuale che sia) non appena viene esaurito l'argomento "teoremi sui limiti".
La definizione, grosso modo, è la seguente: "si dice che un limite è in forma indeterminata quando non si possono applicare immediatamente i teoremi sui limiti per calcolarne il valore, ma serve un'ulteriore analisi".
Dunque i limiti $lim_(n -> oo) 0*n$ e $lim_(x -> -oo) 1^x$ o anche $lim_(x -> 0) x*sin(e^(1/x^2))$ non sono forme indeterminate (perché?) ma, ad esempio, $lim_(n -> oo) n*sin(1/n^2)$ lo è.
Perfetto, in effetti è quello che ho letto, però non so perché mi appaia come una cosa empirica e non formale. Non so spiegarlo nel senso che è una sensazione in cui non riescoa racchiudere perfettamente cosa sia una forma indeterminata se non guardando caso per caso (intendevo questo con empirico).
E soprattutto non riesco a vedere perché si riducano sempre solo a quei sette casi, perché non possono essercene altri?
Provo inoltre a rispondere alla tua domanda (dirò cavolate ma credo sia l'unico modo per imparare sforzarmi):
] direi che la prima successione di cui faccio il limite è quella che ha sostegno ${0}_n$, cioè è una successione costante e il limite della costante è la costante stessa.
] essendo $1^x$ continua persvolgere il limite $x->x_0$ posso procedere alla sostituzione del valore $1^(x_0)$ (però qui non so bene come dire nel senso che vale per ogni valore di $x_0$ che sostituisco e la definizione di limite tendente a infinito vuol dire poter considerare un intorno di infinito, cioè poter sostituire ogni valore al di sopra del valore "di controllo M").
Altrimenti potrei mostrare con la definizione di limite che vale 1.
Insomma, non so bene che teorema dire che posso applciare per non essere indeterminata.
] a) questa è una mia vecchia odiata conoscenza
, ho avuto un dubbio esistenziale su questa che poi ho capito forse come trattare (ma di cui non sono pienamente certo). Posso dimostrare che ogni volta che ho una funzione limitata stile seno e una infinitesima quale è x facendola tendere a zero, poiché lafunzione seno non solo è limitata ma ha un massimo posso applicare i due carabinieri alla funzione costruita con massimo*x (M*x) e trovare il limite. Insomma non è una forma indeterminata proprio perché con questo teorema del confronto mostro che ha limite (pertanto è unico) e vale proprio 0.b) D'altro canto forse potrei anche applicare queste? https://www.matematicamente.it/appunti/ ... ui-limiti/
in un certo senso potrei dire: la funzione seno è continua quindi punto per punto posso sostituire un valore ma avrà immagine con valore massimo 1, mettiamo quindi 1, il limite di x vale infinito: quindi stando al teorema della pagina linkata ho 0*1 e quindi il limite vale zero.
Questo secondo approccio sarebbe corretto? Inoltre non mi sono stati attivamente mostrati nelle lezioni quei teoremi (quindi perché il limite del prodotto di due funzioni sia il limite separatamente del prodotto dei limiti lo vorrei dimostrare da solo).
Perquanto riguarda il limite forma indeterminata:
]] Potrei dire la funzione $sin(1/n^2)$ in un intorno di infinito è continua posso valutare il limite perqulunque valore che sia maggiore di M e in particolare tale limite fa zero. Il limite della funzione a moltiplicare: $n$ indicato è infinito, quindi ho 0*oo e stando al teorema del link (pressapoco quello che è stato enunciato anche a me) quando questo capita è indeterminata.
Però siamo in una tautologia del dubbio, perché è indeterminata quando è 0*oo?
Spero avrai voglia di rimproverarmi sugli errori
"mafoldo":Però, usualmente, cosa sia una forma indeterminata si chiarisce anche in aula (fisica o virtuale che sia) non appena viene esaurito l'argomento "teoremi sui limiti".
La definizione, grosso modo, è la seguente: "si dice che un limite è in forma indeterminata quando non si possono applicare immediatamente i teoremi sui limiti per calcolarne il valore, ma serve un'ulteriore analisi".
