Come calcolare l'angolo di un numero complesso ?

[danielspc15]

ciao a tutti non riesco a capire come si deve calcolare l'angolo di un numero complesso..ad esempio ho un esercizio il cui testo mi dice che :
z ^4 = -1
ora il prof ha detto che l'angolo è pi-greco, ma non capisco come ha fatto a trovarlo.
qualcuno ha dei consigli/suggerimenti? grazie

[mazzarri1]

Ciao daniel24

Quel che scrivi non e chiarissimo. Non stai scrivendo un numero complesso la tua e una equazione dalla quale ricavi 4 numeri complessi

Di solito si pone

$-1=e^(i pi) $

E con la formula di de moivre si ricavano i 4 valori della radice quarta di questo numero

$ z = e^(i (pi+2k pi)/4) $

Con $k=0,1,2,3$ te li ricavi facilmente.

Di ognuno poi se vuoi trovi l angolo

[mazzarri1]

Invece se ho capito bene tu vuoi trovare l angolo di un qualunque numero complesso

Prova tu a dirci che angolo hanno

$z=1+2i $

$z=1-2i $

$ Z=-1$

$z = -2-2i $

Ti consiglio di disegnarli prima sara tutto piu facile

Il terzo forse e quello che intendevi scrivere nel tuo messaggio precedente. ..

[danielspc15]

ciao grazie per la risposta, forse però ho sbagliato a scrivere io.. il testo dice :
"determinare tutti i numeri complessi per cui z^4= -1 e scrivere le soluzioni nella forma a+ib"

[mazzarri1]

ok... perchè il titolo è "come calcolare l'angolo di z" e allora non capivo

rileggii quello che ti ho scritto nel mio primo post e hai già la risposta... sostituisci i valori di $k$ e hai i 4 numeri complessi

$z_1=e^(i pi/4)$

$z_2=e^(3i pi/4)$

$z_3=e^(5i pi/4)$

$z_4=e^(7i pi/4)$

riesci a metterli nella forma che ti richiede il libro??

facciamo insieme il primo dei quattro

utilizzi la formulla $e^(i theta) = cos theta + i sin theta$ e hai

$z_1=e^(i pi /4) = cos (pi/4)+ i sin (pi/4) = sqrt2 /2 + i sqrt 2 /2$

e hai fatto. riesci a far da solo gli altri tre??

ciao

[danielspc15]

grazie mille ho veramente capito come si fa.. però volevo chiederti in questo caso dato che ho -1 abbiamo posto pi-greco. ma nel caso avessi avuto un'altro valore diverso da -1 come facevo ?

[mazzarri1]

devi studiare bene la teoria... la parte che riguarda la forma "esponenziale" dei numeri complessi

per esempio mi ricordo a memoria

$e^(i 2pi) = 1$

$e^(i pi/2) = i$

$e^(i pi) = -1$

$e^(i 3pi/2) = -i$

ma se studi la teoria bene ti sembra tutto poi facile...

devi solo sapere questa equazione a memoria

$e^(i theta) = cos theta + i sin theta$

e ti ricavi tutto quello che vuoi

[Camillo]

Aggiungo qualche considerazione sempre sull'angolo $theta $ formato con l'asse reale da un numero complesso $z $ espresso in forma algebrica $z = a+i b $ .
Il suo modulo vale $|z| = sqrt(a^2+b^2 ) $
e l'angolo $theta = arctg (b/a) $ se $ a>=0 $ ; $ = arctg (b/a) -pi $ se $a<0, b<0 $ ; $= arctg (b/a) +pi $ se $ a<0,b>0 $.

[danielspc15]

grazie a tutti per le vostre preziose risposte.. ma voi la teoria come la studiate ? perchè io tipo la studio man mano che il prof spiega però tipo le prime lezioni non le ricordo.. voi come fate ?

[mazzarri1]

Come facevo vuoi dire... studia man mano che spiega. Va bene. Ma ogni tanto ripassa. .. tutto...

