Chiarimenti sullo studio di funzioni
Salve,
Mi sono accorto di avere parecchi dubbi su alcuni punti riguardanti lo studio delle funzioni e speravo che qualcuno mi potesse aiutare. A tal proposito prendo come esempio la seguente funzione:
[tex]f(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x < 0\\
e^x & 0\le x<1\\ \ln x & x\ge 1\end{cases}[/tex]
Dunque... è una funzione definita su tutto $\mathbb{R}$. Però quando controllo la continuità sul dominio, e quindi faccio:
$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim_{x\to 0^+} e^x=1$ ; $f(0)=1$
$\lim_{x\to 1^-} e^x=e$ ; $\lim_{x\to 1^+} \ln x=0$ ; $f(1)=0$
ho difficoltà ad interpretarne i risultati. Per esempio, la funzione presenta discontinuità eliminabili?
Mi sono accorto di avere parecchi dubbi su alcuni punti riguardanti lo studio delle funzioni e speravo che qualcuno mi potesse aiutare. A tal proposito prendo come esempio la seguente funzione:
[tex]f(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x < 0\\
e^x & 0\le x<1\\ \ln x & x\ge 1\end{cases}[/tex]
Dunque... è una funzione definita su tutto $\mathbb{R}$. Però quando controllo la continuità sul dominio, e quindi faccio:
$\lim_{x\to 0^-} \frac{\sin x}{x}=1$ ; $\lim_{x\to 0^+} e^x=1$ ; $f(0)=1$
$\lim_{x\to 1^-} e^x=e$ ; $\lim_{x\to 1^+} \ln x=0$ ; $f(1)=0$
ho difficoltà ad interpretarne i risultati. Per esempio, la funzione presenta discontinuità eliminabili?
Risposte
nel punto $x=0$ hai ottenuto tre valori uguali quindi la funzione è continua, mentre in $x=1$ i valori sono diversi ma entrambi finiti quindi c'è un salto
C'è una discontinuità di prima specie in [tex]x=1[/tex]. In [tex]x=0[/tex] la funzione è continua dal momento che in tal punto [tex]\frac{\sin x}{x}[/tex] ha una discontinuità eliminabile.
Quindi nell'intervallo $(-\infty\ ,\ 1)$ la funzione è continua?
Si
Si
Però scusa...perchè in questo caso $\frac{\sin x}{x}$ diciamo che in $x=0$ ha una discontinuità sia pur eliminabile dato che risulta $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}=f(0)=1$ ??
Una discontinuità in un punto si definisce eliminabile se la funzione in quel punto non esiste ma esiste il suo limite. Quindi, in quel punto, sostituisci al valore della funzione il valore del suo limite.
Nel caso di discontinuità eliminabile, infatti, si dice che, anche se la funzione non è definita nel punto, comunque è prolungabile per continuità in esso, semplicemente sostituendo, in quel punto, il valore del limite.
Quindi posso costruire il prolungamento di $f(x)$ nel punto $x=0$ e la chiamo [tex]f^{*}(x)[/tex] con
[tex]f^{*}(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x < 0\\ 1 & x=0\\ e^x & 0
Ho scritto giusto?
[tex]f^{*}(x) = \begin{cases}\frac{\sin x}{x} & x < 0\\ 1 & x=0\\ e^x & 0
Ho scritto giusto?
Non c'era bisogno dato che l'uguale già c'era su [tex]e^x[/tex] che è continua 
Ok. Esamino adesso la derivabilità:
[tex]f'(x) = \begin{cases}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2} & x < 0\\
e^x & 0< x<1\\ \frac{1}{x} & x>1\end{cases}[/tex]
$\lim_{x\to 0^-} \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=0$ (applicando il teorema di Taylor) ; $\lim_{x\to 0^+} e^x=1$
$\lim_{x\to 1^-} e^x=e$ ; $\lim_{x\to 1^+} 1/x=1 ;
Allora $f(x)$ definita su $\mathbb{R}$, continua su $\mathbb{R}-{1}$, è derivabile su $\mathbb{R}-{0,1}$ ed i punti $(0,1)$ e $(1,0)$ sono punti angolosi.
Giusto fin qua?