Dunque i limiti $lim_(n -> oo) 0*n$ e $lim_(x -> -oo) 1^x$ o anche $lim_(x -> 0) x*sin(e^(1/x^2))$ non sono forme indeterminate (perché?) ma, ad esempio, $lim_(n -> oo) n*sin(1/n^2)$ lo è.
Perfetto, in effetti è quello che ho letto, però non so perché mi appaia come una cosa empirica e non formale. Non so spiegarlo nel senso che è una sensazione in cui non riescoa racchiudere perfettamente cosa sia una forma indeterminata se non guardando caso per caso (intendevo questo con empirico).
Macché empirica!
I teoremi sui limiti sono precisi e ti danno esattamente le condizioni in cui possono essere applicati; per tutto il resto c’è forma indeterminata (parafrasando uno spot di qualche tempo fa).
"mafoldo":
E soprattutto non riesco a vedere perché si riducano sempre solo a quei sette casi, perché non possono essercene altri?
Perché quelli sono i casi canonicamente esclusi dai teoremi.
Ce ne sono altri? Sì, ma non del tipo con successioni/funzioni convergenti o divergenti.
"mafoldo":
Provo inoltre a rispondere alla tua domanda (dirò cavolate ma credo sia l'unico modo per imparare sforzarmi):
] direi che la prima successione di cui faccio il limite è quella che ha sostegno ${0}_n$, cioè è una successione costante e il limite della costante è la costante stessa.
Ok.
"mafoldo":
] essendo $1^x$ continua persvolgere il limite $x->x_0$ posso procedere alla sostituzione del valore $1^(x_0)$ (però qui non so bene come dire nel senso che vale per ogni valore di $x_0$ che sostituisco e la definizione di limite tendente a infinito vuol dire poter considerare un intorno di infinito, cioè poter sostituire ogni valore al di sopra del valore "di controllo M").
Altrimenti potrei mostrare con la definizione di limite che vale 1.
Insomma, non so bene che teorema dire che posso applciare per non essere indeterminata.
Com’è fatta la funzione $x |-> 1^x$? C’è bisogno di sostituire $-oo$[nota]Espressione che, di per sé, non significa nulla, dato che $+- oo$ non sono numeri reali, ma simboli convenzionali.[/nota] per calcolarne il limite?
"mafoldo":
] a) questa è una mia vecchia odiata conoscenza
Certo. C’è un teorema che ti dice cosa fare, quindi non c’è alcuna forma indeterminata.
"mafoldo":
b) D'altro canto forse potrei anche applicare queste? https://www.matematicamente.it/appunti/ ... ui-limiti/
in un certo senso potrei dire: la funzione seno è continua quindi punto per punto posso sostituire un valore ma avrà immagine con valore massimo 1, mettiamo quindi 1, il limite di x vale infinito: quindi stando al teorema della pagina linkata ho 0*1 e quindi il limite vale zero.
Questo secondo approccio sarebbe corretto? Inoltre non mi sono stati attivamente mostrati nelle lezioni quei teoremi (quindi perché il limite del prodotto di due funzioni sia il limite separatamente del prodotto dei limiti lo vorrei dimostrare da solo).
No, questo non ha granché senso, almeno per come l’hai scritto.
"mafoldo":
Per quanto riguarda il limite forma indeterminata:
]] Potrei dire la funzione $sin(1/n^2)$ in un intorno di infinito è continua posso valutare il limite perqulunque valore che sia maggiore di M […]
Che vuol dire la parte in corsivo (mio)?
"mafoldo":
[…] e in particolare tale limite fa zero. Il limite della funzione a moltiplicare: $n$ indicato è infinito, quindi ho 0*oo e stando al teorema del link (pressapoco quello che è stato enunciato anche a me) quando questo capita è indeterminata.
Però siamo in una tautologia del dubbio, perché è indeterminata quando è 0*oo?
Non c’è nessun teorema che ti dica qualcosa circa il valore del limite senza approfondire l’analisi, perciò forma indeterminata.
Perché non esiste un teorema simile?
