Coerenza del concetto di infinitesimo nell'Analisi moderna
Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria e ho una quesito da porre:
nei corsi di analisi A e B il concetto di derivata viene introdotto mediante la definizione di rapporto incrementale, mentre nei corsi di fisica A e B le derivate vengono espresse e pensate come un rapporto di infinitesimi. Dalle ricerche che ho fatto risulta che il concetto di infinitesimo introdotto da Cauchy è entrato in contraddizione con l'analisi matematica successivamente alle "integrazioni" fatte da Weiestrass. In particolare ho letto che il concetto di infinitesimo risulta logico nell'ambito dell'Analisi non-standard (che ignoro).
Se il concetto di infinitesimo non è coerente con l'Analisi moderna, per quale ragione la fisica e le scienze ingengeristiche ne fanno largamente uso????
Fino a che punto il concetto di infinitesimo risulta essere illogico rispetto all'Analisi moderna????
Grazie per la vostra pazienza
Ciao a tutti
nei corsi di analisi A e B il concetto di derivata viene introdotto mediante la definizione di rapporto incrementale, mentre nei corsi di fisica A e B le derivate vengono espresse e pensate come un rapporto di infinitesimi. Dalle ricerche che ho fatto risulta che il concetto di infinitesimo introdotto da Cauchy è entrato in contraddizione con l'analisi matematica successivamente alle "integrazioni" fatte da Weiestrass. In particolare ho letto che il concetto di infinitesimo risulta logico nell'ambito dell'Analisi non-standard (che ignoro).
Se il concetto di infinitesimo non è coerente con l'Analisi moderna, per quale ragione la fisica e le scienze ingengeristiche ne fanno largamente uso????
Fino a che punto il concetto di infinitesimo risulta essere illogico rispetto all'Analisi moderna????
Grazie per la vostra pazienza
Ciao a tutti
Risposte
Caro Fioravante, mi sa che siamo d'accordo (a proposito, complimenti per i tuoi interventi, sempre lucidissimi!).
Allargando un po' il discorso, nel mio percorso di studente ho sempre apprezzato molto il rigore: usare procedimenti sbagliati come se fossero corretti (i fisici talvolta lo fanno) è deleterio. L'importante è non cadere nell'eccesso opposto, di un formalismo esagerato che tende a nascondere la sostanza, più che a chiarirla. Per esempio, definire un polinomio (o una forma differenziale) come una "scrittura formale" mi è sempre sembrato più chiaro ed efficace della relativa definizione rigorosa. La virtù sta, come spesso accade in queste cose, nel mezzo.
E non sto parlando del metodo urang-utang, sia chiaro!
Un saluto,
L.
Allargando un po' il discorso, nel mio percorso di studente ho sempre apprezzato molto il rigore: usare procedimenti sbagliati come se fossero corretti (i fisici talvolta lo fanno) è deleterio. L'importante è non cadere nell'eccesso opposto, di un formalismo esagerato che tende a nascondere la sostanza, più che a chiarirla. Per esempio, definire un polinomio (o una forma differenziale) come una "scrittura formale" mi è sempre sembrato più chiaro ed efficace della relativa definizione rigorosa. La virtù sta, come spesso accade in queste cose, nel mezzo.
E non sto parlando del metodo urang-utang, sia chiaro!
Un saluto,
L.
Salve, ho voluto riesumare questa discussione dal momento che ho un paio di domande da farvi. Innanzitutto premetto che sono uno studente di ingegneria, quindi, sebbene non sia un matematico e sebbene per me l'intuzione sia più importante del rigore matematico, ci sono delle cose che non riesco ad accettare appieno. Più precisamente, tutti sappiamo che la definizione di derivata in un punto $x_0$ è quella di limite di un rapporto incrementale, e il fatto di scriverla come il rapporto di due quantità infinitesime, ossia $dy/dx$ ha solo un significato intuitivo, come peraltro detto da voi molte volte. Analogamente, tutti sappiamo che data una funzione $y=f(x)$, l'integrale indefinito di tale funzione è l'insieme di tutte le sue primitive; cioè, se F(x) è una funzione per la quale valga la relazione $F(x)'=f(x)$, ossia una primitiva, allora si dimostra che anche $F(x)+C$ è un'altra primitiva, e così via. Tale insieme di primitive si indica con la scritta: $F(x)+C=int f(x)dx$. Il simbolo $dx$ che compare in tale espressione formale, sebbene abbia un ben preciso significato intuitivo, qui ha solo una funzione "ornamentale", come detto anche dal mio professore di Analisi.
