Chiarimento su estremi di integrazione

[marcop13]

Supposto che abbia queste due variabili

$ 1<= x <= 0 $
$ 3 <= y <= 2 $

$ f(x,y) = 1 $

E devo integrare nell'intervallo A

$ A = y^2 <= x $

Io ho ragionato cosi:
- Ho riscritto l'intervallo in questo modo: $ 3 <= y^2 <= 2 <= 1 <= x <= 0 $ e quindi l'intervallo di integrazione
$ int_(0)^(1) int_(2)^(3) \ dy \ dx $

Però secondo me sbaglio qualcosa nel ragionamento, qual è il giusto ragionamento da fare in questi casi?

[lordb]

Ciao guarda non capisco proprio quale sia il dominio:

$X={(x,y)inRR^2|0<=x<=1,2<=y<=3}$

Questo è un quadrato.

Che cosa te ne fai di $A$ dal momento che $AnnX={}$

[marcop13]

Ok, lascia stare i numeri in sè perchè li ho inventati.

Se avessi solo questo, come sarebbero gli estremi di integrazione per l'integrale doppio?

$ 1<= x <= 0 $
$ 3 <= y <= 2 $

$ f(x,y) = 1 $

E devo integrare nell'intervallo A

$ A = {y^2 <= x} $

[lordb]

Ciao, forse non hai capito bene come funziona, se tu poni come dominio:

$D={XnnA}={}$ (ottieni l'insieme vuoto, vd. grafico sotto)



http://www.wolframalpha.com/input/?i={0%3C%3Dx%3C%3D1%2C2%3C%3Dy%3C%3D3%2Cy^2%3C%3Dx}

Se invece il tuo $D$ fosse stato:

$D={(x,y)inRR^2|0<=x<=1,y^2<=x}$



http://www.wolframalpha.com/input/?i={0%3C%3Dx%3C%3D1%2Cy^2%3C%3Dx}

$D$ sarebbe stato lo spicchio di parabola dato dall'intersezione che vedi.

[marcop13]

Ok, quei numeri li ho inventati. Avrei bisogno della regola generale più che altro.
Ho lo stesso problema anche in altri esercizi

$ f(x,y) = x + y $

$ D = { X + Y > 1, Y
Lasciando stare il significato delle variabili in sè, come scrivo l'integrale doppio della funzione in quell'intervallo D?
Io ho disegnato il dominio nel sistema cartesiano



Il punto di intersezione è (1/2, 1/2).

L'intervallo su cui integrare $ dx $ lo farei $ [1/2 , +oo) $, ma $ y $ ? Come devo ragionare?

[lordb]

Allora le rette che delimitano il dominio sono:

$y=-x+1$ e $y=x$

Si intersecano nel punto $(1/2,1/2)$.

Ricordiamo la formula per la proiezione del dominio sull'asse $x$ per integrali doppi:

$int_D f(x,y)dxdy=int_(p_1(D))(int_(D(x))f(x,y)dy)dx$

Proiettando il dominio sull'ascisse otteniamo: $p_1(D)= [1/2,+oo)$.

Ora fissiamo un punto $bar x in p_1(D)$ e calcoliamo dove varia $y$ per $x$ fissato.

Bhè semplice, basta calcolare le intersezioni!!

${(y=-x+1),(y=x),(x=bar x):}=>{(y=-barx+1),(y=bar x),(x=bar x):} => D(x)=[-x+1,x]$

Dunque hai che:

$int_D (x+y)dxdy=lim_(t->+oo) int_(1/2)^t(int_(-x+1)^x(x+y)dy)dx$