Come applicare il teorema di de l'Hôpital?

[rosannacir]

Salve a tutti,
ho dei problemi nell'applicazione del teorema di de l'Hôpital per le altre forme di indeterminazione, quali $0\cdot (+-\infty )$ oppure $(+\infty )(-\infty )$. Ci sono delle trasformazioni:
$\lim_{x\rightarrow x_{0}} [ f(x) g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}}[ \frac{f(x)}{\frac{1}{g(x)}} ]=\frac{0}{\frac{1}{\infty }}=\frac{0}{0}$;

$\lim_{x\rightarrow x_{0}}[ f(x) g(x)]=\lim_{x\rightarrow x_{0}} [ \frac{g(x)}{\frac{1}{f(x)}}]=\frac{\infty }{\frac{1}{0}}=\frac{\infty }{\infty }$;
per riportarle nelle forme indeterminate $\frac{0}{0}$ e $\frac{\infty }{\infty }$...cioè quale delle due funzioni deve essere trasformata?

[Camillo]

Direi quella la cui inversa è più semplice da derivare o meglio produce un risultato più favorevole.

N.B. se dopo aver applicato una volta il teorema di De l'Hopital ancora hai un aforma indeterminata puoi riapplicarlo se le ipotesi del Teorema sono ancora rispettate.

[rosannacir]

Ciò che non riesco a capire è: quando mi trovo dinanzi ad un limite con una forma indeterminata $0\cdot \infty $ posso sciogliere la forma indeterminata con De l'Hopital riconducendo tale funzione ad una delle due forme indeterminate $\frac{0}{0}$ oppure $\frac{\infty }{\infty }$ mediante una delle due trasformazioni:
§ $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}$;

§ $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)\cdot \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}$.
Ma quando si applica una e quando l'altra?
Poi, un'altra domanda: quando applico il teorema come dovrò impostare le derivate? Mi spiego meglio: $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)\cdot \frac{1}{\frac{1}{g'(x)}}$ oppure dovrò fare $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)\cdot \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\Rightarrow \lim_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)\cdot \frac{1}{(\frac{1}{g(x)})'}$? ?
Vi prego...aiutatemi!!

[dissonance]

Sono sbagliati tutti e due i tentativi. E' vero che

$f(x)g(x)=(f(x))/(1/(g(x)))$

(con opportune ipotesi che non stiamo a elencare). Ma certamente se vogliamo applicare la regola di l'Hôpital non dovremo considerare questo rapporto:

$(f'(x))/(1/(g'(x)))$

perché il rapporto giusto da considerare è questo:

$(f'(x))/((1/(g(x)))')$

e come sai, non è vero che $(1/(g(x)))'=1/(g'(x))$ (se non in casi eccezionali).

[rosannacir]

Grazie mille dissonance, ma non riesco a risolvere questo limite con De l'Hopital...saresti così gentile da aiutarmi? Sto perdendo la testa!! $\lim_{x\rightarrow -\infty }[ \frac{x^{2}(e^{\frac{x}{x+1}}-e)-xe}{x+1}]=\lim_{x\rightarrow -\infty } [ \frac{x^{2}(e^{\frac{x}{x+1}}-e)}{x+1} ]-\lim_{x\rightarrow -\infty } [ \frac{xe}{x+1} ]$
Grazie infinite

[dissonance]

Ma perché devi applicare per forza l'Hôpital? Non mi pare che semplifichi molto le cose, perché è vero che derivando sparisce il denominatore, ma il numeratore si complica. Invece di spezzare additivamente la frazione, prova a raccogliere $xe$ e ad usare la sostituzione $y=frac{-1}{1+x}$, osservando che se $x\to -infty$ allora $y \to 0^+$, ovvero $y$ tende a zero restando positiva. Così facendo ti riconduci al limite notevole dell'esponenziale

$lim_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}=1$.

Prova un po' e vedi che succede.

[rosannacir]

A me non sparisce nessun denominatore dove sbaglio?!

[rosannacir]

Questo limite mi sta dando filo da torcere! Non succede niente Dissonance!

[rosannacir]

Dissonance il limite originale l'ho postato su: https://www.matematicamente.it/forum/dov ... 71879.html

[Paolo902]

[mod="Paolo90"]
@ rosannacir: mi dispiace, ma così non va. Dai lo conosci il regolamento, no? Niente up prima di 24 ore.
Due up nel giro di 3 ore non si possono proprio vedere, tra l'altro da un utente con più di 60 post all'attivo.

Poi mi domando: ma se già nell'altra discussione si stava parlando di quel limite che bisogno c'era di parlarne anche qui? Ti ricordo che anche il multiposting è vietato dal regolamento.

Mi dispiace, ma non mi resta altra scelta che chiudere il topic per 24 ore. Si riapre domani mattina, h.11.50.

EDIT: come promesso, il topic è stato riaperto.
[/mod]

[rosannacir]

Dissonance,
ho provato a fare come dicevi tu, ma l'espressione diventa ancor più complicata.
Una domanda: perchè non riesco ad ottenere il tuo stesso risultato alla tua affermazione "Ma perché devi applicare per forza l'Hôpital? Non mi pare che semplifichi molto le cose, perché è vero che derivando sparisce il denominatore, ma il numeratore si complica."? Se derivo, a me non sparisce nessun denominatore! Perchè?

[paolotesla91]

io mi trovo $infty$ alla luce delle considerazioni di dissonance perchè:dopo il raccoglimento e la sostituzione, e gli opportuni calcoli mi trovo:

$lim_(y -> 0)((e/y-e)((e^y-1)/y-e^y))/(1/y)$

applicando i teoremi sulle operazioni con i limiti mi trovo che il tutto è uguale a $+infty$!!

vorrei sapere se il ragionamento è giusto!! grazie in anticipo!!

[rosannacir]

Ciao paolotesla91,
anch'io, più o meno, ottengo la stessa espressione ma con segni diversi, cioè:
$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{(\frac{-e}{y}-e) \{ [ \frac{-(e^{y}-1)}{y}-e^{y} ] }}{-\frac{1}{y}}$

perchè calcolo la $x$ che dovrò sostituire, la quale è pari a $x=\frac{-1-y}{y}$...giusto?

Comunque il tuo risutato finale $+\infty $ è giustissimo, ma arrivati a questo punto come devo procedere?
Grazie mille!!! Sei un angelo

[paolotesla91]

no rosanna semplicemente sbgli la sostituzione: poni $y=-1/(x+1)$ calcola il reciproco e poi la x quindi hai $1/y=x+1$ da cui $x=1/y-1$
dopodichè applichi i teoremi sulle operazioni tra limiti e segue il risultato!!! di niente!! grazie per l"angelo"!!

[dissonance]

"rosannacir":A me non sparisce nessun denominatore dove sbaglio?!

Ciao, scusa rosanna non mi ero accorto di questo topic. No, io dicevo: se prendi questa espressione

$[ \frac{x^{2}(e^{\frac{x}{x+1}}-e)-xe}{x+1}]$

il denominatore è $(x+1)$ e la sua derivata è $1$. Quindi quando derivi il numeratore e il denominatore ti resta solo la derivata del numeratore. Peccato che questa sia più complicata dell'espressione di partenza!

[paolotesla91]

scusa dissonance potresti dirmi perfavore se il mio ragionamento è giusto?

[rosannacir]

Ciao paolotesla91,
secondo me nella sostituzione hai dimenticato un "$-$" ed ora ti faccio vedere perchè:
pongo: $y=-\frac{1}{x+1}$
ricavo la x facendo il reciproco, così come mi hai detto tu: $\frac{1}{y}=\frac{1}{-\frac{1}{x+1}}$
cioè: $\frac{1}{y}=-(x+1)$

che significa anche $\frac{1}{y}=-x-1$

ora ricavo la $x$ : $\frac{1}{y}=\frac{-xy-y}{y}$

quindi: $1=-xy-y$ distinguo: $xy=-1-y$

ottengo: $x=\frac{-1-y}{y}$

che equivale a scrivere: $x=-\frac{1}{y}-\frac{y}{y}$ , cioè: $x=-\frac{1}{y}-1$ Giusto?

Ho fatto tutti i passaggi in modo tale da evitare incomprensioni.
Se ho fatto bene i calcoli, la tua $x=\frac{1}{y}-1$ non è corretta??

Perchè hai dimenticato di porre il segno $-$ davanti all'espressione nel momento in cui hai calcolato il reciproco...sarà stato un errore di distrazione.
Però se ho sbagliato in qualche passaggio, correggimi

[rosannacir]

"paolotesla91":io mi trovo $infty$ alla luce delle considerazioni di dissonance perchè:dopo il raccoglimento e la sostituzione, e gli opportuni calcoli mi trovo:

$lim_(y -> 0)((e/y-e)((e^y-1)/y-e^y))/(1/y)$

applicando i teoremi sulle operazioni con i limiti mi trovo che il tutto è uguale a $+infty$!!

vorrei sapere se il ragionamento è giusto!! grazie in anticipo!!

Ma da questo limite come si fa ad ottenere $+infty$???
Applicando i teoremi sulle operazioni tra i limiti ricavo un'altro valore....uffa!! Ma perchè?!
I limiti non mi sono molto simpatici.
I calcoli che faccio sono:
$\lim_{y\rightarrow 0^{+}}(\frac{e}{y}-e)(\frac{e^{y}-1}{y}-e^{y})(y)=\lim_{y\rightarrow 0^{+}} [(\frac{e}{y}-e)y ]\lim_{y\rightarrow 0^{+}}(\frac{e^{y}-1}{y}-e^{y})=\lim_{y\rightarrow 0^{+}}(e-ey)\lim_{y\rightarrow 0^{+}}(1-e^{y})=0$
Sono sicura di aver sbagliato ma non so dove!!

[dissonance]

Non ti scoraggiare, questo è un esercizio particolarmente fastidioso. Io veramente li avevo pure già fatti i calcoli, ma su un foglietto volante che poi ho buttato ( ). Comunque è vero, paolotesla ti sei scordato un meno nel sostituire. Adesso ho rifatto i conti, ve li riscrivo sperando di non avere fatto errori io ( ). Il risultato è $-2e$.

L'espressione iniziale, ovvero $[ \frac{x^{2}(e^{\frac{x}{x+1}}-e)-xe}{x+1}]$, può essere riscritta come

$e[frac{x^2}{x+1}(e^{-1/(x+1)}-1)-x/(x+1)]$;

con la sostituzione $y=-1/(x+1)$, ovvero $x=-(1+1/y)$, abbiamo

$e[-y(1+1/y)^2(e^y-1)-(1+1/y)y]=e[ - (y+1)^2(e^y-1)/y-(y+1)] \to -2e$,

perché entrambi gli addendi in parentesi quadra tendono a $-1$ per $y\to 0$.

[rosannacir]

non è possibile perchè l'ho verificato con un programma e dice che è + infinito

[dissonance]

Pure io ho verificato con un programma e mi dice che è corretto. Non ti fidare troppo di questi programmi per i calcoli esatti, a volte si sbagliano. Con l'esperienza riesci a capire in cosa puoi fidarti ciecamente dei programmi e in cosa no. Comunque, facciamo disegnare un grafico, per avere maggiori indizi (in nero il grafico della funzione di cui calcoliamo il limite, in grigio la retta di equazione $y=-2e$):
[asvg]xmin=-80; xmax=0; ymin=-12; ymax=0; axes(); xmax=-1; plot("(x^2*( exp(x/(x+1)) - exp(1) )-x*exp(1))/(x+1)"); stroke="lightgray"; xmax=0; plot("-2*exp(1)");[/asvg]Mi sa che $-2e$ è giusto come risultato. Vedi come, per $x \to -infty$, il grafico della funzione si appiattisce sempre più sulla retta $y=-2e$? Questo non dimostra nulla, naturalmente, ma è una grossa conferma.