Chiusura di un insieme
Sia $ A $ \(\subset \mathbb {R} \) un insieme. Presa come definizione di chiusura di un insieme \(\overline{A}\) $ = A \cup DA $, dove $ DA $ indica il derivato di $A$ (ossia l'insieme dei suoi punti di accumulazione), dimostrare che \(\overline {A}\) $ = A \cup \delta A $, dove $\delta A$ indica la frontiera di $A$.
Io ho risolto nel modo seguente, ditemi se ho fatto qualche errore..vi ringrazio in anticipo e mi scuso per eventuali sciocchezze.
Dimostro in primo luogo che \(\overline {A} = A \cup DA \subseteq A \cup \delta A\).
Sia \(x \in \overline{A} \); per definizione, \(x \in A \vee x \in DA \). Se \(x \in A \) non c'è niente da dimostrare perchè \(A \subset A \cup \delta A\). Se $ x \in DA $, per definizione in ogni intorno di $x$ cadono infiniti punti di $A$ quindi si possono considerare due possibilità: \(\exists\) un intorno di $x$ in cui cadono solo punti di $A$ oppure un tale intorno non esiste. Se esiste, si ha che \(x \in \dot{A} \), la parte interna di $A$, e \(\dot{A} \subset A \) e si torna al caso precedente. Nel secondo caso esisterà un intorno di $x$ in cui cadono punti di $A$ e del complementare di $A$, cioè \(x \in \delta A \Rightarrow \overline {A} \subseteq A \cup \delta A \).
Dimostro ora l'inclusione opposta: se \(x \in A \cup \delta A \), allora \(x \in A \vee x \in \delta A \). Se $x$ \(\in A \subset A \cup \delta A=\overline{A} \) chiaramente \(x \in \overline{A}\). Sia allora \(x \in \delta A\); per definizione, in ogni intorno di $x$ cadono sia punti di $A$ sia punti del complementare di $A$. Considero allora un intorno di $x$, $I_r = (x-r, x+r) $ ($r > 0$), e osservo che, poichè \(x \in \delta A\), \( \forall \epsilon : 0< \epsilon < 1\), trovo un punto di $A$ ed un punto del complementare di $A$ in ogni intorno di $x$ del tipo $I_(r,\epsilon)=(x - \epsilonr, x + \epsilonr)$; dunque, in tale successione di intorni trovo infiniti punti di $A$. Ma $I_r$ contiene per costruzione tutti questi intorni e di conseguenza contiene infiniti punti di $A$. Ripetendo lo stesso procedimento per ogni intorno di $x$ ottengo che in ciascuno di essi cadono infiniti punti di $A$, cioè \(x \in DA \Rightarrow A\cup \delta A \subseteq A \cup DA \).
Io ho risolto nel modo seguente, ditemi se ho fatto qualche errore..vi ringrazio in anticipo e mi scuso per eventuali sciocchezze.
Dimostro in primo luogo che \(\overline {A} = A \cup DA \subseteq A \cup \delta A\).
Sia \(x \in \overline{A} \); per definizione, \(x \in A \vee x \in DA \). Se \(x \in A \) non c'è niente da dimostrare perchè \(A \subset A \cup \delta A\). Se $ x \in DA $, per definizione in ogni intorno di $x$ cadono infiniti punti di $A$ quindi si possono considerare due possibilità: \(\exists\) un intorno di $x$ in cui cadono solo punti di $A$ oppure un tale intorno non esiste. Se esiste, si ha che \(x \in \dot{A} \), la parte interna di $A$, e \(\dot{A} \subset A \) e si torna al caso precedente. Nel secondo caso esisterà un intorno di $x$ in cui cadono punti di $A$ e del complementare di $A$, cioè \(x \in \delta A \Rightarrow \overline {A} \subseteq A \cup \delta A \).
Dimostro ora l'inclusione opposta: se \(x \in A \cup \delta A \), allora \(x \in A \vee x \in \delta A \). Se $x$ \(\in A \subset A \cup \delta A=\overline{A} \) chiaramente \(x \in \overline{A}\). Sia allora \(x \in \delta A\); per definizione, in ogni intorno di $x$ cadono sia punti di $A$ sia punti del complementare di $A$. Considero allora un intorno di $x$, $I_r = (x-r, x+r) $ ($r > 0$), e osservo che, poichè \(x \in \delta A\), \( \forall \epsilon : 0< \epsilon < 1\), trovo un punto di $A$ ed un punto del complementare di $A$ in ogni intorno di $x$ del tipo $I_(r,\epsilon)=(x - \epsilonr, x + \epsilonr)$; dunque, in tale successione di intorni trovo infiniti punti di $A$. Ma $I_r$ contiene per costruzione tutti questi intorni e di conseguenza contiene infiniti punti di $A$. Ripetendo lo stesso procedimento per ogni intorno di $x$ ottengo che in ciascuno di essi cadono infiniti punti di $A$, cioè \(x \in DA \Rightarrow A\cup \delta A \subseteq A \cup DA \).
Risposte
suona corretta.
Correggi la notazione: nella prima riga della dimostrazione della prima inclusione NON hai $\delta$, ma $D$.
Correggi la notazione: nella prima riga della dimostrazione della prima inclusione NON hai $\delta$, ma $D$.
Hai ragione, è stata una svista! Grazie per la risposta!