Chiarimento su un limite notevole
Sto studiando i limiti però non riesco a capire questo passaggio:
il limite è: $\lim_{x \to \0} (1-cosx)/sinx =0/0 f.i.
$\lim_{x \to \0} (1-cosx) * (1/sinx)
$\lim_{x \to \0} (((x^2)*(1-cosx))/(x^2)) * 1/sinx $dai limiti notevoli sappiamo che$ (1-cosx)/(x^2) $tende a$ 1/2
$1/2 * \lim_{x \to \0} x^2 * 1/sinx
ora non so più andare avanti. Vi chiedo di farmi capire come si arriva alla risoluzione di questo limite!
GRAZIE
il limite è: $\lim_{x \to \0} (1-cosx)/sinx =0/0 f.i.
$\lim_{x \to \0} (1-cosx) * (1/sinx)
$\lim_{x \to \0} (((x^2)*(1-cosx))/(x^2)) * 1/sinx $dai limiti notevoli sappiamo che$ (1-cosx)/(x^2) $tende a$ 1/2
$1/2 * \lim_{x \to \0} x^2 * 1/sinx
ora non so più andare avanti. Vi chiedo di farmi capire come si arriva alla risoluzione di questo limite!
GRAZIE
Risposte
"attila0906":
$ \lim_{x \to 0} x^2 * 1/sinx$
ora non so più andare avanti. Vi chiedo di farmi capire come si arriva alla risoluzione di questo limite!
Beh:
[tex]$\lim_{x \to 0} x^2 \cdot \frac{1}{\sin x} =\lim_{x \to 0} x \cdot \frac{x}{\sin x}$[/tex]
ed usa il limite fondamentale del seno e la regola per il limite del prodotto... Più semplice di così.
Ciao, mi intrometto nel topic per fare una domanda che sarà una stupidaggine ma non mi torna del tutto: è lecito moltiplicare e dividere per la variabile, come ha fatto attila nel secondo passaggio?
"multim":
Ciao, mi intrometto nel topic per fare una domanda che sarà una stupidaggine ma non mi torna del tutto: è lecito moltiplicare e dividere per la variabile, come ha fatto attila nel secondo passaggio?
Certo... Te lo consente il segno di limite. Infatti, grazie alla nozione di limite, vai a considerare la funzione in un intorno bucato del punto $0$ e non ti interessa come si comporta la funzione in quel punto; quindi puoi stare tranquillo che dividi e moltiplichi per un qualcosa che è diverso da $0$.
"Seneca":
Certo... Te lo consente il segno di limite. Infatti, grazie alla nozione di limite, vai a considerare la funzione in un intorno bucato del punto $0$ e non ti interessa come si comporta la funzione in quel punto; quindi puoi stare tranquillo che dividi e moltiplichi per un qualcosa che è diverso da $0$.
Giusto, non ci avevo pensato! Mentre nel caso in cui $lim_{x \to c} f(x)$ con $ c != 0 $ si sarebbe dovuto esaminare il dominio della funzione?
"multim":
[quote="Seneca"]
Certo... Te lo consente il segno di limite. Infatti, grazie alla nozione di limite, vai a considerare la funzione in un intorno bucato del punto $0$ e non ti interessa come si comporta la funzione in quel punto; quindi puoi stare tranquillo che dividi e moltiplichi per un qualcosa che è diverso da $0$.
Giusto, non ci avevo pensato! Mentre nel caso in cui $lim_{x \to c} f(x)$ con $ c != 0 $ si sarebbe dovuto esaminare il dominio della funzione?[/quote]
Potresti proporre un esempio, eheh.
Quello che mi viene in mente può essere $ \lim_{x -> +infty} (2x)/(x - 1) $ dove il dominio di $f(x)$ è $ RR $ \ $ {1} $.
In questo caso per la risoluzione farei
$ \lim_{x -> +infty} (2x)/(x - 1) = $
$ \lim_{x -> +infty} ((2x)/x)/((x - 1)/x) =$
$\lim_{x -> +infty} 2 / (1 - 1/x) = 2$
E per farlo ho moltiplicato e diviso per $x$. E' possibile farlo, anche se $x$ può avere valore $0$ per il dominio?
In questo caso per la risoluzione farei
$ \lim_{x -> +infty} (2x)/(x - 1) = $
$ \lim_{x -> +infty} ((2x)/x)/((x - 1)/x) =$
$\lim_{x -> +infty} 2 / (1 - 1/x) = 2$
E per farlo ho moltiplicato e diviso per $x$. E' possibile farlo, anche se $x$ può avere valore $0$ per il dominio?
$\lim_{x \to \0} (1-cosx)/sinx =0/0 f.i
$\lim_{x \to \0} (1-cosx) * (1/sinx)
$\lim_{x \to \0} (((x^2)*(1-cosx))/(x^2)) * 1/sinx $dai limiti notevoli sappiamo che$ (1-cosx)/(x^2) $tende a$ 1/2
$1/2 * \lim_{x \to \0} x^2 * 1/sinx
$1/2 * \lim_{x \to \0} x*x*(1/sinx)
$1/2 * \lim_{x \to \0} x*(x/sinx) $dai limiti notevoli si ha:$ (x/sinx) $=1$
$1/2*0*1=0$
Quindi il risultato del limite è $0$.
E' corretto quanto scritto?
GRAZIE
$\lim_{x \to \0} (1-cosx) * (1/sinx)
$\lim_{x \to \0} (((x^2)*(1-cosx))/(x^2)) * 1/sinx $dai limiti notevoli sappiamo che$ (1-cosx)/(x^2) $tende a$ 1/2
$1/2 * \lim_{x \to \0} x^2 * 1/sinx
$1/2 * \lim_{x \to \0} x*x*(1/sinx)
$1/2 * \lim_{x \to \0} x*(x/sinx) $dai limiti notevoli si ha:$ (x/sinx) $=1$
$1/2*0*1=0$
Quindi il risultato del limite è $0$.
E' corretto quanto scritto?
GRAZIE
"multim":
Quello che mi viene in mente può essere $ \lim_{x -> +infty} (2x)/(x - 1) $ dove il dominio di $f(x)$ è $ RR $ \ $ {1} $.
In questo caso per la risoluzione farei
$ \lim_{x -> +infty} (2x)/(x - 1) = $
$ \lim_{x -> +infty} ((2x)/x)/((x - 1)/x) =$
$\lim_{x -> +infty} 2 / (1 - 1/x) = 2$
E per farlo ho moltiplicato e diviso per $x$. E' possibile farlo, anche se $x$ può avere valore $0$ per il dominio?
Puoi farlo perché vai a calcolare il limite della funzione in un intorno di $+oo$, cioè vai a vedere come si comporta la funzione per grandi valori di $x$.
Ok, tutto chiaro. Grazie mille seneca!
attila0906, il tuo procedimento a quanto mi risulta è corretto.
attila0906, il tuo procedimento a quanto mi risulta è corretto.
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