Beh, prova a risolvere i limiti $lim_(n -> oo) n * sin(1/n^2)$, $lim_(n -> oo) n^2 * sin(1/n^2)$ e $lim_(n -> oo) n^3 * sin(1/n^2)$ e pensaci su.
Ti ringrazio molto per la dettagliata risposta.
Rispondo, per non appesantire, solo ai punti in cui non ho detto cose giuste.
Il fatto è che in tutti gli esempi ho trovato un teorema: tipo dei due carabinireri, per altri ho applicato il limite di una funzione continua, però quello che non riesco a capire come teorema è questo (nella parte evidenziata)
era questo che mi lasciava un senso di insoddisfazione, nel senso che non capisco da quale teorema sui limiti derivi quella affermazione e perché sia valida per ogni tipo di caso del genere.
Effettivamente no, nel senso che potrei provare a sostituire vari valori crescenti e accorgermi che rimane sempre uno, faccio una ipotesi e dico "chissà magari vale 1" e poi verificare con la definizione di limite che vale DAVVERO 1?
Forse così rendo rigoroso il processo?
Uhm, intendevo dire che posso coerentemente studiare il limite di $sin(1/n^2)$ perché non vado in un punto fuori dal dominio (che sarebbe lo zero), quindi ovunque per un intorno di infinito da un ceto punto M la funzione è definita. Nel limite valuto tutto i valori fino a infinito, cioè più correttamente da M in poi (dato che infinito non è un reale) e mi accorgo che la funzione composta data tende a zero.
Però anche qui opero in modo un po' naif: prendo valori sempre maggiori e mi accorgo che le oscillazioni "si schiacciano" a infinito attorno a zero -> deduco che viene zero il limite del secondo fattore della funzione iniziale (cioè il seno per intenderci). Non sto però usando un vero teorema, come dovrei metterlo in maniera rigorosa?
Infine non credo di aver colto cosa volessi farmi capire
Ok quindi è una sorta di "vado per esclusione": non esiste teorema che conosco che mi permetta di calcolarlo, devo trovare un'altra via (indeterminata).
Insomma si rifà allo spot di cui sopra (per tutto il resto c’è forma indeterminata)
.
work in progress
Rispondo, per non appesantire, solo ai punti in cui non ho detto cose giuste.
I teoremi sui limiti sono precisi e ti danno esattamente le condizioni in cui possono essere applicati; per tutto il resto c’è forma indeterminata (parafrasando uno spot di qualche tempo fa).
Il fatto è che in tutti gli esempi ho trovato un teorema: tipo dei due carabinireri, per altri ho applicato il limite di una funzione continua, però quello che non riesco a capire come teorema è questo (nella parte evidenziata)
il limite della somma delle due funzioni esiste e coincide con la somma dei due limiti; allo stesso modo, il limite della differenza delle due funzioni esiste e coincide con la differenza dei limiti:
limx→c[f1(x)±f2(x)]=limx→cf1(x)±limx→cf2(x)=l1±l2
Il teorema si può applicare anche al caso di più di due funzioni, e anche al caso in cui una di esse sia la funzione costante.
Nel caso in cui, invece, le funzioni abbiano limite infinito, dobbiamo distinguere diversi casi:
Se una funzione ha limite infinito e l’altra ha limite finito, la loro somma algebrica ha come risultato infinito
era questo che mi lasciava un senso di insoddisfazione, nel senso che non capisco da quale teorema sui limiti derivi quella affermazione e perché sia valida per ogni tipo di caso del genere.
Com’è fatta la funzione $x↦1^x$? C’è bisogno di sostituire −∞ per calcolarne il limite?
Effettivamente no, nel senso che potrei provare a sostituire vari valori crescenti e accorgermi che rimane sempre uno, faccio una ipotesi e dico "chissà magari vale 1" e poi verificare con la definizione di limite che vale DAVVERO 1?
Forse così rendo rigoroso il processo?
Che vuol dire la parte in corsivo (mio)?