Poi viene l'integrale definito, definito come l'area esatta sottesa dal grafico di una funzione (quindi come un limite di somme). Quindi è la volta del teorema di Torricelli-Barrow che permette di unire le due teorie sull'integrazione definita e indefinita dicendo che l'area $A$ sottesa dal grafico di una funzione tra $a$ e $b$, cioè questo limite di somme, è pari alla variazione $F(b)-F(a)$ della primitiva.
Fatte queste premesse, inizio a studiare Fisica e oltre alla più rigorosa definizione di velocità istantanea come derivata rispetto al tempo della funzione $r(t)$, mi viene presentata un'altra definizione: la velocità istantanea all'istante $t$ di un punto materiale è: $V(t)=(d vec r)/dt$. Fin qui tutto bene, anche perchè tale simbolismo era stato usato anche in Analisi.
Però poi inizia a non tornarmi qualcosa. Infatti, per ricavare, nota $v(t)$, la funzione $r(t)$, anzichè integrare rigorosamente come un matematico farebbe (e cioè trovare la primitiva e assegnare le condizioni iniziali), il testo "gioca" con gli infinitesimi scrivendo che $vec dr=vec v*dt$, quindi integra ambo i membri fra $vec r(0)$ e $r$ e fra $0$ e $t$ e trova la funzione $r(t)$. Questo è uno dei tanti esempi di integrazione fatta a "cacchio" in fisica.
La mia domanda a questo punto è: ma se abbiamo detto che i $dy$, i $dx$ hanno solo un significato intuitivo ma non rigoroso, come ci si aspetta in matematica, perchè integrando così alla buona come si fa in fisica e in ingegneria le cose funzionano e tornano ugualmente? Cioè, se gli infinitesimi che compaiono nelle definizioni di cui ho parlato non hanno alcun significato matematico, ma solo intuitivo, perchè se si finge di dar loro significato matematico i conti tornano? Non trovate una contraddizione? Attendo risposte:)
Poi viene l'integrale definito, definito come l'area esatta sottesa dal grafico di una funzione (quindi come un limite di somme). Quindi è la volta del teorema di Torricelli-Barrow che permette di unire le due teorie sull'integrazione definita e indefinita dicendo che l'area $A$ sottesa dal grafico di una funzione tra $a$ e $b$, cioè questo limite di somme, è pari alla variazione $F(b)-F(a)$ della primitiva.
Fatte queste premesse, inizio a studiare Fisica e oltre alla più rigorosa definizione di velocità istantanea come derivata rispetto al tempo della funzione $r(t)$, mi viene presentata un'altra definizione: la velocità istantanea all'istante $t$ di un punto materiale è: $V(t)=(d vec r)/dt$. Fin qui tutto bene, anche perchè tale simbolismo era stato usato anche in Analisi.
Però poi inizia a non tornarmi qualcosa. Infatti, per ricavare, nota $v(t)$, la funzione $r(t)$, anzichè integrare rigorosamente come un matematico farebbe (e cioè trovare la primitiva e assegnare le condizioni iniziali), il testo "gioca" con gli infinitesimi scrivendo che $vec dr=vec v*dt$, quindi integra ambo i membri fra $vec r(0)$ e $r$ e fra $0$ e $t$ e trova la funzione $r(t)$. Questo è uno dei tanti esempi di integrazione fatta a "cacchio" in fisica.
La mia domanda a questo punto è: ma se abbiamo detto che i $dy$, i $dx$ hanno solo un significato intuitivo ma non rigoroso, come ci si aspetta in matematica, perchè integrando così alla buona come si fa in fisica e in ingegneria le cose funzionano e tornano ugualmente? Cioè, se gli infinitesimi che compaiono nelle definizioni di cui ho parlato non hanno alcun significato matematico, ma solo intuitivo, perchè se si finge di dar loro significato matematico i conti tornano? Non trovate una contraddizione? Attendo risposte:)
domanda fatta un numero di avogadro di volte (comunque è importante farla); la risposta la trovi scrivendo su google " equazioni differenziali urang utang" e arriverai ai celebri appunti di fioravante patrone
Ok, ma in quegli appunti è contenuta la risposta alla mia domanda? Ho assolutamente bisogno di trovare una giustificazione logica a questa cosa, altrimenti mi sembra sempre di fare operazioni a cavolo:)
Oddiomio... lisdap, ho una domanda per te: ma oltre ad occuparti di differenziali, trombi?
