Chiarimento in dettaglio su argomento ostico
Salve a tutti! L'argomento leggermente ostico è il seguente: calcolo di massimi e minimi relativi e assoluti di una funzione.
Vengo al punto. Io ho una funzione. Ne effettuo lo studio. Mi calcolo la derivata prima. Poi, grazie al teorema di Fermat, mi calcolo i punti stazionari, escludendo, eventualmente, quei punti non accettabili e mi calcolo anche quei punti dove eventualmente la derivata non esiste.
Sostituisco i valori trovati nella funzione e gli estremi del dominio. "Il valore più grande rappresenta il massimo, il più piccolo il minimo". Ma questo per quanto concerne i punti di massimo e minimo assoluto in quelle funzioni definite esclusivamente in intervalli chiusi e limitati ( e questa cosa mi ricorda ovviamente Weierstrass ) ??? E per gli intervalli limitati e aperti che si fa? Poi so che se una funzione non è definita in un intervallo chiuso e limitato, anzichè sostituire gli estremi del dominio, ne calcolo i limiti corrispondenti ( tipo a +oo e -oo ). Ma in questo caso, in base a cosa stabilisco l'esistenza eventuale di massimi e minimi della funzione? Suppongo, debba uscire finito il valore del limite e appartenente al dominio... Giusto? Grazie in anticipo.
Vengo al punto. Io ho una funzione. Ne effettuo lo studio. Mi calcolo la derivata prima. Poi, grazie al teorema di Fermat, mi calcolo i punti stazionari, escludendo, eventualmente, quei punti non accettabili e mi calcolo anche quei punti dove eventualmente la derivata non esiste.
Sostituisco i valori trovati nella funzione e gli estremi del dominio. "Il valore più grande rappresenta il massimo, il più piccolo il minimo". Ma questo per quanto concerne i punti di massimo e minimo assoluto in quelle funzioni definite esclusivamente in intervalli chiusi e limitati ( e questa cosa mi ricorda ovviamente Weierstrass ) ??? E per gli intervalli limitati e aperti che si fa? Poi so che se una funzione non è definita in un intervallo chiuso e limitato, anzichè sostituire gli estremi del dominio, ne calcolo i limiti corrispondenti ( tipo a +oo e -oo ). Ma in questo caso, in base a cosa stabilisco l'esistenza eventuale di massimi e minimi della funzione? Suppongo, debba uscire finito il valore del limite e appartenente al dominio... Giusto? Grazie in anticipo.
Risposte
Se hai una funzione derivabile definita su un intervallo chiuso e limitato, non basta osservare per che valore di $x$ in cui si annulla la derivata prima la funzione assuma il valore massimo. Devi controllare anche agli estremi del dominio. L'esempio più semplice che mi viene in mente è la funzione $f(x) = x$ in $[0, 1]$.
Non saprei raccontarti una casistica da utilizzare in questi casi. Ti aiutano molto tutti gli elementi dello studio di funzione che hai trovato.
"bambolettaokkiverdi":
Poi so che se una funzione non è definita in un intervallo chiuso e limitato, anzichè sostituire gli estremi del dominio, ne calcolo i limiti corrispondenti ( tipo a +oo e -oo ). Ma in questo caso, in base a cosa stabilisco l'esistenza eventuale di massimi e minimi della funzione? Suppongo, debba uscire finito il valore del limite e appartenente al dominio... Giusto? Grazie in anticipo.
Non saprei raccontarti una casistica da utilizzare in questi casi. Ti aiutano molto tutti gli elementi dello studio di funzione che hai trovato.
Premetto che so calcolare i massimi e minimi relativi ( o locali ) studiando la derivata prima ponendola >=0 ecc ecc... Ma per gli assoluti? Procedo come ho scritto nel post precedente? Delucidatemi per favore
Cioè ricapitolando, io mi trovo massimi e minimi studiando la derivata prima >=0 ecc ecc. Per gli assoluti come faccio quindi? Calcolando i valori e confrontandoli o facendo i limiti agli estremi del dominio semplicemente?
