Chiarimento sugli integrali doppi, coordinate ellittiche
Buonasera a tutti.
Ho un problema con un esercizio, non riesco a capire cos'è che stia sbagliando e dove:
Si calcoli il baricentro del seguente insieme: $ {(x,y)|y>=0,1<=x^2+4y^2<=4} $
E' richiesto il calcolo del baricentro.
Intanto, per la simmetria del sistema (densità costante), la coordinata x del baricentro (posto il sistema di riferimento nel centro della mezza corona ellittica) è 0.
Per calcolare la coordinata y:
$ 1/{misura(D)}int int_(D) y dx dy $ dove la misura è pari a 3 $ pi $ / 4.
Sono passato alle coordinate ellittiche:
$ { ( x=r\cdot a \cdot cos(t) ),( y=r\cdot b \cdot cos(t) ):} $
Dove a e b sono i semiassi dell'ellisse e il determinante dello Jacobiano per il cambio di variabili è: $ det(J)=abr $.
Ciò che non capisco e che spesso mi confonde è questo: come scelgo r? tra quali valori (integrando intendo) lo devo far variare?
Ho fatto l'integrale direttamente su tutta la corona ellittica; Il risultato numerico mi torna (7/6). Poi però ho provato a svolgerlo come differenza tra l'ellisse più grande e quella più piccola e mi viene un risultato differente.
Quando si parla di circonferenze è immediato scegliere l'intervallo di appartenenza di r, ma su un'ellisse, non essendo un raggio, come devo fare?
Facendolo per differenza ho svolto questi due integrali:
$ int int_(Ellisse +) y dx dy= int_0^\pi \int_0^1 rsin(t)\cdot(2\cdot1\cdotr) drdt $
$ int int_(Ellisse -) y dx dy= int_0^\pi \int_0^{1/2} 1/2rsin(t)\cdot(1\cdot1/2\cdotr)drdt $
Ho indicato con ellisse + ed ellisse -, rispettivamente, la più grande e la più piccola
Grazie a tutti per l'aiuto e per il tempo che spero mi dedicherete.
Ho un problema con un esercizio, non riesco a capire cos'è che stia sbagliando e dove:
Si calcoli il baricentro del seguente insieme: $ {(x,y)|y>=0,1<=x^2+4y^2<=4} $
E' richiesto il calcolo del baricentro.
Intanto, per la simmetria del sistema (densità costante), la coordinata x del baricentro (posto il sistema di riferimento nel centro della mezza corona ellittica) è 0.
Per calcolare la coordinata y:
$ 1/{misura(D)}int int_(D) y dx dy $ dove la misura è pari a 3 $ pi $ / 4.
Sono passato alle coordinate ellittiche:
$ { ( x=r\cdot a \cdot cos(t) ),( y=r\cdot b \cdot cos(t) ):} $
Dove a e b sono i semiassi dell'ellisse e il determinante dello Jacobiano per il cambio di variabili è: $ det(J)=abr $.
Ciò che non capisco e che spesso mi confonde è questo: come scelgo r? tra quali valori (integrando intendo) lo devo far variare?
Ho fatto l'integrale direttamente su tutta la corona ellittica; Il risultato numerico mi torna (7/6). Poi però ho provato a svolgerlo come differenza tra l'ellisse più grande e quella più piccola e mi viene un risultato differente.
Quando si parla di circonferenze è immediato scegliere l'intervallo di appartenenza di r, ma su un'ellisse, non essendo un raggio, come devo fare?
Facendolo per differenza ho svolto questi due integrali:
$ int int_(Ellisse +) y dx dy= int_0^\pi \int_0^1 rsin(t)\cdot(2\cdot1\cdotr) drdt $
$ int int_(Ellisse -) y dx dy= int_0^\pi \int_0^{1/2} 1/2rsin(t)\cdot(1\cdot1/2\cdotr)drdt $
Ho indicato con ellisse + ed ellisse -, rispettivamente, la più grande e la più piccola
Grazie a tutti per l'aiuto e per il tempo che spero mi dedicherete.