[tex]f'(x) = \begin{cases}\frac{x\cos x-\sin x}{x^2} & x < 0\\
e^x & 0< x<1\\ \frac{1}{x} & x>1\end{cases}[/tex]
$\lim_{x\to 0^-} \frac{x\cos x-\sin x}{x^2}=0$ (applicando il teorema di Taylor) ; $\lim_{x\to 0^+} e^x=1$
$\lim_{x\to 1^-} e^x=e$ ; $\lim_{x\to 1^+} 1/x=1 ;
Allora $f(x)$ definita su $\mathbb{R}$, continua su $\mathbb{R}-{1}$, è derivabile su $\mathbb{R}-{0,1}$ ed i punti $(0,1)$ e $(1,0)$ sono punti angolosi.
Giusto fin qua?
Si.
Ok. Grazie.
Per quanto riguarda gli asintoti, non essendoci discontinuità di seconda specie, affermo, che la funzione è priva di asintoti verticali. Mentre la ricerca degli asintoti orizzontali o obliqui l'ho fatta nel modo seguente:
Orizzontali:
$\lim_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ ; $\lim_{x\to -\infty} \frac{\sin x}{x}=0$ (su quest'ultimo ero molto dubbioso, poi ho riflettuto sul fatto che il prodotto di un infinitesimo per una funzione limitata, è ancora un infinitesimo).
La Funzione non ha asintoti orizzontali dalla destra, ma ammette $y=0$ come asintoto orizzontale dalla sinistra. Dato che non ci sono asintoti orizzontali dalla destra vediamo se ammette asintoto obliquo del tipo $mx+q$, in cui:
$m=\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0$ , ma $q=\lim_{x\to +\infty}\ \ln x=+\infty$ per cui non ammette asintoto nemmeno obliquo dalla destra.
Corretto?
Per quanto riguarda gli asintoti, non essendoci discontinuità di seconda specie, affermo, che la funzione è priva di asintoti verticali. Mentre la ricerca degli asintoti orizzontali o obliqui l'ho fatta nel modo seguente:
Orizzontali:
$\lim_{x\to +\infty} \ln x=+\infty$ ; $\lim_{x\to -\infty} \frac{\sin x}{x}=0$ (su quest'ultimo ero molto dubbioso, poi ho riflettuto sul fatto che il prodotto di un infinitesimo per una funzione limitata, è ancora un infinitesimo).
La Funzione non ha asintoti orizzontali dalla destra, ma ammette $y=0$ come asintoto orizzontale dalla sinistra. Dato che non ci sono asintoti orizzontali dalla destra vediamo se ammette asintoto obliquo del tipo $mx+q$, in cui:
$m=\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x}{x}=0$ , ma $q=\lim_{x\to +\infty}\ \ln x=+\infty$ per cui non ammette asintoto nemmeno obliquo dalla destra.
Corretto?
Adesso viene la parte per me più difficile ovvero quello della Lipschitzianetà e della uniforme continuità. Se volessi vedere se questa funzione è Lipschitziana da dove dovrei cominciare?
Ricordati che Lipschitziana in un intervallo è quella funzione che ha i rapporti incrementali limitati. Prova a verificare questa condizione usando il teorema di Lagrange o del valore medio.
Quindi dovrei prendere ogni intervallo della derivata prima, quindi $(-\infty,0)$ , $(0,1)$ , $(1, +\infty)$ e calcolare i rapporti incrementali di $f(x)$ ?
Ma non c'è bisogno che tu lo faccia con i numeri veri. Scrivi il rapporto incrementale di centro un punto $x_0$:
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$;
per il teorema di Lagrange esiste un punto $xi$ compreso tra $x$ e $x_0$ tale che
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi)$.
Allora, volendo determinare se la $f$ è Lipschitziana, cioè se i rapporti incrementali sono tutti limitati, quale funzione devi analizzare?
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$;
per il teorema di Lagrange esiste un punto $xi$ compreso tra $x$ e $x_0$ tale che
$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(xi)$.
Allora, volendo determinare se la $f$ è Lipschitziana, cioè se i rapporti incrementali sono tutti limitati, quale funzione devi analizzare?
$f'(x)$ intervallo per intervallo ?
Si, devi studiare $f'$ e vedere se è limitata.
Allora, non so se è giusto, ma cominciando con la prima legge ho che $\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$ per $x\in (-\infty, 0)$ si può scrivere come $\frac{\cos x}{x}-\frac{\sin x}{x^2}$ che è la somma algebrica di due funzioni limitate, quindi dovrebbe essere anch'essa limitata. Giusto?
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