Coerenza del concetto di infinitesimo nell'Analisi moderna
Salve a tutti, sono uno studente di ingegneria e ho una quesito da porre:
nei corsi di analisi A e B il concetto di derivata viene introdotto mediante la definizione di rapporto incrementale, mentre nei corsi di fisica A e B le derivate vengono espresse e pensate come un rapporto di infinitesimi. Dalle ricerche che ho fatto risulta che il concetto di infinitesimo introdotto da Cauchy è entrato in contraddizione con l'analisi matematica successivamente alle "integrazioni" fatte da Weiestrass. In particolare ho letto che il concetto di infinitesimo risulta logico nell'ambito dell'Analisi non-standard (che ignoro).
Se il concetto di infinitesimo non è coerente con l'Analisi moderna, per quale ragione la fisica e le scienze ingengeristiche ne fanno largamente uso????
Fino a che punto il concetto di infinitesimo risulta essere illogico rispetto all'Analisi moderna????
Grazie per la vostra pazienza
Ciao a tutti
nei corsi di analisi A e B il concetto di derivata viene introdotto mediante la definizione di rapporto incrementale, mentre nei corsi di fisica A e B le derivate vengono espresse e pensate come un rapporto di infinitesimi. Dalle ricerche che ho fatto risulta che il concetto di infinitesimo introdotto da Cauchy è entrato in contraddizione con l'analisi matematica successivamente alle "integrazioni" fatte da Weiestrass. In particolare ho letto che il concetto di infinitesimo risulta logico nell'ambito dell'Analisi non-standard (che ignoro).
Se il concetto di infinitesimo non è coerente con l'Analisi moderna, per quale ragione la fisica e le scienze ingengeristiche ne fanno largamente uso????
Fino a che punto il concetto di infinitesimo risulta essere illogico rispetto all'Analisi moderna????
Grazie per la vostra pazienza
Ciao a tutti
Risposte
"Fioravante Patrone":
e, ricordati, una promessa è una promessa! CIAO
Ehehehehh!! Sono un uomo di parola: ciao, grazie e buona giornata!
mi intrometto di passagggio in questo bello scambio di post, solo per spezzare qualche lancia a favore della categoria a cui appartengo - gli ingegneri - spesso classificati come utenti "disinvolti" di strumenti matematici, dando il mio punto di vista sul fatto specifico degli infinitesimi, ed in generale sulla disinvoltura.
1) Infinitesimi: gli ingegneri, quando usano dy, non attingono al concetto tanto discusso di infinitesimo, ma sottintendono il differenziale. Non so se ogni volta viene fatta una previa verifica di derivabilità della funzione, ma comunque il concetto utilizzato è il differenziale, non l'infinitesimo. Quindi la base di tutto è l'approssimazione lineare del fenomeno fisico nell'intorno del punto;
2) disinvoltura (estensione e generalizzazione del metodo dell'"urang-utang"): difficile negarlo, quindi non ci provo. Però è utile una precisazione. La disinvoltura notata da osservatori esterni spesso è meno reale di quanto non appaia. Alle spalle dell'approccio disinvolto utilizzato dal professionista c'è, quasi sempre, un lavoro approfondito e rigoroso di studiosi (spesso non ingegneri) il cui risultato giustifica l'approccio approssimativo, anche definendone l'ambito in cui è legittimo. Può acceder che il professionista non abbia più memoria di ciò che sta alla base del metodo (e magari l'aveva studiato), ma lo usa con tranquillità, perché funziona. Per l'ingegnere quel "funziona" è fondamentale.
Mi fermo qui perché forse questo tema non è interessante per i più, ma ci sarebbe molto da dire.
1) Infinitesimi: gli ingegneri, quando usano dy, non attingono al concetto tanto discusso di infinitesimo, ma sottintendono il differenziale. Non so se ogni volta viene fatta una previa verifica di derivabilità della funzione, ma comunque il concetto utilizzato è il differenziale, non l'infinitesimo. Quindi la base di tutto è l'approssimazione lineare del fenomeno fisico nell'intorno del punto;
2) disinvoltura (estensione e generalizzazione del metodo dell'"urang-utang"): difficile negarlo, quindi non ci provo. Però è utile una precisazione. La disinvoltura notata da osservatori esterni spesso è meno reale di quanto non appaia. Alle spalle dell'approccio disinvolto utilizzato dal professionista c'è, quasi sempre, un lavoro approfondito e rigoroso di studiosi (spesso non ingegneri) il cui risultato giustifica l'approccio approssimativo, anche definendone l'ambito in cui è legittimo. Può acceder che il professionista non abbia più memoria di ciò che sta alla base del metodo (e magari l'aveva studiato), ma lo usa con tranquillità, perché funziona. Per l'ingegnere quel "funziona" è fondamentale.
