Come applicare il teorema di de l'Hôpital?

[rosannacir]

Salve a tutti,
ho dei problemi nell'applicazione del teorema di de l'Hôpital per le altre forme di indeterminazione, quali $0\cdot (+-\infty )$ oppure $(+\infty )(-\infty )$. Ci sono delle trasformazioni:
$\lim_{x\rightarrow x_{0}} [ f(x) g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[ \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} ]=\frac{0}{\frac{1}{\infty }}=\frac{0}{0}$;

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}[ f(x) g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}} [ \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}]=\frac{\infty }{\frac{1}{0}}=\frac{\infty }{\infty }$;
per riportarle nelle forme indeterminate $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty }{\infty }$...cioè quale delle due funzioni deve essere trasformata?

[paolotesla91]

allora mi scuso per l'errore di distrazione!! XD
dunque con la vostra giusta correzione ho rifatto i calcoli e ottengo:

$lim_(x -> -infty)[(x^2(e^(x/(x+1))-e)-xe)/(x+1)]= (x^2e^(x/(x+1))-x^2e-xe)/(x+1)=(xe(xe^(-1/(x+1))-x-1))/(x+1)$.

Posto $y=-1/(x+1)$ si ha che : $x=-1/y-1; x+1=-1/y$

sostituisco e dopo alcuni calcoli mi trovo: $(-e/y-e(-e^y/y-1/y-e^y))/(-1/y)$
moltiplico NUM e DEN per $-1$ ed ho :

$(e/y+e((e^y+1)/y+e^y))/(1/y)$, in base agli ordini di infiniti ho che questo limite è uguale a $+infty$

[dissonance]

Questo è sicuramente sbagliato. Di quali "ordini di infiniti" parli? L'ultima cosa che hai scritto si riscrive, semplificando,

$e + ye(frac{e^y+1}{y}+e^y)$

che per $y \to 0$ tende a $e$. Comunque sia, hai sicuramente sbagliato qualche conto nei passaggi precedenti.

[rosannacir]

Grazie infinite dissonance,
ed è lo stesso risultato che ottenni all'inizio ma, verificando il limite con questo programma http://www.numberempire.com/ e dalle considerazioni di @melia e di paolotesla91 mi si era messa una pulce nell'orecchio che mi lasciava un margine di dubbio sul risultato da me ottenuto. Anche se disegnando la funzione con GeoGebra mi dava pienamente conferma delle mie convinzioni...ed oggi, finalmente, sono arrivata alla fine di questo calvario perchè non pensavo ad altro e soprattutto (anche un pò presuntuosamente) non potevo pensare di non essere in grado di risolverlo.
Today I'm really happy

Comunque, permettimi di fare i complimenti al vostro sito, ed in particolare al vostro forum. Siete di grande aiuto ed un enorme sostegno nella quotidianità dello studente...siete UnIcI
Grazieeee

[paolotesla91]

per "ordini di infiniti" intedevo dire che mandando $y->0$ ti escono degli infiniti per cui il NUM è più grande! però ora che mi fai riflettere è vero che si semplifica tuttavia non mi esce $e$ bensì sempre $+infty$ perchè l'espressione $(e^y+1)/y$ tende a $+infty$ per $y->0$ ed ho verificato con derive e mi dice che è così!!!


scusami rosanna se ho alimentato i tuoi dubbi ma in fondo la matematica è anche questo e grazie ad essa possiamo trovare risposte ai nostri dubbi!!!

[itpareid]

"dissonance":$e + ye(frac{e^y+1}{y}+e^y)$
che per $y \to 0$ tende a $e$.

scusa dissonance, ma a me viene $3e$...

paolotesla, fai i prodotti e semplifica, non risolvere solo un pezzo del limite...

[dissonance]

@itpareid: Beh, io i conti non li faccio più! Mi sono scocciato. Sono comunque quasi certo che il risultato esatto sia $-2e$, grazie alla prova euristica fornita dal grafico. E poi c'è anche Rosanna che conferma.

@rosanna: Grazie per i complimenti, ma non usare il TUTTO MAIUSCOLO per favore. Su questo forum scrivere in tutto maiuscolo è considerato equivalente all'urlare ed è contrario alla netiquette.

[rosannacir]

"dissonance":Non ti scoraggiare, questo è un esercizio particolarmente fastidioso. Io veramente li avevo pure già fatti i calcoli, ma su un foglietto volante che poi ho buttato ( ). Comunque è vero, paolotesla ti sei scordato un meno nel sostituire. Adesso ho rifatto i conti, ve li riscrivo sperando di non avere fatto errori io ( ). Il risultato è $-2e$.

L'espressione iniziale, ovvero $[ \frac{x^{2}(e^{\frac{x}{x+1}}-e)-xe}{x+1}]$, può essere riscritta come

$e[frac{x^2}{x+1}(e^{-1/(x+1)}-1)-x/(x+1)]$;

con la sostituzione $y=-1/(x+1)$, ovvero $x=-(1+1/y)$, abbiamo

$e[-y(1+1/y)^2(e^y-1)-(1+1/y)y]=e[ - (y+1)^2(e^y-1)/y-(y+1)] \to -2e$,

perché entrambi gli addendi in parentesi quadra tendono a $-1$ per $y\to 0$.

Scusami dissonace, ma non capisco quest'ultimo passaggio

[dissonance]

Calcola $lim_{y \to 0^+} - (y+1)^2(e^y-1)/y$ e $lim_{y \to 0^+} -(y+1)$. Poi prendi la somma e moltiplica per $e$. Cosa ottieni?

[rosannacir]

Mi riferivo al limite notevole $\lim_{y\rightarrow 0^{+}}\frac{e^{y}-1}{y}$ perchè per utilizzarlo hai diviso per $y$...e di conseguenza avresti anche dovuto moltiplicare per $y$ altrimenti il limite cambia. Giusto? In questo modo il tutto ha come risultato: $-e$

[rosannacir]

Aaaaaaaaaaa no...sorry avevo tralasciato il denominatore di $y(1+\frac{1}{y})^{2}$
Difatti, poi non avrei trovato più riscontro nel grafico!
Scusami ancora...questo limite mi ha fatto andare in tilt

[dissonance]

Certo, ho diviso e moltiplicato per $y$. Spunta un $y^2$ che portiamo nella parentesi $(1+1/y)^2$ ottenendo $(y+1)^2$.

[edit] Ecco, ci sei arrivata.

[rosannacir]

Grazieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeee

[paolotesla91]

sisi è così anche perchè il limite da destra risulta uguale!!! dunque $y=-2e$ è un asintoto sia a destra che a sinistra!! grazie dissonance cominciavo a nn capirci niente anche io!!

[rosannacir]

Grazie di cuore a tutti e buono studio