Per determinare ( ad es. ) il Max assoluto di una funzione devi paragonare tra loro i valori assunti dalla funzione :
* nei punti di Max relativo
* agli estremi del dominio di definizione della funzione
* nei punti in cui la funzione non fosse derivabile
il max assoluto sarà il massimo dei massimi
* nei punti di Max relativo
* agli estremi del dominio di definizione della funzione
* nei punti in cui la funzione non fosse derivabile
il max assoluto sarà il massimo dei massimi
ma questo nel caso di una funzione definita in un intervallo chiuso e limitato. se non ho un intervallo del genere, e sarà aperto, illimitato, ecc ecc insomma, devo fare il limite degli estremi? questo non capisco
Tu devi essere in grando di studiare il grafico di una funzione. Una volta disegnato il grafico, calcolando qualche valore della funzione dovresti vedere facilmente quali sono, se ci sono, il massimo e il minimo assoluti.
Per esempio prova a determinare massimo e minimo di $f(x) = x log(x)$ in $(0, +oo)$.
Per esempio prova a determinare massimo e minimo di $f(x) = x log(x)$ in $(0, +oo)$.
Faccio questo esempio semplice - sia $y = x $ nel dominio $(0,1) $ , quindi estremi esclusi.
Questa funzione definita in un intervallo aperto non assume nè max nè min assoluto, ok ?
Puoi calcolare i limiti della funzione per $x rarr 0 ; x rarr 1 $ ma i valori che ottieni rispettivamente $0, 1 $ NON sono mai assunti dalla funzione.
Altro esempio : $y = x+3 $ il suo dominio è $RR$ , quali sono i max e min assoluti ? non esistono perchè $lim_(x rarr (-oo)) y = -oo$
e ovviamnete $lim_(x rarr +oo ) y = +oo $ , ma $+- oo $ non sono dei numeri che la funzione possa assumere.
Si può invece dire che $ s up f =+oo; i nf f = -oo $.
Questa funzione definita in un intervallo aperto non assume nè max nè min assoluto, ok ?
Puoi calcolare i limiti della funzione per $x rarr 0 ; x rarr 1 $ ma i valori che ottieni rispettivamente $0, 1 $ NON sono mai assunti dalla funzione.
Altro esempio : $y = x+3 $ il suo dominio è $RR$ , quali sono i max e min assoluti ? non esistono perchè $lim_(x rarr (-oo)) y = -oo$
e ovviamnete $lim_(x rarr +oo ) y = +oo $ , ma $+- oo $ non sono dei numeri che la funzione possa assumere.
Si può invece dire che $ s up f =+oo; i nf f = -oo $.
okkkk ci sono! ho trovato una delle risposte alla mia domanda. ossia: se una funzione è definita in un intervallo del tipo (a,b) in pratica il max o il min assoluto non è altro che il valore con ordinata maggiore o minore ovviamente se esiste. quindi nel caso di un intervallo chiuso e limitato, di un intervallo illimitato ( quindi sia inferiormente che superiormente ) e nel caso di un intervallo aperto so come comportarmi. nel caso di un intervallo semiaperto no però... spero di risolvere l'arcano...
"bambolettaokkiverdi":
nel caso di un intervallo semiaperto no però... spero di risolvere l'arcano...
Ma hai letto il mio intervento? Porta un esempio.
Sì ho letto il tuo esempio, ma non ne ho uno adeguato a quello che ho scritto sopra purtroppo. io sono in grado di effettuare uno studio di funzione, ma sto cercando una regola per questa casistica più immediata. capisci? 
ti ringrazio ugualmente e ringrazio tutti coloro mi hanno risposto
ti ringrazio ugualmente e ringrazio tutti coloro mi hanno risposto
Ho risolto l'arcano. Dunque. La regola vuole che per determinare i massimi e i minimi assoluti se siamo in presenza di un intervallo CHIUSO E LIMITATO bisogna calcolare prima i punti di massimo e di minimo relativi che andranno sostituiti nella funzione, così come lo stesso va fatto con gli estremi. Dal confronto dei valori ottenuti, avremo calcolato massimi e minimi assoluti.