[danielspc15]

si infatti faccio così però non mi sembra molto diciamo efficace..

[gugo82]

Tornando all'esercizio del titolo, ci sono diversi modi di risolverlo, a seconda di cosa tu abbia ben capito sui numeri complessi.

Primo modo: calcoli espliciti in forma algebrica.

Ti viene chiesto di determinare i numeri \(z=a+\imath b\) tali che \(z^4 = -1\).
Usando le regole di calcolo in forma algebrica, hai:
\[
\begin{split}
z^4 &= z^2 \cdot z^2\\
&= \big( (a^2-b^2) +2ab\ \imath\big)\cdot \big( (a^2-b^2) +2ab\ \imath\big)\\
&= \big( (a^2-b^2)^2 - 4a^2b^2\big) + 4(a^2-b^2)ab\ \imath\\
&= (a^2-b^2-2ab)(a^2-b^2+2ab) + 4(a-b)(a+b)ab\ \imath
\end{split}
\]
da cui segue che \(z^4=-1\) se e solo se è soddisfatto il sistema:
\[
\begin{cases}
(a^2-b^2-2ab)(a^2-b^2+2ab) = -1\\
4(a-b)(a+b)ab = 0\; .
\end{cases}
\]
La seconda equazione è soddisfatta quando \(a=0\) oppure \(b=0\) o \(a=b\) ovvero \(a=-b\); sostituendo di volta in volta nella prima equazione e tenendo presente che \(a\) e \(b\) sono reali troviamo:
\[
\begin{split}
a&=0\quad \Rightarrow \quad (-b^2)(-b^2) = -1\quad \Rightarrow \quad b^4=-1 \text{ non ha soluzioni reali}\\
b&=0\quad \Rightarrow \quad (a^2)(a^2) = -1\quad \Rightarrow \quad a^4=-1 \text{ non ha soluzioni reali}\\
a&=b\quad \Rightarrow \quad (-2a^2)(2a^2) = -1\quad \Rightarrow \quad 4a^4=1\quad \Rightarrow \quad a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ e } b=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\\
a&=-b\quad \Rightarrow \quad (2a^2)(-2a^2) = -1\quad \Rightarrow \quad 4a^4=1\quad \Rightarrow \quad a=\pm \frac{\sqrt{2}}{2} \text{ e } b=\mp \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{split}
\]
da cui ricaviamo le quattro soluzioni:
\[
\begin{split}
z_1 &= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_2 &= -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_3 &= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_4 &= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\; .
\end{split}
\]

Secondo modo: calcoli espliciti in forma trigonometrica.

