Chiarimento continuità di una funzione
Ciao ragazzi,
avrei bisogno di una mano!! Mi sto esercitando con gli esercizi del compito d'esame che dovrò fare, mi trovo di fronte all'esercizio del tipo "studiare la continuità della funzione $f: R -> R$ ". Il problema è che la funzione è "strana", non è una normale funzione... sinceramente non so nemmeno come fare a scrivervela qui, ci provo a parole sperando sia comprensibile
La funzione viene indicata con $f(x)=$ e poi c'è una parentesi graffa (tipo sistema) con tre equazioni, che sono $(sin(2x+2))/(1-e^(x+1))$ a cui corrisponde la dicitura $x<-1$, poi nel sistema c'è $2$ a cui corrisponde $x=-1$ e infine l'ultima equazione è $sin(x+1)+2x$ a cui corrisponde $x>-1$.
A orecchio, immagino che la funzione assuma diverse "forme" a seconda se si trova a sinistra o a destra di $-1$, e la funzione passa nel punto $(-1.2)$: dico giusto? Potete spiegarmi un po' meglio per favore, che non so proprio dove guardare per capire??
Inoltre, con una funzione del genere, che ci devo fare? Nel senso... come posso studiare la sua continuità?? Tratto le singole equazioni singolarmente, come fossero 3 (cioè, 2!) funzioni?!
Grazie infinite!!
avrei bisogno di una mano!! Mi sto esercitando con gli esercizi del compito d'esame che dovrò fare, mi trovo di fronte all'esercizio del tipo "studiare la continuità della funzione $f: R -> R$ ". Il problema è che la funzione è "strana", non è una normale funzione... sinceramente non so nemmeno come fare a scrivervela qui, ci provo a parole sperando sia comprensibile
La funzione viene indicata con $f(x)=$ e poi c'è una parentesi graffa (tipo sistema) con tre equazioni, che sono $(sin(2x+2))/(1-e^(x+1))$ a cui corrisponde la dicitura $x<-1$, poi nel sistema c'è $2$ a cui corrisponde $x=-1$ e infine l'ultima equazione è $sin(x+1)+2x$ a cui corrisponde $x>-1$.
A orecchio, immagino che la funzione assuma diverse "forme" a seconda se si trova a sinistra o a destra di $-1$, e la funzione passa nel punto $(-1.2)$: dico giusto? Potete spiegarmi un po' meglio per favore, che non so proprio dove guardare per capire??
Inoltre, con una funzione del genere, che ci devo fare? Nel senso... come posso studiare la sua continuità?? Tratto le singole equazioni singolarmente, come fossero 3 (cioè, 2!) funzioni?!
Grazie infinite!!
Risposte
E' una funzione definita a tratti , e l'esercizio da te esposto è molto frequente negli studi di continuità e derivabilità. Per dimostrare che la funzione sia continua in R devi verificare che ogni singola funzione sia continua nel dominio in cui è definita per esempio :
$ (sin(2x+2))/(1-e^(x+1)) $ che sia continua in $ x<-1 $
Poi devi trattare i singoli punti per esempio, perchè la funzione sia continua, :
$ lim_(x-> -1 ) (sin(2x+2))/(1-e^(x+1)) = 2 $ e così via
$ (sin(2x+2))/(1-e^(x+1)) $ che sia continua in $ x<-1 $
Poi devi trattare i singoli punti per esempio, perchè la funzione sia continua, :
$ lim_(x-> -1 ) (sin(2x+2))/(1-e^(x+1)) = 2 $ e così via
È una funzione "a tratti" ovvero la "legge di corrispondenza" tra elementi del dominio e quelli del codominio non è unica ma dipende da quale punto del dominio scegli; in pratica è come se fossero due o più funzioni (in questo caso tre) ... però ricordati che la funzione è una sola, che gli intervalli (o più genericamente insiemi) in cu è suddiviso il dominio non si sovrappongono MAI, che in ciascuno di quegli intervalli (o insiemi) in pratica hai una "normale" funzione e che gli estremi degli intervalli possono essere (e spesso lo sono) dei punti "critici", "particolari": difatti, di solito (e questo è il caso) si chiede di studiare la continuità della funzione in quei punti ...
Sono solo delle considerazioni sommarie ... spero ti aiutino ... per il resto, vediamo ...
Cordialmente, Alex
Sono solo delle considerazioni sommarie ... spero ti aiutino ... per il resto, vediamo ...
Cordialmente, Alex
@MementoMori
Attento, non è una composizione di funzioni, con questi termini si intende altro e soprattutto NON esistono punti di intersezione: ogni punto del dominio appartiene ad un e un solo intervallo; se così non fosse non avresti una funzione ...
