Collegamento logico tra fattoriali, esponenziali e tartaglia

[colorweber]

Buongiorno,
come appassionato di matematica vorrei chiedere se qualcuno conosce di una teoria o teorema che leghi in senso logico i numeri esponenziali, fattoriali e la formula del triangolo di tartaglia.

Mi spiego:
Ho osservato che partendo da numeri esponenziali arrivo ai numeri fattoriali e da questi ultimi ricavo la formula di tartaglia.
Penso che tramite un sistema o teorema di potrebbe trovare facilmente la radice quadra, triangolare etc. di un numero senza sistemi complessi.

Ecco lo schema fino arrivare a 0 (numeri elevati al quadrato):
n .......n^2
1 .......1
....... ....... 4-1=3
2 ....... 4 ....... ....... 5-3=2
....... .......9-4=5 ....... ....... .......2-2=0
3 .......9 ....... .......7-5=2
....... ....... 16-9=7 ....... ....... .......2-2=0
4 .......16 ....... .......9-7=2
....... ....... 25-16=9
5 ....... 25

Poi invece di usare numeri interi si usano i numeri decimali potrebbe saltare fuori qualcosa di interessante...

es.
0,25

0,50

0,75

1

Forse non è niente di nuovo... ma su internet non trovo nulla in proposito.

Ciao e grazie a tutti
Alessandro Cecchini

[Richard_Dedekind]

Non ho capito bene cosa tu faccia; cioè non mi è del tutto chiara la successione che tu vorresti seguire.
Hai trovato che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è esattamente la successione dei numeri dispari. E poi? Che la differenza di due numeri dispari consecutivi sia \(2\) è banale...