Risposte
A me viene anche con la differenza.
\[A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, 1 \le x^2+4y^2 \le 4\}\]
\[B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1\}\]
\[C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, x^2+4y^2 \le 1\}\]
Dobbiamo calcolare $\int\int_{A} y dxdy=\int\int_B ydxdy-\int\int_C y dxdy$
Per intendersi secondo la tua notazione $B=ellisse_+$ e $C=ellisse_-$.
Dunque facciamo per l'insieme $B$ il seguente cambio di coordinate ellittiche:
\[(x,y)=(2\rho\cos\theta,\rho\sin\theta) \Longrightarrow B=\{(\rho,\theta) | 0 \le \theta \le \pi, 0 \le \rho \le 1\}, dxdy=2\rho d\rho d\theta\]
mentre per l'insieme $C$ il seguente cambio:
\[(x,y)=(\rho\cos\theta,\frac{1}{2}\rho\sin\theta) \Longrightarrow C=\{(\rho,\theta) | 0 \le \theta \le \pi, 0 \le \rho \le 1\}, dxdy=\frac{1}{2}\rho d\rho d\theta\]
Infine quindi:
\[\int\int_B y dxdy=\int_0^{\pi} \int_0^1 \rho\sin\theta 2\rho d\rho d\theta=\frac{4}{3},\\
\\
\int\int_C y dxdy=\int_0^{\pi} \int_0^1 \frac{1}{2}\rho\sin\theta \frac{1}{2}\rho d\rho d\theta=\frac{1}{6}\]
Quindi $\int\int_A y dxdy=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$
Per rispondere nello specifico al tuo dubbio: la $\rho$ varia in base alla condizione imposta alle variabili $x,y$ iniziali, tu non devi fare altro che fare dei calcoletti meccanici:
\[(x,y)=(2\rho\cos\theta,\rho\sin\theta), \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \Longrightarrow \frac{(2\rho\cos\theta)^2}{4}+(\rho\sin\theta)^2 \le 1 \Longrightarrow 0 \le \rho \le 1\]
\[A=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, 1 \le x^2+4y^2 \le 4\}\]
\[B=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1\}\]
\[C=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0, x^2+4y^2 \le 1\}\]
Dobbiamo calcolare $\int\int_{A} y dxdy=\int\int_B ydxdy-\int\int_C y dxdy$
Per intendersi secondo la tua notazione $B=ellisse_+$ e $C=ellisse_-$.
Dunque facciamo per l'insieme $B$ il seguente cambio di coordinate ellittiche:
\[(x,y)=(2\rho\cos\theta,\rho\sin\theta) \Longrightarrow B=\{(\rho,\theta) | 0 \le \theta \le \pi, 0 \le \rho \le 1\}, dxdy=2\rho d\rho d\theta\]
mentre per l'insieme $C$ il seguente cambio:
\[(x,y)=(\rho\cos\theta,\frac{1}{2}\rho\sin\theta) \Longrightarrow C=\{(\rho,\theta) | 0 \le \theta \le \pi, 0 \le \rho \le 1\}, dxdy=\frac{1}{2}\rho d\rho d\theta\]
Infine quindi:
\[\int\int_B y dxdy=\int_0^{\pi} \int_0^1 \rho\sin\theta 2\rho d\rho d\theta=\frac{4}{3},\\
\\
\int\int_C y dxdy=\int_0^{\pi} \int_0^1 \frac{1}{2}\rho\sin\theta \frac{1}{2}\rho d\rho d\theta=\frac{1}{6}\]
Quindi $\int\int_A y dxdy=\frac{4}{3}-\frac{1}{6}=\frac{7}{6}$
Per rispondere nello specifico al tuo dubbio: la $\rho$ varia in base alla condizione imposta alle variabili $x,y$ iniziali, tu non devi fare altro che fare dei calcoletti meccanici:
\[(x,y)=(2\rho\cos\theta,\rho\sin\theta), \frac{x^2}{4}+y^2 \le 1 \Longrightarrow \frac{(2\rho\cos\theta)^2}{4}+(\rho\sin\theta)^2 \le 1 \Longrightarrow 0 \le \rho \le 1\]
"bernardo1504":
$\int \int_{Ellisse -} y dx dy= \int_0^{\pi} \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2}r \sin(t)\cdot(1\cdot \frac{1}{2}\cdot r)drdt$
Occhio che $r$ varia tra $0$ e $1$!
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