Uhm, intendevo dire che posso coerentemente studiare il limite di $sin(1/n^2)$ perché non vado in un punto fuori dal dominio (che sarebbe lo zero), quindi ovunque per un intorno di infinito da un ceto punto M la funzione è definita. Nel limite valuto tutto i valori fino a infinito, cioè più correttamente da M in poi (dato che infinito non è un reale) e mi accorgo che la funzione composta data tende a zero.
Però anche qui opero in modo un po' naif: prendo valori sempre maggiori e mi accorgo che le oscillazioni "si schiacciano" a infinito attorno a zero -> deduco che viene zero il limite del secondo fattore della funzione iniziale (cioè il seno per intenderci). Non sto però usando un vero teorema, come dovrei metterlo in maniera rigorosa?
Infine non credo di aver colto cosa volessi farmi capire
Non c’è nessun teorema che ti dica qualcosa circa il valore del limite senza approfondire l’analisi, perciò forma indeterminata.
Ok quindi è una sorta di "vado per esclusione": non esiste teorema che conosco che mi permetta di calcolarlo, devo trovare un'altra via (indeterminata).
Insomma si rifà allo spot di cui sopra (per tutto il resto c’è forma indeterminata)
.Beh, prova a risolvere i limiti [...] e pensaci su.
work in progress
"mafoldo":
I teoremi sui limiti sono precisi e ti danno esattamente le condizioni in cui possono essere applicati; per tutto il resto c’è forma indeterminata (parafrasando uno spot di qualche tempo fa).
Il fatto è che in tutti gli esempi ho trovato un teorema: tipo dei due carabinireri, per altri ho applicato il limite di una funzione continua, però quello che non riesco a capire come teorema è questo (nella parte evidenziata)
il limite della somma delle due funzioni esiste e coincide con la somma dei due limiti; allo stesso modo, il limite della differenza delle due funzioni esiste e coincide con la differenza dei limiti:
limx→c[f1(x)±f2(x)]=limx→cf1(x)±limx→cf2(x)=l1±l2
Il teorema si può applicare anche al caso di più di due funzioni, e anche al caso in cui una di esse sia la funzione costante.
Nel caso in cui, invece, le funzioni abbiano limite infinito, dobbiamo distinguere diversi casi:
Se una funzione ha limite infinito e l’altra ha limite finito, la loro somma algebrica ha come risultato infinito
era questo che mi lasciava un senso di insoddisfazione, nel senso che non capisco da quale teorema sui limiti derivi quella affermazione e perché sia valida per ogni tipo di caso del genere.
Rimani insoddisfatto per uno di questi due motivi: o il tuo libro ti dà come teorema sul limite della somma solo quello per funzioni/successioni convergenti, oppure perché non hai letto tutti i teoremi proposti, ovvero perché, pur avendolo letti, non l'hai fatto con attenzione/ponendoti le domande giuste.
Nel secondo e terzo caso, guarda e leggi bene; nel primo, o il libro semplicemente "bara" oppure l'autore ha inteso lasciare allo studioso lettore la dimostrazione degli altri casi quale utile esercizio.
In ogni caso, o dal teorema di confronto o facendo tutti i ragionamenti con $epsilon$ e $delta$, si dimostra, ad esempio, che[nota]Prendo il caso delle funzioni, ma per le successioni è uguale.[/nota]:
Siano $X sube RR$ non vuoto, $x_0 in bar(RR)$ un accumulazione per $X$ ed $f,g : X -> RR$.
Se $lim_(x -> x_0) f(x) = + oo$ e $g$ è limitata inferiormente intorno ad $x_0$ allora $lim_(x->x_0) f(x) + g(x) = +oo$.
Invece, se $lim_(x -> x_0) f(x) = - oo$ e $g$ è limitata superiormente intorno ad $x_0$ allora $lim_(x->x_0) f(x) + g(x) = -oo$.
"mafoldo":Com’è fatta la funzione $x↦1^x$? C’è bisogno di sostituire −∞ per calcolarne il limite?
Effettivamente no, nel senso che potrei provare a sostituire vari valori crescenti e accorgermi che rimane sempre uno, faccio una ipotesi e dico "chissà magari vale 1" e poi verificare con la definizione di limite che vale DAVVERO 1?
Forse così rendo rigoroso il processo?