Mi fermo qui perché forse questo tema non è interessante per i più, ma ci sarebbe molto da dire.
se ti permetti tu, allora mi permetto anch'io 
condivido, quando dicevo "e, soprattutto, lo si può fare impunemente avendo "le spalle coperte" "
non intendevo dire che necessariamente le spalle fossero coperte da altri!
vedo che l'uso che ne fai tu è identico a quello che ne faccio io...
anche se sul fatto che tutti quelli (matematici compresi) che usano dy lo facciano nel senso da te indicato e non pensino ad un incremento "infinitesimo", qualche dubbio me lo vorrei tenere
anche su questo, essenzialmente condivido (vedi la mia risposta a Dust)
naturalmente, l'affidarsi ad una memoria un po' sbiadita può essere pericoloso
magari un metodo non "funziona", anche se sembra
(mi sono ri-scaricato recentemente il filmato del ponte di Tahoma...)
"kinder":
1) Infinitesimi: gli ingegneri, quando usano dy, non attingono al concetto tanto discusso di infinitesimo, ma sottintendono il differenziale. Non so se ogni volta viene fatta una previa verifica di derivabilità della funzione, ma comunque il concetto utilizzato è il differenziale, non l'infinitesimo. Quindi la base di tutto è l'approssimazione lineare del fenomeno fisico nell'intorno del punto;
condivido, quando dicevo "e, soprattutto, lo si può fare impunemente avendo "le spalle coperte" "
non intendevo dire che necessariamente le spalle fossero coperte da altri!
vedo che l'uso che ne fai tu è identico a quello che ne faccio io...
anche se sul fatto che tutti quelli (matematici compresi) che usano dy lo facciano nel senso da te indicato e non pensino ad un incremento "infinitesimo", qualche dubbio me lo vorrei tenere
"kinder":
2) disinvoltura (estensione e generalizzazione del metodo dell'"urang-utang"): difficile negarlo, quindi non ci provo. Però è utile una precisazione. La disinvoltura notata da osservatori esterni spesso è meno reale di quanto non appaia. Alle spalle dell'approccio disinvolto utilizzato dal professionista c'è, quasi sempre, un lavoro approfondito e rigoroso di studiosi (spesso non ingegneri) il cui risultato giustifica l'approccio approssimativo, anche definendone l'ambito in cui è legittimo. Può acceder che il professionista non abbia più memoria di ciò che sta alla base del metodo (e magari l'aveva studiato), ma lo usa con tranquillità, perché funziona. Per l'ingegnere quel "funziona" è fondamentale.
anche su questo, essenzialmente condivido (vedi la mia risposta a Dust)
naturalmente, l'affidarsi ad una memoria un po' sbiadita può essere pericoloso
magari un metodo non "funziona", anche se sembra
(mi sono ri-scaricato recentemente il filmato del ponte di Tahoma...)
"Fioravante Patrone":
(mi sono ri-scaricato recentemente il filmato del ponte di Tahoma...)
Lo voglio anch'io quel video!! Dove si scarica?
toh, chi si vede! Un uomo di parola!
http://ia300108.us.archive.org/2/items/ ... acoma.mpeg
occhio che è 108 mega!
è davvero impressionante
la fotina che c'era sull'Halliday-Resnick dava solo una pallida idea di quello che avvenne!
http://ia300108.us.archive.org/2/items/ ... acoma.mpeg
occhio che è 108 mega!
è davvero impressionante
la fotina che c'era sull'Halliday-Resnick dava solo una pallida idea di quello che avvenne!