Attento, non è una composizione di funzioni, con questi termini si intende altro e soprattutto NON esistono punti di intersezione: ogni punto del dominio appartiene ad un e un solo intervallo; se così non fosse non avresti una funzione ...
Sei sicura che il testo sia corretto e che non ci sia un $-2$ se $x=-1$?
in tal caso la funzione è definita tramite tre espressioni diverse, in particolare bisogna vedere cosa succede nel punto dove la funzione "cambia" faccia!
Consideriamo $x<-1$, allora si ha che
$f(x)= (sin(2x+2))/(1-e^(x+1))$
Al numeratore abbiamo la composizione fra un seno e un polinomio di primo grado, entrambi continui su tutto $\mathbb{R}$
mentre il numeratore si annulla per $x=-1$, ma tale valore non è incluso nel nostro dominio e quindi siamo a posto!
In maniera analoga abbiamo che per $x > -1$
$f(x)= sin(x+1)+2x$
ovviamente continua.
Per $x=-1$, per verificare o meno la continuità dobbiamo verificare che
$lim_(x\to-1^-)f(x)= f(-1)$
$lim_(x\to-1^+)f(x)= f(-1)$
Dunque in base alla diversa definizione della $f$ abbiamo che:
$lim_(x\to-1^-)(sin(2x+2))/(1-e^(x+1))= [0/0]=lim_(x\to-1^-)(2*cos(2x+2))/(-e^(x+1))= -2$
Data la forma indeterminata usiamo De L'Hospital,
$lim_(x\to-1^+)f(x)= 0-2=-2$
Dunque $f(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$.
in tal caso la funzione è definita tramite tre espressioni diverse, in particolare bisogna vedere cosa succede nel punto dove la funzione "cambia" faccia!
Consideriamo $x<-1$, allora si ha che
$f(x)= (sin(2x+2))/(1-e^(x+1))$
Al numeratore abbiamo la composizione fra un seno e un polinomio di primo grado, entrambi continui su tutto $\mathbb{R}$
mentre il numeratore si annulla per $x=-1$, ma tale valore non è incluso nel nostro dominio e quindi siamo a posto!
In maniera analoga abbiamo che per $x > -1$
$f(x)= sin(x+1)+2x$
ovviamente continua.
Per $x=-1$, per verificare o meno la continuità dobbiamo verificare che
$lim_(x\to-1^-)f(x)= f(-1)$
$lim_(x\to-1^+)f(x)= f(-1)$
Dunque in base alla diversa definizione della $f$ abbiamo che:
$lim_(x\to-1^-)(sin(2x+2))/(1-e^(x+1))= [0/0]=lim_(x\to-1^-)(2*cos(2x+2))/(-e^(x+1))= -2$
Data la forma indeterminata usiamo De L'Hospital,
$lim_(x\to-1^+)f(x)= 0-2=-2$
Dunque $f(x)$ è continua su tutto $\mathbb{R}$.
Hai ragione, grazie, ero sovrappensiero e ho utilizzato due termini errati, grazie
@studentemat, sicura, c'è un $2$! 
Vi ringrazio tantissimo, mi studio un po' quello che mi avete detto e faccio qualche esercizio... se mi venissero fuori dubbi o cose non chiare, vi riscrivo!! Per ora, grazieeee
Vi ringrazio tantissimo, mi studio un po' quello che mi avete detto e faccio qualche esercizio... se mi venissero fuori dubbi o cose non chiare, vi riscrivo!! Per ora, grazieeee
Allora in $x=-1$ la funzione presenta una discontinuità di terza specie o discontinuità eliminabile.
Nel caso in cui i due limiti per $x\to-1^-$ e per $x\to-1^+$ siano uguali (come nel tuo caso), si può rendere continua la funzione definendo $f(-1)$ come
$f(-1) = lim_(x\to-1^ - )f(x) =lim_(x\to-1^+)f(x) $
Nel caso in cui i due limiti per $x\to-1^-$ e per $x\to-1^+$ siano uguali (come nel tuo caso), si può rendere continua la funzione definendo $f(-1)$ come
$f(-1) = lim_(x\to-1^ - )f(x) =lim_(x\to-1^+)f(x) $
Ciao ragazzi, ho fatto qualche esercizio del genere per imparare il metodo e ora ho fatto questo che vi avevo scritto: incredibile ma vero, sono riuscita a farlooooo!! 
Mi ritrovo perfettamente con i vostri consigli e sono giunta alla tua stessa conclusione, @studentemat! In $x=-1$ c'è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile).
La prof. ci ha dato questo esercizio svolto da lei, ma... attraverso gli stessi calcoli che ho fatto io, conclude che il punto è di "discontinuità di prima specie eliminabile". Si sarà sbagliata? Voi confermate che è di 3a specie?!? Grazieeee!!