Scusa, ma quanto vale $1^x$?
"mafoldo":
Che vuol dire la parte in corsivo (mio)?
Uhm, intendevo dire che posso coerentemente studiare il limite di $sin(1/n^2)$ perché non vado in un punto fuori dal dominio (che sarebbe lo zero), quindi ovunque per un intorno di infinito da un ceto punto M la funzione è definita. Nel limite valuto tutto i valori [strike]fino a infinito,[/strike] cioè più correttamente da M in poi (dato che infinito non è un reale) [...]
E come fai a valutare tutti i valori da un certo $M$ in poi?
"mafoldo":
[...] e mi accorgo che la funzione composta data tende a zero.
Però anche qui opero in modo un po' naif: prendo valori sempre maggiori e mi accorgo che le oscillazioni "si schiacciano" a infinito attorno a zero
In realtà la successione di termine generale $sin(1/n^2)$ non ha alcuna oscillazione. Perché?
"mafoldo":
[...] -> deduco che viene zero il limite. Non sto però usando un vero teorema, come dovrei metterlo in maniera rigorosa?
Usando i teoremi che stai usando per ragionare "ad occhio".
Cosa stai usando dipende da te, da come stai guardando l'esercizio.
"mafoldo":
Infine non credo di aver colto cosa volessi farmi capire
Che non hai coscienza di quel che hai studiato: i teoremi e gli strumenti li usi, ma non consciamente. Devi analizzare il tuo ragionamento e collegarlo con la teoria che hai letto... Cosa che si apprende al liceo, usualmente, quindi è tutto alla tua portata.
"mafoldo":Non c’è nessun teorema che ti dica qualcosa circa il valore del limite senza approfondire l’analisi, perciò forma indeterminata.
Ok quindi è una sorta di "vado per esclusione": non esiste teorema che conosco che mi permetta di calcolarlo, devo trovare un'altra via (indeterminata).
Insomma si rifà allo spot di cui sopra (per tutto il resto c’è forma indeterminata)
Non lo chiamerei "andare per esclusione", ma più o meno sì.
"mafoldo":Beh, prova a risolvere i limiti [...] e pensaci su.
work in progress
Dai, non ci vuole molto... Se conosci almeno il limite notevolissimo.
In ogni caso, o dal teorema di confronto o facendo tutti i ragionamenti con ε e δ, si dimostra, ad esempio, che1:
Ho capito, devo seguire la via maestra di definizione del limite per dimostrarlo? Ci provo!
Scusa, ma quanto vale 1^x?
1
, il punto è che pensavo di poter concludere valesse uno perché il limite a infinito dava 1. Cioè qualunque valore superiore ad M dato il valore era 1.E come fai a valutare tutti i valori da un certo M in poi?
Beh a forza bruta mi sembrerebbe quantomeno stupido, quindi (questo sì per esclusione) direi che è una pessima idea
, però non mi vengono risposte furbe.Direi "uroborianamente" con un limite tendente a infinito, ma sembrerebbe una super****la...
Usando i teoremi che stai usando per ragionare "ad occhio".
Ok, ma ua volta trovato ad occhio, nel senso, abbiamo detto essere zero. però in definitiva non so davvero dire che teorema ho usato in questo preciso caso (parlo sempre della parte del seno "sin1/n²" non del limite completo per cui devo usare il notevole).
Tutti gli altri esempi li ho capiti, ma questo mi rimane ancora ostico.
Che non hai coscienza di quel che hai studiato: i teoremi e gli strumenti li usi, ma non consciamente. Devi analizzare il tuo ragionamento e collegarlo con la teoria che hai letto... Cosa che si apprende al liceo, usualmente, quindi è tutto alla tua portata.
E' proprio la sensazione che ho. Già, devo riuscirci!
non ha alcuna oscillazione. Perché?
Perché oltre un certo valore di n $1/n^2
Mi avete detto che c'è e perora lo conoscevo appunto solo al finito, ho visto la dimostrazione per quello e non quella più generale...semplice esercizio peril lettore
Perché non esiste un teorema simile?
Beh, prova a risolvere i limiti [...] e pensaci su.
