Chiarimento su equazioni dif.li lineari del primo ordine
Ciao, ho dei dubbi su alcuni aspetti teorici, circa la risoluzione di equazioni differenziali lineari del 1° ordine.
Sia $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$ dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue e sia $A(x)$ una primitiva di $a(x)$. E' noto che $y(x)=e^{A(x)}(k+inte^{-A(x)}b(x)dx)$, con la costante $k$ determinata per mezzo della condizione iniziale, per esempio $y(0)$.
E' noto inoltre che l'insieme delle soluzioni della sopra scritta equazione differenziale può essere ottenuto come la somma tra la soluzione della equazione differenziale omogenea associata e una soluzione particolare $y^{star}(x)$ della equazione differenziale non omogenea, cioè $y(x)=ke^{A(x)}+y^{star}(x)$.
Ricordo di aver studiato il caso in cui $a(x)=a$, associato a $b(x)=b$, $b(x)=P_{1}(x)$ (polinomio di 1° grado), $b(x)=be^{cx}$ e $b(x)=be^{ax}$. In ognuno di questi casi la soluzione particolare si ricercava fra le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea, dello stesso tipo del termine noto $b(x)$.
Ho due domande:
1) se $a(x)$ è non costante, la soluzione particolare per i casi sopra descritti si ottiene nello stesso modo, cioè ricercando una soluzione particolare dello stesso tipo di $b(x)$?
2) sia $a(x)$ una generica funzione a noi nota e sia $b(x)={P_n(x)}/{P_m(x)}$ (rapporto tra due polinomi di grado n e m, rispettivamente). La soluzione particolare deve essere ricercata fra le frazioni che hanno al numeratore e denominatore polinomi di grado $n$ ed $m$ rispettivamente? E se, per esempio, $b(x)=x^{1/2}/{(1-x)^{1/3}}$?.
Grazie per l'attenzione.
Sia $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$ dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue e sia $A(x)$ una primitiva di $a(x)$. E' noto che $y(x)=e^{A(x)}(k+inte^{-A(x)}b(x)dx)$, con la costante $k$ determinata per mezzo della condizione iniziale, per esempio $y(0)$.
E' noto inoltre che l'insieme delle soluzioni della sopra scritta equazione differenziale può essere ottenuto come la somma tra la soluzione della equazione differenziale omogenea associata e una soluzione particolare $y^{star}(x)$ della equazione differenziale non omogenea, cioè $y(x)=ke^{A(x)}+y^{star}(x)$.
Ricordo di aver studiato il caso in cui $a(x)=a$, associato a $b(x)=b$, $b(x)=P_{1}(x)$ (polinomio di 1° grado), $b(x)=be^{cx}$ e $b(x)=be^{ax}$. In ognuno di questi casi la soluzione particolare si ricercava fra le soluzioni dell'equazione differenziale non omogenea, dello stesso tipo del termine noto $b(x)$.
Ho due domande:
1) se $a(x)$ è non costante, la soluzione particolare per i casi sopra descritti si ottiene nello stesso modo, cioè ricercando una soluzione particolare dello stesso tipo di $b(x)$?
2) sia $a(x)$ una generica funzione a noi nota e sia $b(x)={P_n(x)}/{P_m(x)}$ (rapporto tra due polinomi di grado n e m, rispettivamente). La soluzione particolare deve essere ricercata fra le frazioni che hanno al numeratore e denominatore polinomi di grado $n$ ed $m$ rispettivamente? E se, per esempio, $b(x)=x^{1/2}/{(1-x)^{1/3}}$?.
Grazie per l'attenzione.
Risposte
ciao frapippo credo di saper rispondo solo ad una delle domande e cioè la prima:
$a(x)$ e $b(x)$ sono rispettivamente chiamati "coefficiente" e "termine noto" dell'eq. differenziale. Se $a(x)$ non è costante allora esiste un metodo per ricercare le solunzioni particolari di un equazione differenziale e si chiama "metodo di variazione delle costanti". Per la seconda domanda non posso aiutarti perchè mi ritrovo nella tua stessa condizione!
$a(x)$ e $b(x)$ sono rispettivamente chiamati "coefficiente" e "termine noto" dell'eq. differenziale. Se $a(x)$ non è costante allora esiste un metodo per ricercare le solunzioni particolari di un equazione differenziale e si chiama "metodo di variazione delle costanti". Per la seconda domanda non posso aiutarti perchè mi ritrovo nella tua stessa condizione!
Grazie mille Paolotesla91.
"paolotesla91":
Se $a(x)$ non è costante allora esiste un metodo per ricercare le solunzioni particolari di un equazione differenziale e si chiama "metodo di variazione delle costanti".
NO. Quello è un'altra cosa. Serve a trovare un integrale particolare dell'equazione non omogenea (\(b\ne 0\)) una volta noto l'integrale generale dell'equazione omogenea.
Ma esiste un metodo risolutivo "standard" per i casi 1 e 2?
"frapippo":
1) se $a(x)$ è non costante, la soluzione particolare per i casi sopra descritti si ottiene nello stesso modo, cioè ricercando una soluzione particolare dello stesso tipo di $b(x)$?
2) sia $a(x)$ una generica funzione a noi nota e sia $b(x)={P_n(x)}/{P_m(x)}$ (rapporto tra due polinomi di grado n e m, rispettivamente). La soluzione particolare deve essere ricercata fra le frazioni che hanno al numeratore e denominatore polinomi di grado $n$ ed $m$ rispettivamente? E se, per esempio, $b(x)=x^{1/2}/{(1-x)^{1/3}}$?.
Ma si, per l'equazione lineare del primo ordine non c'è neanche bisogno di fare tanta filosofia, si risolve direttamente con due conti, che trovi su tutti i libri. Tuttalpiù butta un occhio qui:
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx
Grazie per il link. Dagli esempi illustrati dovrei essere arrivato alla conclusione che bisogna seguire il procedimento generale:
A tal punto però risorge spontaneo il dubbio su cui riflettevo e per il quale ho fatto questo post: come procedo se non sono in grado di determinare una soluzione particolare del tipo $inte^{-A(x)}b(x)dx$?
"frapippo":
Sia $y'(x)=a(x)y(x)+b(x)$ dove $a(x)$ e $b(x)$ sono funzioni continue e sia $A(x)$ una primitiva di $a(x)$. E' noto che $y(x)=e^{A(x)}(k+inte^{-A(x)}b(x)dx)$, con la costante $k$ determinata per mezzo della condizione iniziale, per esempio $y(0)$.
A tal punto però risorge spontaneo il dubbio su cui riflettevo e per il quale ho fatto questo post: come procedo se non sono in grado di determinare una soluzione particolare del tipo $inte^{-A(x)}b(x)dx$?
Che cosa significa quest'ultima domanda? Vuoi sapere che devi fare se non sai calcolare quell'integrale? Niente. LA soluzione è quella ed è unica. Se non la sai esplicitare maggiormente te la devi bere così.
"dissonance":
Che cosa significa quest'ultima domanda? Vuoi sapere che devi fare se non sai calcolare quell'integrale? Niente. LA soluzione è quella ed è unica. Se non la sai esplicitare maggiormente te la devi bere così.
Ok chiarissimo. Grazie mille per le risposte.
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