Chiarimento esercizio integrale doppio..

[21zuclo]

Ciao a tutti, oggi mi sono trovato di fronte questo esercizio. L'ho svolto correttamente ed infatti il risultato mi viene esatto, però guardando bene la soluzione, c'è una cosa che non capisco. Aiutatemi a capire..

$ \int_(A) (x^2)/(\sqrt(x^2+y^2))dxdy $ ove $ A=\{(x,y)^T\in RR^2| (x-1)^2+y^2\leq 1\} $

salto alcuni passaggi, perché il risultato dell'integrale mi viene corretto..

quello che ho fatto io è
$ { ( x=\rho \cos\theta ),( y=\rho \sin\theta ):} $ $ det Jac=\rho $

va bé facendo alcuni calcoli trovo che $ \rho\in [0, 2\cos\theta], \theta\in [-\pi/2, \pi/2] $

e così calcolo l'integrale.. e mi viene esatto $128/45$

Quello che fa la soluzione
$ \int_A f(x,y)dxdy=lim_(a\to 0^+) \int\int_(D_a) (x^2)/(\sqrt(x^2+y^2))dxdy= \lim_(a\to 0^+) \int_(-\pi/2)^(\pi/2)d\theta \int_(a)^(2\cos\theta)\rho^2\cos^\theta d\rho $

dice che ha considerato $ a\in (0,1) $ allora $ a\in [0,2\cos\theta], \theta \in [-\pi/2,\pi/2] $

va bé dopo vari conti arriva al mio stesso risultato $128/45$

una domanda perché ha imposto quel parametro $a\in (0,1)$ e non ha lasciato $\rho \in [0,2\cos\theta]$ ?


perché poi al penultimo passaggio ce l'abbiamo uguale!.. $ 16/3 \int_(0)^(1)(1-t^2)^2dt=... =128/45 $

[ciampax]

In $(x,y)=(0,0)$ la funzione non è definita, quindi l'integrale è improprio. Ecco il perché del limite.