Direi perché applicando il limite notevole mi ritrovo con
$1/n, 1, n$ per $n->oo$ i quali danno rispettivamente come risultato $0, 1, oo$ quindi non esiste un teorema perché in effetti non ho un risultato univoco pur trovandomi nello stesso caso 0*oo?
[edit: correggo typo]
"mafoldo":Scusa, ma quanto vale 1^x?
1
Scusa, tanto per curiosità: che scuola hai fatto?
Ad ogni buon conto, mi spieghi come vorresti usare l’informazione $lim_(x -> -oo) f(x) = 1$ per ottenere informazioni sui valori di $f$?
"mafoldo":E come fai a valutare tutti i valori da un certo M in poi?
Beh a forza bruta mi sembrerebbe quantomeno stupido, quindi (questo sì per esclusione) direi che è una pessima idea
Direi "uroborianamente" con un limite tendente a infinito, ma sembrerebbe una super****la...
Scusa, rifletti: quanti sono i numeri da un certo $M$ in poi? Puoi mai sperare di valutare la funzione su tutti quei numeri?
"mafoldo":Usando i teoremi che stai usando per ragionare "ad occhio".
Ok, ma ua volta trovato ad occhio, nel senso, abbiamo detto essere zero. però in definitiva non so davvero dire che teorema ho usato in questo preciso caso (parlo sempre della parte del seno "sin1/n²" non del limite completo per cui devo usare il notevole).
Tutti gli altri esempi li ho capiti, ma questo mi rimane ancora ostico.
Com’è fatta la successione di termine generale $sin (1/n^2)$?
Per caso, è una funzione composta?
Esistono teoremi che si applicano in questo caso? Quali?
Puoi applicarne qualcuno? Le ipotesi sono verificate? O manca qualcosa?
Applicando i teoremi, cosa trovi?
"mafoldo":
Che non hai coscienza di quel che hai studiato: i teoremi e gli strumenti li usi, ma non consciamente. Devi analizzare il tuo ragionamento e collegarlo con la teoria che hai letto... Cosa che si apprende al liceo, usualmente, quindi è tutto alla tua portata.
E' proprio la sensazione che ho. Già, devo riuscirci!
Alle superiori ci riuscivi?
Come?
I processi mentali quelli sono…
"mafoldo":non ha alcuna oscillazione. Perché?
Perché oltre un certo valore di n $1/n^2
Ti rendi conto anche da solo che la frase composta non ha alcun senso, soprattutto -ma non solo- perché monca del soggetto.
Quindi? Che volevi dire?
"mafoldo":
Anche qui ho usato "ad occhio" il risultato $sin(lim_(n->oo)(1/n^2))$ e immagino di poterlo dimostrare (questo passaggio all'interno) posso chiederti anche qui uno spunto su come (come nel caso sopra)?
È la definizione di funzione continua unità al teorema di cui ti chiedevo più sopra.
"mafoldo":
Vorrei dimostrarmele tutte queste cosette.
No, il condizionale non c’entra nulla. Tu devi dimostrarle e saperle dimostrare.
"mafoldo":
Mi avete detto che c'è e perora lo conoscevo appunto solo al finito, ho visto la dimostrazione per quello e non quella più generale...semplice esercizio peril lettore
Eh?
Per favore, scrivi bene altrimenti non c’è interazione.
Questo non è solo un problema dell’interazione sul forum, ma generale: un docente ormai in pensione diceva che “il primo requisito di una frase è quello di avere senso. Se una frase non ha senso, il docente in sede d’esame chiederà di precisarlo e, più le richieste di precisazione si accumulano, più viene meno la sicurezza dello studente e più si avvicina la bocciatura”.
"mafoldo":Perché non esiste un teorema simile?
Beh, prova a risolvere i limiti [...] e pensaci su.
Direi perché applicando il limite notevole mi ritrovo con
$1/n, 1, n$ per $n->oo$ i quali danno rispettivamente come risultato $0, 1, oo$ quindi non esiste un teorema perché in effetti non ho un risultato univoco pur trovandomi nello stesso caso 0*oo?
Già.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo