Come cercare estremi funzioni a due variabili
Volevo sapere, qual'è l'ordine con cui procedere nella ricerca degli estremi di una funzione a più variabili, ho le idee un pò confuse, bisogna prima vedere quali sono i punti stazionari, come faccio? Calcolando le derivate parziali e ponendole uguali a 0?
Mi pare di aver capito che bisogna risolvere un sistema.....e poi come si continua con il discorso dell'hessiano?
Mi spieghereste con ordine?
Mi pare di aver capito che bisogna risolvere un sistema.....e poi come si continua con il discorso dell'hessiano?
Mi spieghereste con ordine?
Risposte
Quelle che hai appena accennato sono definizioni molto vaghe di concetti piuttosto importanti nello studio di una funzione di due variabili.
Provo a riordinarti le idee.
Prendiamo una funzione [tex]$f \in C^{2}(A)$[/tex] e un punto [tex]$P_0 \in A$[/tex], dove [tex]$A$[/tex] è un insieme aperto di [tex]$\mathbb{R}^{2}$[/tex].
Definiamo,innanzitutto,la matrice Hessiana in questo modo:
[tex]$H_{f} (P_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \end{pmatrix}$[/tex].
Detto ciò,possiamo dire che:
[tex]$P_0$[/tex] è un punto di minimo relativo proprio se:
1. [tex]$\nabla f(P_0) = (0,0) \text{ cioè } \left\{\begin{matrix} f_{x}(P_0)=0\\ f_{y}(P_0)=0 \end{matrix}\right$[/tex]
2. [tex]$ f_{xx}(P_0)>0 \text{ ; } f_{yy}(P_0)>0 \text{ e il determinante della matrice Hessiana è maggiore di 0 cioè: } H_{f}(P_0)>0 \end{matrix}\right$[/tex]
_________
[tex]$P_0$[/tex] è un punto di massimo relativo proprio se:
1. [tex]$\nabla f(P_0) = (0,0) \text{ cioè } \left\{\begin{matrix} f_{x}(P_0)=0\\ f_{y}(P_0)=0 \end{matrix}\right$[/tex]
2. [tex]$ f_{xx}(P_0)<0 \text{ ; } f_{yy}(P_0)<0 \text{ e il determinante della matrice Hessiana è maggiore di 0 cioè: } H_{f}(P_0)>0 \end{matrix}\right$[/tex]
__________
Se,invece:
[tex]$H_{f}(P_0)<0 \Rightarrow P_0$[/tex] è un punto di sella (cioè non è ne' di massimo e ne' di minimo)
[tex]$H_{f}(P_0)=0 \Rightarrow$[/tex] CASO DUBBIO, devi procedere in altro modo.
Piccola osservazione:
Se [tex]$H_{f}(P_0)>0$[/tex] non può mai accadere che il segno delle due derivate parziali seconde sia differente: o sono entrambe positive o entrambe negative, infatti:
[tex]$H_{f}(P_0)>0 \Leftrightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) - f^2 _{xy}(P_0) > 0$[/tex]
cioè:
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
e quindi, poiché sicuramente [tex]$f^2 _{xy}(P_0) > 0$[/tex], ne consegue che anche: [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0$[/tex]
Questo si verifica in due casi:
[tex]$f_{xx}(P_0)>0$[/tex] ; [tex]$f_{yy}(P_0)>0$[/tex]
oppure
[tex]$f_{xx}(P_0)<0$[/tex] ; [tex]$f_{yy}(P_0)<0$[/tex]
Ovviamente tutta la favola che ti ho raccontato non è sempre conveniente da usare negli esercizi; poiché calcolarsi tutte le derivate parziali può risultare piuttosto lungo.
Pertanto alla definizione, delle volte si sostituiscono ragionamenti più semplici, ma ovviamente non voglio dilungarmi su questi, perché è bene scoprirli negli esercizi,di volta in volta!!
Provo a riordinarti le idee.
Prendiamo una funzione [tex]$f \in C^{2}(A)$[/tex] e un punto [tex]$P_0 \in A$[/tex], dove [tex]$A$[/tex] è un insieme aperto di [tex]$\mathbb{R}^{2}$[/tex].
Definiamo,innanzitutto,la matrice Hessiana in questo modo:
[tex]$H_{f} (P_0) = \begin{pmatrix} f_{xx}(P_0) & f_{xy}(P_0)\\ f_{yx}(P_0) & f_{yy}(P_0) \end{pmatrix}$[/tex].
Detto ciò,possiamo dire che:
[tex]$P_0$[/tex] è un punto di minimo relativo proprio se:
1. [tex]$\nabla f(P_0) = (0,0) \text{ cioè } \left\{\begin{matrix} f_{x}(P_0)=0\\ f_{y}(P_0)=0 \end{matrix}\right$[/tex]
2. [tex]$ f_{xx}(P_0)>0 \text{ ; } f_{yy}(P_0)>0 \text{ e il determinante della matrice Hessiana è maggiore di 0 cioè: } H_{f}(P_0)>0 \end{matrix}\right$[/tex]
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[tex]$P_0$[/tex] è un punto di massimo relativo proprio se:
1. [tex]$\nabla f(P_0) = (0,0) \text{ cioè } \left\{\begin{matrix} f_{x}(P_0)=0\\ f_{y}(P_0)=0 \end{matrix}\right$[/tex]
2. [tex]$ f_{xx}(P_0)<0 \text{ ; } f_{yy}(P_0)<0 \text{ e il determinante della matrice Hessiana è maggiore di 0 cioè: } H_{f}(P_0)>0 \end{matrix}\right$[/tex]
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Se,invece:
[tex]$H_{f}(P_0)<0 \Rightarrow P_0$[/tex] è un punto di sella (cioè non è ne' di massimo e ne' di minimo)
[tex]$H_{f}(P_0)=0 \Rightarrow$[/tex] CASO DUBBIO, devi procedere in altro modo.
Piccola osservazione:
Se [tex]$H_{f}(P_0)>0$[/tex] non può mai accadere che il segno delle due derivate parziali seconde sia differente: o sono entrambe positive o entrambe negative, infatti:
[tex]$H_{f}(P_0)>0 \Leftrightarrow f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) - f^2 _{xy}(P_0) > 0$[/tex]
cioè:
[tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > f^2 _{xy}(P_0) $[/tex]
e quindi, poiché sicuramente [tex]$f^2 _{xy}(P_0) > 0$[/tex], ne consegue che anche: [tex]$f_{xx}(P_0) \cdot f_{yy}(P_0) > 0$[/tex]
Questo si verifica in due casi:
[tex]$f_{xx}(P_0)>0$[/tex] ; [tex]$f_{yy}(P_0)>0$[/tex]
oppure
[tex]$f_{xx}(P_0)<0$[/tex] ; [tex]$f_{yy}(P_0)<0$[/tex]
Ovviamente tutta la favola che ti ho raccontato non è sempre conveniente da usare negli esercizi; poiché calcolarsi tutte le derivate parziali può risultare piuttosto lungo.
Pertanto alla definizione, delle volte si sostituiscono ragionamenti più semplici, ma ovviamente non voglio dilungarmi su questi, perché è bene scoprirli negli esercizi,di volta in volta!!
@guitarplaying: Visti i tuoi ultimi post ti consiglio di leggere con più attenzione il tuo libro di Analisi II.
Vedi la vignetta nella mia firma.
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