Mi ritrovo perfettamente con i vostri consigli e sono giunta alla tua stessa conclusione, @studentemat! In $x=-1$ c'è un punto di discontinuità di terza specie (eliminabile).
La prof. ci ha dato questo esercizio svolto da lei, ma... attraverso gli stessi calcoli che ho fatto io, conclude che il punto è di "discontinuità di prima specie eliminabile". Si sarà sbagliata? Voi confermate che è di 3a specie?!? Grazieeee!!
Quando parlo di discontinuità non uso mai il numero della specie, ma solo il tipo "eliminabile", "con salto",... perché quando andavo a scuola io non erano ben codificate come adesso, qualche libro le ordinava in maniera diversa. Probabilmente è quello che è successo alla tua insegnante, invece di utilizzare la codifica recente ha ricordato quella del testo su cui ha studiato anni fa.
Ah, ok, grazie del consiglio @melia!! Per sicurezza eviterò anche io di scriverlo allora
Grazie mille a tutti, come al solito gentilissimi!!!
Grazie mille a tutti, come al solito gentilissimi!!!
Si dipende da come si vuole "numerarle"... di solito si usa
I specie ---> Discontinuità di salto in $x_0$
esistono finiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ ma sono diversi fra loro.
II SPECIE
quando anche uno solo fra i due limiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ o non esiste o vale $\pm\infty$
III SPECIE ---> Discontinuità eliminabile
Quando i due limiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ esistono finiti e il loro valore coincide ma $f(x_0)\ne lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$
Oppure basta solo chiamarli per nome (per esempio: di salto) per evitare confusione.
I specie ---> Discontinuità di salto in $x_0$
esistono finiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ ma sono diversi fra loro.
II SPECIE
quando anche uno solo fra i due limiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ o non esiste o vale $\pm\infty$
III SPECIE ---> Discontinuità eliminabile
Quando i due limiti $lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$ esistono finiti e il loro valore coincide ma $f(x_0)\ne lim_(x\tox_0^\pm)f(x)$
Oppure basta solo chiamarli per nome (per esempio: di salto) per evitare confusione.
I problemi nascono quando ci si deve mettere d'accordo se $sqrtx$ sia continua in $x=0$ 
Perché mai $sqrt(x)$ non dovrebbe essere continua in $x=0$? 
"Vulplasir":
Perché mai $sqrt(x)$ non dovrebbe essere continua in $x=0$?
Ma non l'ho scritto che non sia continua
però non puoi applicare la definizione di continuità in un punto, nel punto $0$.Di fatto $lim_(x->0^-)sqrtx$ non esiste. E' una domanda a trabocchetto che ascoltai qualche tempo fa in non mi ricordo quale facoltà. Infatti si utilizza la definizione di continuità in un intervallo.
Il limite $lim_(x->0^-)sqrt(x)$ non è che non esiste, è che proprio non lo puoi fare perché non esiste un intorno sinistro di $0$ in cui è definita $sqrt(x)$. Se f(x) è definita in un intorno destro e sinistro di $x_0$, allora esiste il limite in x_0 se e solo se esistono e coincidono i limiti laterali, ma se questa condizione non è verificata, allora questa proposizione non è assolutamente vera. La definizione di continuità in un punto è simile a quella del limite, ma rispetto a questa non richiede che il punto sia di accumulazione, cosa richiesta nel limite, se il punto in cui si vuole studiare la continuità e di accumulazione, ecco che si può dimostrare che la definizione generale di continuità in un punto è equivalente al limite $lim_(x->x_0)f(x)=f(x_0)$, e per quanto detto sopra sui limiti, sqrt(x) risulta continua in x=0. Quello che hai sentito in questa facoltà in merito a questa "domanda trabocchetto" è una enorme cazzata.
Si era una facoltà di tipo economico. Comunque si, il problema nemmeno si pone poiché la funzione non è definita a sinistra di $0$, però in generale si usa la continuita a destra di un punto, in questo caso. Penso volesse riferirsi a questo.
Forse mi sbaglio ma secondo me non hai afferrato quello che voleva dire Vulpasir.
Quand'è che una funzione è continua in un punto? Una funzione è continua in un punto isolato del suo dominio?
Quand'è che una funzione è continua in un punto? Una funzione è continua in un punto isolato del suo dominio?
"G.D.":
... Una funzione è continua in un punto isolato del suo dominio? ...
Sì, perché l'ha detto gugo82 ...
Comunque, non sono cose da superiori quindi Anto ... rilassati e pensa a domani (in senso stretto ...
)Cordialmente, Alex
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