Come conviene svolgere un limite?

[mafoldo]

Buongiorno a tutti,

cercavo un aiuto rispetto a un limite semplice che mi era venuto in mente (non è preso da un esercizo ma serve per spiegareil mio dubbio)

Ad esempio se avessi: $lim (x->-pi) ln(tg(x/2))$

Mi viene in modo semplice di scrivere "mentalmente" $ln(tg(pi/2))=ln(oo)=oo$ (scusate la bruttura ma volevo solo illustrare il passaggio mentale).

Il miodubbio però è questo: in teoria io non posso fare il limite "a pezzi" mentre io considero lacomposizione come se latangente tende a infinitoe poi allora ln tende a infinito. Ma dovrebbe essere in teoria un errore... allora vorrei capire, realmente quali teoremi sto utilizzando come è formalmente corretto svolgerlo?

Vi ringrazio, spero davvero di capire più a fondo con l'aiuto di qualcuno

[mafoldo]

Scusa, tanto per curiosità: che scuola hai fatto?

In realtà lo scientifico, ed è questo a preoccuparmi :\.

Ad ogni buon conto, mi spieghi come vorresti usare l’informazione $lim_(x -> -oo) f(x) = 1$ per ottenere informazioni sui valori di $f$?

Infatti non si può per sostituzione. Era per dire che so che vale 1 quella funzione, ma pragmaticamente "come" dimostrare che sia identicmaente nulla non lo so. E' una informazione cho ho ma su cui non ho mai posto attenzione, la sapevo e basta.
Quindi effettivamente resta la domanda: come faccio a dirlo?

Scusa, rifletti: quanti sono i numeri da un certo $M$ in poi? Puoi mai sperare di valutare la funzione su tutti quei numeri?

Il senso della risposta era: non si può.
Quindi a "E come fai a valutare tutti i valori da un certo M in poi?" non saprei rispondere. Qual è la risposta corretta?

Com’è fatta la successione di termine generale sin(1n2)?
Per caso, è una funzione composta?
Esistono teoremi che si applicano in questo caso? Quali?
Puoi applicarne qualcuno? Le ipotesi sono verificate? O manca qualcosa?
Applicando i teoremi, cosa trovi?

#Sì è una funzione composta.
#Sì userei il teorema di cui parlavamo sopra per fuzioni composte, ma di cui ho dimostrato il caso finito e vorrei dimostrare il caso infinito. (**)
## posso rispondere sensatamente solo dopo aver appreso quel teorema.

Alle superiori ci riuscivi?
Come?

I processi mentali quelli sono…

Mi pareva di sì , ma a quanto pare no dato che dico solo castronerie da quanto appurato

Ti rendi conto anche da solo che la frase composta non ha alcun senso, soprattutto -ma non solo- perché monca del soggetto.
Quindi? Che volevi dire?

Penso che nelle varie riedzioni del messaggio mi sia mangiato una parte e poi mi sia sfuggito in rilettura l'ultima volta.
Volevo rispondere alla tua domanda antecedente dove chiedevi perché quella successione data dalla composizione di due funzioni da N->R non fosse oscillante.
La mia risposta era che le oscillazioni da un certo punto in poi si spengono per via del fatto che l'argomento del seno si limita ai valori compresi tra zero e pi/2, in particolare quando n assume valori che rendono vera $1/n^2
Per quanto riguarda il teorema che andrei ad applicare, risponderei che è proprio quello di cui parlavo sopra in (**) e che devo dimostrare con ipotesi più alleggerite di quello che conosco.

No, il condizionale non c’entra nulla. Tu devi dimostrarle e saperle dimostrare.

Il senso era che voglio farlo, ma tra il volere e potere c'è una bella differenza: potrei non acquisire mai tale capacità e darmi alla filosofia - estremizzando XD -.

Eh?

Volevo solo ripetere quanto detto in (**)


In ultimo, ma non ultimo, grazie per aiutarmi a raddrizzare la baracca con grande pazienza sono davvero grandi insegnamenti.

[gugo82]

"mafoldo":

Scusa, tanto per curiosità: che scuola hai fatto?

In realtà lo scientifico, ed è questo a preoccuparmi :\.

Preoccupa anche me.
Mi pare ci sia da recuperare qualcosina, soprattutto a livello di ragionamento, esposizione e metodo di studio.

"mafoldo":

Ad ogni buon conto, mi spieghi come vorresti usare l’informazione $lim_(x -> -oo) f(x) = 1$ per ottenere informazioni sui valori di $f$?

Infatti non si può per sostituzione. Era per dire che so che vale 1 quella funzione, ma pragmaticamente "come" dimostrare che sia identicmaente nulla non lo so.

“Identicamente nulla” qualcosa che vale sempre $1$? Non ti pare bizzarro?
Non siamo su una chat, l’interazione non deve essere necessariamente veloce; quindi puoi rileggere con attenzione prima di postare.

"mafoldo":E' una informazione cho ho ma su cui non ho mai posto attenzione, la sapevo e basta.
Quindi effettivamente resta la domanda: come faccio a dirlo?

Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$?
E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$?
Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con $n/m in QQ$?
E questo cosa comporta circa il valore di $1^x$ con $x in RR$?

"mafoldo":

Scusa, rifletti: quanti sono i numeri da un certo $M$ in poi? Puoi mai sperare di valutare la funzione su tutti quei numeri?

Il senso della risposta era: non si può.
Quindi a "E come fai a valutare tutti i valori da un certo M in poi?" non saprei rispondere. Qual è la risposta corretta?

Certo che non si può!
Perché?

"mafoldo":

Com’è fatta la successione di termine generale sin(1n2)?
Per caso, è una funzione composta?
Esistono teoremi che si applicano in questo caso? Quali?
Puoi applicarne qualcuno? Le ipotesi sono verificate? O manca qualcosa?
Applicando i teoremi, cosa trovi?

#Sì è una funzione composta.
#Sì userei il teorema di cui parlavamo sopra per fuzioni composte, ma di cui ho dimostrato il caso finito e vorrei dimostrare il caso infinito. (**)
## posso rispondere sensatamente solo dopo aver appreso quel teorema.

Già…

Un enunciato piuttosto generale è il seguente:

Siano $X,Y in RR$ non vuoti, $x_0 in hat(RR)$ un’accumulazione per $X$, $y_0 in hat(RR)$ un’accumulazione per $Y$, $f:X ->Y$ e $g:Y->RR$.
Se $lim_(x -> x_0) f(x) = y_0$ e $lim_(y -> y_0) g(y) = l in hat(RR)$ ed inoltre è soddisfatta una delle seguenti due ipotesi:

[*:ds5hwe78] esiste un intorno $I$ di $x_0$ in cui $f$ non assume mai il valore $y_0$, i.e. per ogni $x in X nn I - \{x_0\}$ risulta $f(x) != y_0$, oppure

[/*:m:ds5hwe78]
[*:ds5hwe78] $y_0 in RR$ e $g$ è continua in $y_0$,[/*:m:ds5hwe78][/list:u:ds5hwe78]

allora si ha:

$lim_(x -> x_0) g(f(x)) = l$.

In altri termini, nelle ipotesi poste è lecito il cambiamento di variabile $y=f(x)$ nel limite della funzione composta e risulta:

$lim_(x -> x_0) g(f(x)) \stackrel{y=f(x)}{=} lim_(y -> y_0) g(y)$.

"mafoldo":

Alle superiori ci riuscivi?
Come?

I processi mentali quelli sono…

Mi pareva di sì , ma a quanto pare no dato che dico solo castronerie da quanto appurato

Beh, basta ricordare come ti trovavi a svolgere i problemi dimostrativi di Geometria al biennio: come andava?
Le dimostrazioni le scrivevi bene? Riuscivi a motivare i passaggi?
E nello svolgimento dei problemi algebrici riuscivi a motivare i passaggi?

"mafoldo":

Ti rendi conto anche da solo che la frase composta non ha alcun senso, soprattutto -ma non solo- perché monca del soggetto.
Quindi? Che volevi dire?

Penso che nelle varie riedzioni del messaggio mi sia mangiato una parte e poi mi sia sfuggito in rilettura l'ultima volta.
Volevo rispondere alla tua domanda antecedente dove chiedevi perché quella successione data dalla composizione di due funzioni da N->R non fosse oscillante.
La mia risposta era che le oscillazioni da un certo punto in poi si spengono per via del fatto che l'argomento del seno si limita ai valori compresi tra zero e pi/2, in particolare quando n assume valori che rendono vera $1/n^2
Sì, la successione è strettamente decrescente… Dimostralo.

"mafoldo":Per quanto riguarda il teorema che andrei ad applicare, risponderei che è proprio quello di cui parlavo sopra in (**) e che devo dimostrare con ipotesi più alleggerite di quello che conosco.

L’enunciato te l’ho dato.
Buon lavoro.

Poi, tanto per capire se hai capito, cerca qualche controesempio in cui il teorema fallisce se si sopprimono le ipotesi elencate coi pallini.

"mafoldo":

No, il condizionale non c’entra nulla. Tu devi dimostrarle e saperle dimostrare.

Il senso era che voglio farlo, ma tra il volere e potere c'è una bella differenza: potrei non acquisire mai tale capacità e darmi alla filosofia - estremizzando XD -.

Beh, se l’orizzonte è questo, buona filosofia.

"mafoldo":In ultimo, ma non ultimo, grazie per aiutarmi a raddrizzare la baracca con grande pazienza sono davvero grandi insegnamenti.

Prego. Faccio quel che posso.

[mafoldo]

Mi pare ci sia da recuperare qualcosina

Anche più di qualcosina messo faccia a faccia con la realtà

“Identicamente nulla” qualcosa che vale sempre $1$? Non ti pare bizzarro?

Mi riferivo al caso in esame $1^x$ a me pare proprio identicamente nulla per ogni x, e il punto è che non capisco come mostrare lo sia se non sostituendo ogni x nei reali (cosa impossibile da fare punto a punto)

cui si aggancia:

Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$?
E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$?
Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con $n/m in QQ$?
E questo cosa comporta circa il valore di $1^x$ con $x in RR$?

come dicevo avrei risposto che per ogni dominio da te indicato vale sempre 1, però ripeto non so come dire lo sia.
Quello che volevo dire con il ragionamento del limite (ma credo ci sia stato un misunderstanding) è che "adocchio" mi accorgo che sostituendo a caso valori e poi ponendo anche il limite a infinito vale sempre 1 => ipotizzo essere identicamente nulla.
Ma questo è un discorso a spanne, dovrei dimostrarlo ma non mi viene in mente come. So essere così, ma non so giustificare il perché e vorrei capire come fare.

Certo che non si può!
Perché?

Perché sono infiniti, direi.
Peròresta la domanda di cui sopra

Un enunciato piuttosto generale è il seguente

Perfetto!

Beh, basta ricordare come ti trovavi a svolgere i problemi dimostrativi di Geometria al biennio: come andava?
Le dimostrazioni le scrivevi bene? Riuscivi a motivare i passaggi?
E nello svolgimento dei problemi algebrici riuscivi a motivare i passaggi?

Mi pareva bene, ma ho forti dubbi oggi. Probabilmente avevo un professore troppo bravo.
Lo facevo con naturalezza e non ci pensavo molto, ammetto.

Sì, la successione è strettamente decrescente… Dimostralo.

Direi che siccome la funzione seno è crescente per valori in $[0,pi/2]$ ed è composta con una decrescente che è inclusa in [0,pi/2] per ogni valore di n => la funzione risultante è decrescente.

Beh, se l’orizzonte è questo, buona filosofia.

Non credo abbandonerò, piuttosto sarò un fisico fallito che venderà gelati.
Il punto è che ritengo il condizionale serva sempre per ciò che dipende dall'uomo


Ovviamente: mille grazie!!

[gugo82]

"mafoldo":

Mi pare ci sia da recuperare qualcosina

Anche più di qualcosina messo faccia a faccia con la realtà

Bah… Probabilmente ti stai solo spiraleggiando lungo quella traiettoria descritta dal professore ormai in pensione che citavo più sopra.

"mafoldo":

“Identicamente nulla” qualcosa che vale sempre $1$? Non ti pare bizzarro?

Mi riferivo al caso in esame $1^x$ a me pare proprio identicamente nulla per ogni x […]

Scusa, che vuol dire “identicamente nullo” secondo te?
Ti pare che $1^x$ sia “identicamente nullo”?

"mafoldo":[…] e il punto è che non capisco come mostrare lo sia se non sostituendo ogni x nei reali (cosa impossibile da fare punto a punto)

cui si aggancia:

Quanto vale $1^n$ con $n in NN$? E con $n in ZZ$?
E quanto vale $1^(1/m)$ con $m in ZZ$ e $m != 0$?
Quindi, quanto vale $1^(n/m)$ con $n/m in QQ$?
E questo cosa comporta circa il valore di $1^x$ con $x in RR$?

come dicevo avrei risposto che per ogni dominio da te indicato vale sempre 1, però ripeto non so come dire lo sia.

Ma come “non so dire come lo sia”???
Qual è la definizione di potenza ad esponente naturale? E ad esponente intero? E ad esponente razionale? Queste le devi conoscere bene dalle scuole medie e dal biennio del liceo.
Com’è definita, invece, la potenza ad esponente reale è cosa che si precisa all’inizio del corso di Analisi I, quindi siamo in tema.

"mafoldo":Quello che volevo dire con il ragionamento del limite (ma credo ci sia stato un misunderstanding) è che "adocchio" mi accorgo che sostituendo a caso valori e poi ponendo anche il limite a infinito vale sempre 1 => ipotizzo essere identicamente nulla.

Di nuovo “identicamente nulla”?
Ma ti pare il caso?

"mafoldo":Ma questo è un discorso a spanne, dovrei dimostrarlo ma non mi viene in mente come. So essere così, ma non so giustificare il perché e vorrei capire come fare.

Neanche ci arriva ad essere un discorso “a spanne” se continui ad usare termini ad mentula canis…

"mafoldo":

Certo che non si può!
Perché?

Perché sono infiniti, direi.

E grazie!
Come diavolo fai a calcolare il valore di una funzione su infiniti numeri? Quanto tempo ti ci vuole?

"mafoldo":

Un enunciato piuttosto generale è il seguente

Perfetto!

Dimostralo, però.

"mafoldo":

Beh, basta ricordare come ti trovavi a svolgere i problemi dimostrativi di Geometria al biennio: come andava?
Le dimostrazioni le scrivevi bene? Riuscivi a motivare i passaggi?
E nello svolgimento dei problemi algebrici riuscivi a motivare i passaggi?

Mi pareva bene, ma ho forti dubbi oggi. Probabilmente avevo un professore troppo bravo.
Lo facevo con naturalezza e non ci pensavo molto, ammetto.

Vediamo come ragioni sulle potenze e sulla dimostrazione, poi ne parliamo di nuovo.

"mafoldo":

Sì, la successione è strettamente decrescente… Dimostralo.

Direi che siccome la funzione seno è crescente per valori in $[0,pi/2]$ ed è composta con una decrescente che è inclusa in [0,pi/2] per ogni valore di n => la funzione risultante è decrescente.

Sì, esatto.

[mafoldo]

Scusa, che vuol dire “identicamente nullo” secondo te?
Ti pare che $1^x$ sia “identicamente nullo”?

che ho detto una caxiata grande come una casa, non so come mi sia uscito "nullo", pensavo a identicamente unitaria perché è sempre 1. Sono allibito ho scritto una cosa e pensata un'altra.

Come diavolo fai a calcolare il valore di una funzione su infiniti numeri? Quanto tempo ti ci vuole?

Esatto non posso , quindi volevo dire che non capivo come dire che è 1 il valore dato che è impossibile verificarlo per infiniti x.

Dimostralo, però.

Certo, lo faccio, solo volevo chiudere i tanti discorsi aperti per dedicarmici . (siccome voglio capire tutti i punti dubbi ne chiudo uno alla volta).

vediamo come ragioni sulle potenze

Caspita, mi hai fatto riflettere su una cosa cui non davo molta importanza: effettivamente per i vari domini dati sono molto diverse. Ripescando dalla memoria direi che:

* per gli interi la potenza n-esima è la base moltiplicata per se stessa n volte. (qualunque moltiplicazione di 1 per un naturale dà il naturale stesso -elemento neutro-, quindi potrei forse per induzione mostrare che per ogni moltiplicazione ripetuta n volte di 1, vale 1)
* per gli interi se positivi ricadiamo nel caso sopra, se negativi la potenza è la moltiplicazione dell'inverso della base per se stessa n volte.
* per quanto riguarda i razionali la base deve essere positiva (per non avere spiacevoli inconvenienti): definisco $a^(n/m), a>0$ come la radice m-esima di a^n. (non sono però sicuro sia la definizione quest'ultimo modo di procedere ).
* mancherebbe da definire per gli irrazionali e sarei a cavallo perché i reali sono figli dell'unione di tutti questi casi.

[gugo82]

Se non sei sicuro delle definizioni, valle a ripescare sul tuo testo. Ci sono sicuramente.

[mafoldo]

Deduco che le ho sbagliate (il fatto è che odio dimenticare e cerco sempre di ricordare, con scarsi risultati pare)

Ok

[gugo82]

Deduci troppo senza dimostrare nulla.
Scrivi una dimostrazione di qualcosa, non perderti in chiacchiere!

[mafoldo]

Sì diciamo che non so da che parte iniziare, ci ragiono un po' su

[gugo82]

Sarebbe anche ora...