Fioravante,
la tua (involontaria?) perfidia nella citazione del ponte di Tahoma in realtà stimolerebbe la discussione su un'importante questione connessa al fare ingegneria, che però va oltre il mero tema degli infinitesimi. Quello è proprio un esempio che un qualunque maestro utilizzerebbe per indicare all'allievo la retta via (ingegneristicamente parlando), cioè: poche seghe mentali sui formalismi, e concentrati sui fenomeni dominanti. Il caso del ponte è stato possibile per il fatto di non aver considerato proprio alcune fenomenologie (oscillazioni autoeccitate, con la sfiga di verificarsi alle frequenze di risonanza della struttura), che con tale esperienza si sono manifestate. Per l'appunto, il problema lì non è riconducibile all'uso spregiudicato di approssimazioni e/o improprio uso di strumenti matematici, ma è attribuibile all'ignoranza del fenomeno. Nell'ingegneria le grosse cantonate si prendono soprattutto quando si ignora un fenomeno, piuttosto che quando questo è approcciato in maniera matematicamente brutale (stile orang-utang). Se un ingegnere (ma vale anche e forse soprattutto per il fisico) individua un fenomeno che non riesce a gestire matematicamente, coll'individuarlo ha fatto il grosso. Potrà sempre chiedere soccorso al matematico (lo ha fatto addirittura Einstein); non c'è nulla di male, anzi. Il problema grosso sta nel non vederlo (il ponte può crollare...). La storia dell'ingegneria e dello sviluppo tecnologico è costellata di esempi simili a quello del ponte citato. E' successo spesso che un fenomeno è stato conosciuto per i danni che ha prodotto; in tutti i casi, a monte c'era l'ignoranza dello stesso.
la tua (involontaria?) perfidia
nella citazione del ponte di Tahoma in realtà stimolerebbe la discussione su un'importante questione connessa al fare ingegneria, che però va oltre il mero tema degli infinitesimi. Quello è proprio un esempio che un qualunque maestro utilizzerebbe per indicare all'allievo la retta via (ingegneristicamente parlando), cioè: poche seghe mentali sui formalismi, e concentrati sui fenomeni dominanti. Il caso del ponte è stato possibile per il fatto di non aver considerato proprio alcune fenomenologie (oscillazioni autoeccitate, con la sfiga di verificarsi alle frequenze di risonanza della struttura), che con tale esperienza si sono manifestate. Per l'appunto, il problema lì non è riconducibile all'uso spregiudicato di approssimazioni e/o improprio uso di strumenti matematici, ma è attribuibile all'ignoranza del fenomeno. Nell'ingegneria le grosse cantonate si prendono soprattutto quando si ignora un fenomeno, piuttosto che quando questo è approcciato in maniera matematicamente brutale (stile orang-utang). Se un ingegnere (ma vale anche e forse soprattutto per il fisico) individua un fenomeno che non riesce a gestire matematicamente, coll'individuarlo ha fatto il grosso. Potrà sempre chiedere soccorso al matematico (lo ha fatto addirittura Einstein); non c'è nulla di male, anzi. Il problema grosso sta nel non vederlo (il ponte può crollare...). La storia dell'ingegneria e dello sviluppo tecnologico è costellata di esempi simili a quello del ponte citato. E' successo spesso che un fenomeno è stato conosciuto per i danni che ha prodotto; in tutti i casi, a monte c'era l'ignoranza dello stesso.
"kinder":
perfidia
sono innocente come acqua di fonte!
il riferimento al Tahoma bridge è stato semplicemente scatenato dal fatto che (come dicevo) me l'ero rivisto da poco
comunque, le tue mi sembrano considerazioni molto sensate e, direi, ben centrate sul fatto specifico del ponte
io volevo mettere l'accento sul fatto che c'è il rischio di assumere che qualcosa "funzioni" anche quando non funziona affatto!
certo, siamo ormai abbondantemente OT...
Ponte sospeso di Tacoma Narrows Bridge sul Puget Sound,tra Tacoma e Gig Harbor (stato di Washington).
Gli ingegneri giurano che il ponte può sopportare i venti di un uragano.
Ma anche modeste brezze lo fanno ondeggiare.
Mattina del 7 novembre 1940: un forte vento (tra 60 e 75 km/h) fa crollare il ponte.
Dopo...
Un gruppo di ingegneri si riunì per progettare un sostituto del ponte crollato.
Gli ingegneri civili proposero di costruirlo con la stessa forma ma più solido.
L'ingegnere aerodinamico Theodore Von Karman si rese conto che il problema era dovuto ai vortici della scia e disse :
Se lo costruiamo con la stessa forma cadrà allo stesso modo.
Si decise saggiamente di cambiare aerodinamica.
Si era in presenza di un fenomeno aerodinamico nuovo e dalle conseguenze allora sconosciute : scie di Von Karman a valle dell'ostacolo , come ricorda Kinder.
