Circuitazione di un campo vettoriale

[ghezzi68v]

L'esercizio è il seguente :

Calcolare la circuitazione del campo $\vecV : RR^3 -> RR^3$ definito da $\vecV(x,y,z)=(xy,z,x)$

lungo la frontiera del triangolo di vertici $A=(0,0,0)$ , $B=(1,1,0)$ , $C=(1,0,0)$ orientata nel verso $ABC$


- Per il teorema di Stokes la circuitazione di un $\vecV = ( v_1, v_2 , v_3 )$ lungo $+del\Sigma$ è pari a

$int_(+del\Sigma) ( v_1 dx + v_2 dy + v_3 dz ) = int_(del\Sigma) < \vecV , (t^+) > ds = int int_\Sigma < \text{rot}vecV , (n^+) > ds$

con corrispondenti $(t^+)$ versore tangente e $(n^+)$ versore normale uscente.

In questo caso, poichè l'orientazione richiesta è oraria, quindi $-delT$, la circuitazione è

$int_(delT) < \vecV , (t^-) > ds = int int_T < \text{rot}vecV , (n^-) > ds$

e poichè il triangolo $ABC$ giace sul piano $Oxy$, il versore normale da scegliere è $(n^-) = ( 0 , 0 , -1 )$ ,

$\text{rot}vecV = ( -1 , -1 , -x )$

Il prodotto scalare è $< \text{rot}vecV , (n^-) >$ $= x$ , quindi

$int int_T < \text{rot}vecV , (n^-) > ds = int_0^1 int_0^-x x dxdy = int_0^1 x int_0^-x dydx$

ossia $int_0^1 -x^2 dx = -[\frac{x^3}{3}]_0^1=\-frac{1}{3}$

E' svolto bene o ci sono errori ? Vi ringrazio per l'aiuto

[Quinzio]

L'ultimo integrale ha qualcosa da aggiustare. Se integri una quantità positiva non può venire un risultato negativo.

[ghezzi68v]

E' vero.

$int int_T < \text{rot}vecV , (n^-) > ds = int_0^1 int_0^(1-x) x dxdy = int_0^1 x int_0^(1-x) dydx$

quindi $int_0^1 x(1-x) dx = int_0^1 x-x^2 dx= [\frac{x^2}{2} -\frac{x^3}{3}]_0^1=\frac{1}{6}$

Grazie