Chiarimenti teorici sulle derivate

[Bombi2]

Buon Pomeriggio, ho da proporvi i miei seguenti dubbi:

Consideriamo una funzione f che ammetta derivata continua in R meno l'origine;
Supponiamo che il limite di questa derivata f ' per x che tenda a zero sia da destra che da sinistra non esista;
Posso dire che la funzione non ammette derivata nell'origine? Se la risposta è no, potreste spiegarmi chiaramente il perchè?

Io ho sempre pensato che la derivata di una funzione f fosse l'applicazione che ad ogni punto associa il valore del limite del rapporto incrementale di f calcolato nel punto.. ma se nel punto la mia funzione dei limiti dei rapporti incrementali non ammette limite come fa la derivata ad esistere ed ammettere un valore? E' sbagliata la mia idea di derivata?

Ancora, perchè per concludere che una funzione pari abbia derivata nulla nell'origine mi basta verificare che in tale punto valga che
$ lim_(x -> 0^(+)) (f'(x))/x =0 $ ??

[Paolo902]

"Bombi":Ok, ho capito il vostro procedimento ed anche il mio errore.
Nel ragionare sulla derivabilità di F continuavo a pensare alla derivabilità di f.
Ho preso proprio una svista.

Mmm... Vediamo di provare a rispiegare quello che ti hanno già detto prima. Il punto è questo: sei consapevole del fatto che esistono funzioni derivabili con derivata prima non continua?

Forse questo esempio ti può aiutare. Prendi la funzione $x \mapsto x^2sin(1/x)$, prolungata per continuità a $0$ in $0$. Ti chiedo di:

1. calcolare la derivata fuori da $0$ (fai il conto);
2. calcolare la derivata in $0$, verificando che esiste e determinandone il valore (usa il rapporto incrementale);
3. verificare che la funzione derivata che si viene a definire non è continua in $0$, perché non ammette limite (né da dx né da sx, come potrai verificare).

Morale: la funzione è derivabile in 0 ma la derivata non è ivi continua. Questo dovrebbe rispondere alla tua prima domanda.

Per quanto riguarda la seconda domanda (c'è un typo: a numeratore ci deve essere $f$ non $f^{\prime}$) ha già risposto Rigel qui e io non saprei che altro aggiungere.

[Bombi2]

Per quanto riguarda la seconda domanda (c'è un typo: a numeratore ci deve essere f non f′) ha già risposto Rigel qui e io non saprei che altro aggiungere.

Si era uscito alla seconda pagina e non l'avevo visto, adesso mi è chiaro.

Per il resto:

1. Per quanto riguarda la derivata fuori da $ 0 $ mi trovo $ -cos(1/x) + 2xsin(1/x) $

2. Per quanto riguarda il limite del rapporto incrementale riporto i passaggi:

$ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0))/h $ = (1) $ lim_(h -> 0) (h^(2)sin(1/h)- 0)/h = lim_(h -> 0) h sin(1/h) = 0 $

(nel passaggio (1) ho supposto che f(0)=0 , però non sono convinto di questa cosa, perchè il rapporto incrementale lo sto facendo in una zona > 0, in 0 ce l'ho messa io la condizione che f(0)=0, quindi, è lecita? )

così facendo ho una funzione che ammette derivata in zero ma la cui funzione derivata non ammette limite nell'origine, siamo d'accordo.

Ma io concettualmente continuo a non capire come sia possibile, ha senso dire una cosa del genere?
Se io non avessi posto f(0) = 0 questo ragionamento sarebbe stato ancora valido?

[Paolo902]

"Bombi":
2. Per quanto riguarda il limite del rapporto incrementale riporto i passaggi:

$ lim_(h -> 0) (f(h)-f(0))/h $ = (1) $ lim_(h -> 0) (h^(2)sin(1/h)- 0)/h = lim_(h -> 0) h sin(1/h) = 0 $

(nel passaggio (1) ho supposto che f(0)=0 , però non sono convinto di questa cosa, perchè il rapporto incrementale lo sto facendo in una zona > 0, in 0 ce l'ho messa io la condizione che f(0)=0, quindi, è lecita? )
[...]
Se io non avessi posto f(0) = 0 questo ragionamento sarebbe stato ancora valido?

$f(0)=0$ non l'hai supposto tu, te l'ho detto io sopra:

"Paolo90":
Prendi la funzione $ x \mapsto x^2sin(1/x) $, prolungata per continuità a $ 0 $ in $ 0 $

Se definiamo f(0) in un altro modo, allora la funzione $f$ non è più continua in 0, quindi non ci poniamo nemmeno il problema della derivabilità.

E' tutto chiaro adesso?

[Bombi2]

Ok mi è molto più chiaro, però continuo a chiedermi se tutto ciò abbia realmente un significato operativo o se il fatto che la derivata venga formalmente zero sia solo una fredda conclusione derivante dalla definizione.
Devo un po' digerirla.
Comunque grazie mille per la pazienza