Questa volta una certa disinvoltura degli ingegneri ( detta anche tecnica urang-utang dai matematici ) nel maneggiare oggetti matematici "delicati " non c'entra.
Gli ingegneri giurano che il ponte può sopportare i venti di un uragano.
Ma anche modeste brezze lo fanno ondeggiare.
Mattina del 7 novembre 1940: un forte vento (tra 60 e 75 km/h) fa crollare il ponte.
Dopo...
Un gruppo di ingegneri si riunì per progettare un sostituto del ponte crollato.
Gli ingegneri civili proposero di costruirlo con la stessa forma ma più solido.
L'ingegnere aerodinamico Theodore Von Karman si rese conto che il problema era dovuto ai vortici della scia e disse :
Se lo costruiamo con la stessa forma cadrà allo stesso modo.
Si decise saggiamente di cambiare aerodinamica.
Si era in presenza di un fenomeno aerodinamico nuovo e dalle conseguenze allora sconosciute : scie di Von Karman a valle dell'ostacolo , come ricorda Kinder.
Questa volta una certa disinvoltura degli ingegneri ( detta anche tecnica urang-utang dai matematici ) nel maneggiare oggetti matematici "delicati " non c'entra.
si, è così. Anche se, però, l'affermazione stessa forma=stessa fine mi lascia perplesso, perché in generale per evitare un fenomeno di risonanza si può intervenire o sulle frequenze eccitatrici (quindi sulla forma aerodinamica, nel fatto in ispecie) o sui modi propri, a parità di forma, che per una struttura dipendono da vincoli, proprietà elastiche, masse, smorzamenti interni.
Ma questo, col senno di poi. Scusate l'OT, ma questo è un caso interessante, oltre che spettacolare. C'è da dire che, se non sbaglio, non ha fatto morti in maniera diretta, quindi è già andata bene.
Ma questo, col senno di poi. Scusate l'OT, ma questo è un caso interessante, oltre che spettacolare. C'è da dire che, se non sbaglio, non ha fatto morti in maniera diretta, quindi è già andata bene.
Parte , parte .. poi ci vuole un po'
"Camillo":
Parte , parte .. poi ci vuole un po'
praticamente sembra come se lo stia caricando in streaming su una finestra con la Q di quicktime in sottofondo, dopodichè quando FireFox indica che la pagina è completamente caricata non parte nulla.
sì, è successo anche a me quello che dice motorhead
sembra voglia partire in streaming ma invece scarica tutto il file e poi non fa vedere nente
ho rimediato (con firefox) così:
faccio partire il caricamento della pagina
mi appare la Q di QuickTime
stoppo il caricamento
vado su "File" e dico: "Save Page As"
e salvo il filmato nella directory che più mi aggrada
sembra voglia partire in streaming ma invece scarica tutto il file e poi non fa vedere nente
ho rimediato (con firefox) così:
faccio partire il caricamento della pagina
mi appare la Q di QuickTime
stoppo il caricamento
vado su "File" e dico: "Save Page As"
e salvo il filmato nella directory che più mi aggrada
yes, lo sto scaricando con questo metodo e pare funzionare.
Grazie
Impressionante il ponte sembra di gomma
Grazie
Impressionante il ponte sembra di gomma
Segnalo questo, a chi possa interessare:
http://maurizio.altervista.org/politecn ... Billah.pdf
L'ho trovato curiosando nelle pagine di Maurizio Zani.
http://maurizio.altervista.org/politecn ... Billah.pdf
L'ho trovato curiosando nelle pagine di Maurizio Zani.
... teniamo caldo il post fra alcuni anni (quanti?) ci sarà il ponte di Messina.
@Fioravante
sto cercando ovunque risposta alla mia domanda, spero di trovarla qui riagganciandomi a questo vecchio (per non dire preistorico) topic.
Quelli come che sostengono $dy/dx$ sia solo una notazione come spiegano i virtuosismi che fanno i fisici?
Ad esempio data una velocità iniziale $Vo$ al tempo $t=0$ e accelerazione costante negativa $kv^2$ dove v è la funzione velocità; trovare la velocità in funzione dello spazio.
La soluzione proposta è:
$adx=(dv/dt)dx=dv(dx/dt)=vdv$ (1)
quindi
$adx=vdv$
$(-kv^2)dx=vdv$
(e poi si risolve con il metondo urang utang!XD).
Come si fa a giustificare/dimostrare/accettare il passaggio (1).
Anche io ho un certo odio verso i prof di fisica che sono in contraddizione con quelli di analisi...
sto cercando ovunque risposta alla mia domanda, spero di trovarla qui riagganciandomi a questo vecchio (per non dire preistorico) topic.
Quelli come che sostengono $dy/dx$ sia solo una notazione come spiegano i virtuosismi che fanno i fisici?
Ad esempio data una velocità iniziale $Vo$ al tempo $t=0$ e accelerazione costante negativa $kv^2$ dove v è la funzione velocità; trovare la velocità in funzione dello spazio.
La soluzione proposta è:
$adx=(dv/dt)dx=dv(dx/dt)=vdv$ (1)
quindi
$adx=vdv$
$(-kv^2)dx=vdv$
(e poi si risolve con il metondo urang utang!XD).
Come si fa a giustificare/dimostrare/accettare il passaggio (1).
Anche io ho un certo odio verso i prof di fisica che sono in contraddizione con quelli di analisi...
1. L'analisi di Leibniz poggia(va) sul concetto di "infinitesimo", che però non era definito rigorosamente: un "infinitesimo" nel senso di Leibniz era "qualcosa di piccolissimo", che poteva essere considerato ora zero ora diverso da zero. Molti risultati erano (miracolosamente?) validi, ma l'impostazione generale è, oggi, inaccettabile sul piano del rigore.
2. L'analisi "standard" (quella di Cauchy e Weierstrass; per intenderci, quella che viene insegnata nei moderni corsi universitari di Analisi) poggia sul concetto di limite e di numero reale, non di infinitesimo. La teoria è impeccabile sul piano del rigore, anche se si paga un po' su quello dell'immediatezza e dell'intuizione. La notazione di Leibniz è, qui, appunto, solo una notazione: la si usa (solo) perché mnemonica.
3. L'analisi non standard di Robinson rende rigorosi gli infinitesimi di Leibniz: la teoria si basa sul concetto di "infinitesimo" (definito rigorosamente) e di numero iperreale: di limite non si parla più. La teoria è equivalente a quella "standard", anche se molti teoremi sono più immediati da provare.
Lo si accetta perché si assume (o si sottointende; o si spera) che esso potrebbe essere provato rigorosamente usando l'analisi (standard, o anche non standard) come dio comanda.
Tieni presente che l'uso che i fisici fanno della matematica è spesso molto spregiudicato. Questo ha i suoi contro ma anche i suoi pro.
In questo lavoro si vede quanto sia difficile mettere a punto la definizione precisa di un concetto matematico:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... uzioni.pdf
C'è anche un'appendice sull'analisi non standard.
Ciao,
L.
2. L'analisi "standard" (quella di Cauchy e Weierstrass; per intenderci, quella che viene insegnata nei moderni corsi universitari di Analisi) poggia sul concetto di limite e di numero reale, non di infinitesimo. La teoria è impeccabile sul piano del rigore, anche se si paga un po' su quello dell'immediatezza e dell'intuizione. La notazione di Leibniz è, qui, appunto, solo una notazione: la si usa (solo) perché mnemonica.
3. L'analisi non standard di Robinson rende rigorosi gli infinitesimi di Leibniz: la teoria si basa sul concetto di "infinitesimo" (definito rigorosamente) e di numero iperreale: di limite non si parla più. La teoria è equivalente a quella "standard", anche se molti teoremi sono più immediati da provare.
Come si fa a giustificare/dimostrare/accettare il passaggio (1)?
Lo si accetta perché si assume (o si sottointende; o si spera) che esso potrebbe essere provato rigorosamente usando l'analisi (standard, o anche non standard) come dio comanda.
Tieni presente che l'uso che i fisici fanno della matematica è spesso molto spregiudicato. Questo ha i suoi contro ma anche i suoi pro.
In questo lavoro si vede quanto sia difficile mettere a punto la definizione precisa di un concetto matematico:
http://www.lorenzopantieri.net/LaTeX_fi ... uzioni.pdf
C'è anche un'appendice sull'analisi non standard.
Ciao,
L.
è proprio quello "sperare" che mi rende dubbioso...
"funny hill":
è proprio quello "sperare" che mi rende dubbioso...
I dubbi fai bene ad averli, ma non lasciarti paralizzare!
