Chiarimento Estremi vincolati per funzioni di più variabili.

[Merien1]

Salve a tutti, sono nuova del forum e ci tengo a ringraziarvi anticipatamente perché siete stati la mia salvezza in moltissimi casi!
Veniamo al dunque, sto preparando Analisi 2, e ho un dubbio sul calcolo degli estremi vincolati.
Per quanto riguarda le funzioni di due variabili, non ho problemi, utilizzo i moltiplicatori di Lagrange e calcolo l'Hessiano orlato.
Vorrei sapere se questo iter si può utilizzare anche nello studio di funzioni di 3 variabili.
Mi spiego meglio, in una funzione di 3 variabili, calcolo i punti critici con il solito sistema delle derivate parziali della lagrangiana, e fin qui tutto ok, al momento di studiarli, mi trovo davanti un Hessiano orlato 4x4.. è corretto? Come procedimento è un po' macchinoso, ma mi è sembrato il più semplice!

[Merien1]

Non avendo ricevuto risposta, con un po' più di calma vi propongo un esercizio:
Calcolare gli estremi relativi di
$f(x,y,z) = xyz$ soggetta al vincolo $g(x,y,z) = xy+xz+yz-1$
ho calcolato la lagrangiana:
$L(x,y,z,\lambda) = xyz+\lambda(xy+xz+yz-1)$
le derivate parziali prima della Lagrangiana:
$f'x = yz+\lambday+\lambdaz$
$f'y = xz+\lambdax+\lambdaz$
$f'z = xy+\lambdax+\lambday$
$f'\lambda = xy+xz+yz-1$

dal sistema
$\{(f'x=0), (f'y=0), (f'z=0), (f'\lambda=0):}$
trovo i punti:
$P1 = (1/sqrt3, 1/sqrt3, 1/sqrt3, -1/2sqrt3)$
$P2 = (-1/sqrt3, -1/sqrt3, -1/sqrt3, 1/2sqrt3)$
Adesso non so come proseguire, o meglio, potrei semplicemente sostituire i valori ottenuti nella funzione iniziale, ma in quel caso otterrei gli estremi assoluti, non relativi.. (Ok, in questo caso ho solo 2 punti critici quindi per forza di cose uno sarà max e l'altro min, però in altri casi avendo più punti non sarebbe facile come adesso, o sbaglio?)
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