Cerchi i numeri \(z=r (\cos \theta +\imath\ \sin \theta)\) tali che \(z^4=-1\).
Usando le regole di calcolo in forma trigonometrica, hai:
\[
z^4 = r^4\ (\cos 4\theta +\imath\ \sin 4\theta)
\]
dunque si ha \(z^4=-1\) se e solo se \(r^4 = |-1|\) e se \(4\theta - \operatorname{Arg}(-1) = 2k\pi\) con \(k\in \mathbb{Z}\); poiché \(-1\) è reale negativo \(|-1|=1\) (il modulo coincide col valore assoluto!) ed \(\operatorname{Arg}(-1) = \pi\) (poiché il punto corrispondente a $-1$ sul piano di Gauss si trova sul semiasse delle ascisse negative), quindi i numeri $z$ che soddisfano la tua equazione sono quelli che hanno:
\[
\begin{cases}
r^4 = 1\\
4 \theta = \pi + 2 k\pi\quad \text{per qualche } k \in \mathbb{Z}\; .
\end{cases}
\]
La prima equazione del sistema ti fornisce \(r=1\) (ricorda che il modulo è reale e \(\geq 0\)), mentre la seconda ti dà:
\[
\theta = \frac{\pi + 2k\pi}{4} = \underbrace{\frac{2k+1}{4}\ \pi}_{=:\theta_k}\quad \text{per qualche } k \in \mathbb{Z}\; ;
\]
osservato che i numeri \(\theta_k\) sono a quattro a quattro equivalenti modulo \(2\pi\)[nota]Infatti, se consideri i valori corrispondenti a $k$ e $k+4$ trovi:
\[
\theta_{k+4} = \frac{2(k+4)+1}{4}\ \pi = \frac{2k+1 + 8}{4}\ \pi = \left( \frac{2k+1}{4} + 2\right)\ \pi = \theta_k + 2 \pi\; ,
\]
cosicché \(\theta_{k+4} \equiv_{2\pi} \theta_k \).[/nota], è evidente che tra gli infiniti numeri complessi \(z_k\) aventi modulo \(r=1\) ed argomento \(\theta =\theta_k\) ce ne sono solamente $4$ distinti, i quali rimangono individuati non appena scegli $4$ valori di \(\theta_k\) corrispondenti ad altrettanti indici consecutivi. Scegliendo di prendere \(k=0,1,2,3\) trovi che le soluzioni dell'equazione sono i numeri complessi:
\[
\begin{split}
z_0 &= r\ (\cos \theta_0 +\imath\ \sin \theta_0)\\
&= 1\ \left( \cos \frac{\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{\pi}{4}\right)\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_1 &= r\ (\cos \theta_1 +\imath\ \sin \theta_1)\\
&= 1\ \left( \cos \frac{3\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{3\pi}{4}\right)\\
&= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_2 &= r\ (\cos \theta_2 +\imath\ \sin \theta_2)\\
&= 1\ \left( \cos \frac{5\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{5\pi}{4}\right)\\
&= -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
z_3 &= r\ (\cos \theta_3 +\imath\ \sin \theta_3)\\
&= 1\ \left( \cos \frac{7\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{7\pi}{4}\right)\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\; ,
\end{split}
\]
che sono le stesse di prima (seppur con "nomi" diversi).

Terzo modo: utilizzo della formula delle radici.

Determinare le soluzioni di \(z^4=-1\) equivale a determinare le quattro radici complesse del numero \(-1\).
Poiché \(|-1|=1\) ed \(\operatorname{Arg} (-1) = \pi\), le quattro radici complesse di \(-1\) sono date dalla formula:
\[
\zeta_k = \sqrt[4]{1}\ \left( \cos \frac{\pi+2k\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{\pi+2k\pi}{4} \right)\qquad \text{ per } k=0,1,2,3\; .
\]
Facendo i conti si vede che:
\[
\begin{split}
\zeta_0 &= \left( \cos \frac{\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{\pi}{4}\right)\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
\zeta_1 &= \left( \cos \frac{3\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{3\pi}{4}\right)\\
&= -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
\zeta_2 &= \left( \cos \frac{5\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{5\pi}{4}\right)\\
&= -\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\\
\zeta_3 &= \left( \cos \frac{7\pi}{4} +\imath\ \sin \frac{7\pi}{4}\right)\\
&= \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\ \imath\; ,
\end{split}
\]
cioè sempre le stesse...

Per qual che riguarda la determinazione dell'argomento di un numero complesso non nullo, puoi sempre tener presente che esso è individuato come una (qualsiasi) soluzione del sistema di equazioni trigonometriche elementari:
\[
\begin{cases}
\cos \theta = \frac{\operatorname{Re}(z)}{|z|}\\
\sin \theta = \frac{\operatorname{Im}(z)}{|z|}
\end{cases}
\]
che dovresti saper risolvere dalle scuole superiori.[nota]E, se non sai come si fa, è meglio che ti ripassi il capitolo relativo alle equazioni trigonometriche elementari sul tuo libro delle scuole.[/nota]
Inoltre, l'argomento principale è l'unica soluzione di tale sistema che appartiene all'intervallo \(]-\pi,\pi]\).

[danielspc15]

più esaustivo di così non potevi essere!
grazie mille