Se l'estremo non appartiene al dominio o è infinito, calcolo il limite ( eventualmente destro o sinistro ) della funzione per x->estremo. Se tale limite è +oo non esistono max assoluti, se è -oo non esistono min assoluti a seconda che si tratti di un estremo sup o inf dell'intervallo di definizione. Se riesco a calcolare il valore del limite, procedo sempre confrontando i vari valori alla fine.
Se l'estremo non appartiene al dominio o è infinito, calcolo il limite ( eventualmente destro o sinistro ) della funzione per x->estremo. Se tale limite è +oo non esistono max assoluti, se è -oo non esistono min assoluti a seconda che si tratti di un estremo sup o inf dell'intervallo di definizione. Se riesco a calcolare il valore del limite, procedo sempre confrontando i vari valori alla fine.
"bambolettaokkiverdi":
Se l'estremo non appartiene al dominio o è infinito, calcolo il limite ( eventualmente destro o sinistro ) della funzione per x->estremo. Se tale limite è +oo non esistono max assoluti, se è -oo non esistono min assoluti a seconda che si tratti di un estremo sup o inf dell'intervallo di definizione. Se riesco a calcolare il valore del limite, procedo sempre confrontando i vari valori alla fine.
E se non esiste il limite? Devi vedere caso per caso...
Bella domanda... Ma scusa, se la funzione è definita su un intervallo illimitato credo il limite esista... no?
"bambolettaokkiverdi":
Bella domanda... Ma scusa, se la funzione è definita su un intervallo illimitato credo il limite esista... no?
No. Basta pensare al seno!
Ma nessuno chiederà mai di studiare il seno in R... basterebbe studiare la funzione restringendo il dominio comunque... O pensando al codominio si potrebbero determinare ugualmente i max e i min...
"bambolettaokkiverdi":
Ma nessuno chiederà mai di studiare il seno in R... basterebbe studiare la funzione restringendo il dominio comunque... O pensando al codominio si potrebbero determinare ugualmente i max e i min...
E allora considera $x^2 * sin(x)$... Questa non è periodica eppure $lim_(x -> +oo) f(x) $ non esiste.
E come devo fare allora...
Non ha massimo e minimo assoluti. Infatti puoi considerare i punti del tipo $xi = pi/2 + 2 n pi $ , $n in NN$.
Nei punti di questo tipo la funzione vale $f(xi) = (pi/2 + 2 n pi)^2$ e per $n -> +oo$ questa restrizione della $f$ diverge positivamente.
Inoltre nei punti del tipo $eta = 3/2 pi + 2 n pi$ , $n in NN$ la funzione vale $f(eta) = - 1 * (3pi/2 + 2 n pi)^2$ , la quale restrizione diverge negativamente per $n -> +oo$.
Il massimo limite della funzione è $+oo$ mentre il minimo limite è $-oo$.
Nei punti di questo tipo la funzione vale $f(xi) = (pi/2 + 2 n pi)^2$ e per $n -> +oo$ questa restrizione della $f$ diverge positivamente.
Inoltre nei punti del tipo $eta = 3/2 pi + 2 n pi$ , $n in NN$ la funzione vale $f(eta) = - 1 * (3pi/2 + 2 n pi)^2$ , la quale restrizione diverge negativamente per $n -> +oo$.
Il massimo limite della funzione è $+oo$ mentre il minimo limite è $-oo$.
Mi sento leggermente confusa. Diciamo che non c'è una regola generale... In linea di principio quello che ho letto sul libro che vi ho scritto vale... Però se il limite non esiste devo concludere dicendo che la funzione non ammette massimi e minimi assoluti giusto?
Non lo so, non è detto. Cerca comunque di non rinchiudere questi procedimenti entro certi schemi...
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