Per Gugo e qualsiasi altro mod: se mi volete bannare fatelo pure, ma non potete non convenire con me che sta faccenda del differenziale ormai sta diventando un tentativo di Trollaggio bello e buono!
Per Gugo e qualsiasi altro mod: se mi volete bannare fatelo pure, ma non potete non convenire con me che sta faccenda del differenziale ormai sta diventando un tentativo di Trollaggio bello e buono!
"lisdap":
Ok, ma in quegli appunti è contenuta la risposta alla mia domanda?
certo perchè si parla proprio di come/quando si gioca con gli infiniteseimi!
"ciampax":
Per Gugo e qualsiasi altro mod: se mi volete bannare fatelo pure, ma non potete non convenire con me che sta faccenda del differenziale ormai sta diventando un tentativo di Trollaggio bello e buono!
Se Gugo ti banna voglio essere bannato anche io!
Non vedo l'ora che torni dalla vacanze..
"ciampax":
Oddiomio... lisdap, ho una domanda per te: ma oltre ad occuparti di differenziali, trombi?
Per Gugo e qualsiasi altro mod: se mi volete bannare fatelo pure, ma non potete non convenire con me che sta faccenda del differenziale ormai sta diventando un tentativo di Trollaggio bello e buono!
Se trombo saranno fatti miei no
? Comunque non è colpa mia se la matematica in questo caso è sbagliata e confusa. Ho letto gli appunti di Patrone e non hanno risposto alla mia domanda perchè alla fine Patrone cerca in qualche modo di dare un rigore logico alla questione senza però giustificarla pienamente. Ai corsi di Analisi mi hanno fatto due palle così (scusate il termine) per dimostrare qualsiasi cosa, anche la più stupida e poi quando si tratta di dimostrare cose importanti che veramente vanno dimostrate (la questione di cui ho parlato sopra)....silenzio......mah, sinceramente stavolta mi aspettavo di più da voi matematici. Voi tutti questi problemi sui differenziali e sulle integrazioni fatte a cavolo non ve li ponete perchè la Fisica per voi è arabo
Abbi pazienza, cosa vorresti che fosse dimostrato?
Che strade sbagliate a volte portano lo stesso a destinazione? Soprattutto quando si sa già quale è la destinazione, nota bene!
Io, nei miei appunti, ho cercato di dare delle ragioni per cui questo può accadere. Queste ragioni vanno ben al di là del caso specifico, e con un po' di olio di gomito si possono estendere a situazioni simili in cui l'uso spensierato dei differenziali porta comunque alla meta. Si tratta, tanto per cambiare, di lavorare su una approssimazione (discretizzazione) del problema e poi passare al limite: il tutto collassato con i dx e compagnia bella per far prima.
Se tu "pretendi" che i matematici si mettano lì a far vedere come i settordici metodi allegri usati dai fisici(*) per "spiegare" agli studenti certi passaggi possano essere ben sistemati, a me sembra che "pretendi" un po' troppo. Anche se potrei considerare di scrivere un libro al riguardo. Potrebbe diventare un best seller!
(*) quando fanno i matematici finti tonti
Che strade sbagliate a volte portano lo stesso a destinazione? Soprattutto quando si sa già quale è la destinazione, nota bene!
Io, nei miei appunti, ho cercato di dare delle ragioni per cui questo può accadere. Queste ragioni vanno ben al di là del caso specifico, e con un po' di olio di gomito si possono estendere a situazioni simili in cui l'uso spensierato dei differenziali porta comunque alla meta. Si tratta, tanto per cambiare, di lavorare su una approssimazione (discretizzazione) del problema e poi passare al limite: il tutto collassato con i dx e compagnia bella per far prima.
Se tu "pretendi" che i matematici si mettano lì a far vedere come i settordici metodi allegri usati dai fisici(*) per "spiegare" agli studenti certi passaggi possano essere ben sistemati, a me sembra che "pretendi" un po' troppo. Anche se potrei considerare di scrivere un libro al riguardo. Potrebbe diventare un best seller!
(*) quando fanno i matematici finti tonti
Lo ribadisco: questo è un Troll. 
"ciampax":
Lo ribadisco: questo è un Troll.
ancora co sta storia?
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