Chiarimenti sullo studio di funzioni

[Gmork]

Salve,

Mi sono accorto di avere parecchi dubbi su alcuni punti riguardanti lo studio delle funzioni e speravo che qualcuno mi potesse aiutare. A tal proposito prendo come esempio la seguente funzione:

[tex]f(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x < 0\\
e^x & 0\le x<1\\ \ln x & x\ge 1\end{cases}[/tex]

Dunque... è una funzione definita su tutto $\mathbb{R}$. Però quando controllo la continuità sul dominio, e quindi faccio:

$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim_{x\to 0^+} e^x=1$ ; $f(0)=1$

$\lim_{x\to 1^-} e^x=e$ ; $\lim_{x\to 1^+} \ln x=0$ ; $f(1)=0$

ho difficoltà ad interpretarne i risultati. Per esempio, la funzione presenta discontinuità eliminabili?

[Gmork]

Poi riflettendo sulle altre:

$\forall x\in (0,1)\ \Rightarrow 1 $\forall x\in (1,+\infty)\ \Rightarrow 0<1/x<1$ quindi in $(1, +\infty)$ $f'(x)$ è limitata.

Allora dico che $f(x)$ è Lipschitziana e dunque uniformemente continua in $(-\infty, 0)\cup (0,1)\cup (1,+\infty)$

Inoltre è dotata di asintoto orizzontale dalla sinistra, ed essendo continua in $(-\infty, 0]$ è ivi uniformemente continua.

Allora concludo dicendo che $f(x)$ è uniformemente continua su $\mathbb{R}-{1}$.

Qualcuno potrebbe dirmi se ho sbagliato oppure ho ragione?

Grazie.