Dirac faceva un uso della matematica spregiudicatissimo: la sua definizione della funzione $\delta$ fa venire i brividi, per quanto non è rigorosa. E tuttavia, Dirac era Dirac. E la meccanica quantistica è la meccanica quantistica. La teoria delle distribuzioni ha (semplicemente? finalmente?) reso rigoroso il calcolo con le "funzioni improprie". Ma non mi risulta che le fisica che ha usato quei concetti "impropri" sia stata rivoluzionata dalla loro rigorizzazione.
Ciao,
L.
Lorenzo,
ok per Dirac, ma non per il mio collega di Facoltà.
Voglio dire: ben vengano cento, mille Dirac. Ci vuole coraggio e un po' di faccia tosta per fare progressi. Senza questo non solo non avremmo avuto le (tue care) distribuzioni, ma neanche la fisica di Galileo e di Newton, la teoria dell'evoluzione di Darwin, l'inconscio di Freud, Pavlov, etc.
Ma un conto è Leibniz che usa gli infinitesimi alla fine del Seicento, ben altro è il mio succitato collega. Il quale molte volte ha semplicemente imparato una macchinetta (per tradizione orale, per osmosi, per imitazione) che sa che funziona. E non si cura delle contraddizioni interne che la macchinetta contiene.
Per me continua a valere quanto dico nella chiosa finale del mio commento a Bonicatto e Lussardi:
http://www.diptem.unige.it/patrone/urang-utang_bis.pdf
La riporto qui, non per la prima volta:
Chiosa finale. La mia indignazione nei confronti del metodo urang-utang© non è dovuta al fatto che venga
proposta una strada risolutiva traballante (a voler essere molto buoni!!). Ma è il fatto che questa strada,
infarcita di erroracci da fare accapponare la pelle, venga sbattuta in faccia al lettore, al discente, come se fosse
corretta! Questo porta a corrompere un sano spirito critico, scientifico. E, come tale, l’ho denunciata e va
denunciata.
Insomma, almeno uno avesse la decenza di mettere sull'avviso gli studenti. Mi domando perché molti non lo fanno. Basterebbe che per una volta gli facessero vedere che quella non è altro che una scorciatoia di quanto si può fare senza evocare infinitesimi (vedasi ad esempio quello che faccio qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
o il paragrafo 3.2, intitolato "Trattiamoli con discre(tizza)zione", negli appunti su variabili separabili e l'inseparabile scimmietta:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf )
Spero di avere risposto anche a funny hill, almeno in parte.
ok per Dirac, ma non per il mio collega di Facoltà.
Voglio dire: ben vengano cento, mille Dirac. Ci vuole coraggio e un po' di faccia tosta per fare progressi. Senza questo non solo non avremmo avuto le (tue care) distribuzioni, ma neanche la fisica di Galileo e di Newton, la teoria dell'evoluzione di Darwin, l'inconscio di Freud, Pavlov, etc.
Ma un conto è Leibniz che usa gli infinitesimi alla fine del Seicento, ben altro è il mio succitato collega. Il quale molte volte ha semplicemente imparato una macchinetta (per tradizione orale, per osmosi, per imitazione) che sa che funziona. E non si cura delle contraddizioni interne che la macchinetta contiene.
Per me continua a valere quanto dico nella chiosa finale del mio commento a Bonicatto e Lussardi:
http://www.diptem.unige.it/patrone/urang-utang_bis.pdf
La riporto qui, non per la prima volta:
Chiosa finale. La mia indignazione nei confronti del metodo urang-utang© non è dovuta al fatto che venga
proposta una strada risolutiva traballante (a voler essere molto buoni!!). Ma è il fatto che questa strada,
infarcita di erroracci da fare accapponare la pelle, venga sbattuta in faccia al lettore, al discente, come se fosse
corretta! Questo porta a corrompere un sano spirito critico, scientifico. E, come tale, l’ho denunciata e va
denunciata.
Insomma, almeno uno avesse la decenza di mettere sull'avviso gli studenti. Mi domando perché molti non lo fanno. Basterebbe che per una volta gli facessero vedere che quella non è altro che una scorciatoia di quanto si può fare senza evocare infinitesimi (vedasi ad esempio quello che faccio qui:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... _intro.pdf
o il paragrafo 3.2, intitolato "Trattiamoli con discre(tizza)zione", negli appunti su variabili separabili e l'inseparabile scimmietta:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf )
Spero di avere risposto anche a funny hill, almeno in parte.
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