Chiarimenti sul Teorema delle Contrazioni
Salve, come da titolo: esattamente cos'è una contrazione ? Ho capito che essendoci uno spazio metrico completo e una contrazione , esiste un solo punto di x appartenente a X tale che f(x)= x . Purtroppo non ho potuto seguire il corso perchè stavo lavorando come stagista in un'azienda IT e il 12 febbraio ho l esame :/ Mi sfugge il concetto di contrazione . Grazie a chi mi aiuterá 
Risposte
Una contrazione è semplicemente una funzione \(f:(X,d)\to(X,d)\) da no spazio metrico in sé che "contrae" la lunghezza di ogni segmento; quindi, in formule, tale che
\(\forall x,y\in X, d(f(x),f(y))\leq d(x,y)\).
Quest'ultima disuguaglianza può anche essere "migliorata" trovando un \(h\in (0,1)\) tale che
\(d(f(x),f(y))\leq h\cdot d(x,y)\).
Ad ogni modo, non hai nulla su cui studiare (dispense, un libro consigliato, ecc)?
\(\forall x,y\in X, d(f(x),f(y))\leq d(x,y)\).
Quest'ultima disuguaglianza può anche essere "migliorata" trovando un \(h\in (0,1)\) tale che
\(d(f(x),f(y))\leq h\cdot d(x,y)\).
Ad ogni modo, non hai nulla su cui studiare (dispense, un libro consigliato, ecc)?
@Platone: Si, però...
A volere essere proprio pedanti, in uno spazio metrico non è detto che ci siano segmenti; prendiamo per esempio la sfera. Vabbé, a parte questo, se definisci così una contrazione ti fallisce il teorema dell'esistenza dei punti fissi.
Questa si che è una contrazione.
"Platone":
Una contrazione è semplicemente una funzione \(f:(X,d)\to(X,d)\) da no spazio metrico in sé che "contrae" la lunghezza di ogni segmento; quindi, in formule, tale che
\(\forall x,y\in X, d(f(x),f(y))\leq d(x,y)\).
A volere essere proprio pedanti, in uno spazio metrico non è detto che ci siano segmenti; prendiamo per esempio la sfera. Vabbé, a parte questo, se definisci così una contrazione ti fallisce il teorema dell'esistenza dei punti fissi.
Quest'ultima disuguaglianza può anche essere "migliorata" trovando un \(h\in (0,1)\) tale che
\(d(f(x),f(y))\leq h\cdot d(x,y)\).
Questa si che è una contrazione.
"dissonance":
A volere essere proprio pedanti, in uno spazio metrico non è detto che ci siano segmenti; prendiamo per esempio la sfera.
Si, hai ragione: ho detto lunghezza di segmenti perchè aiuta la visualizzazione.
"dissonance":
se definisci così una contrazione ti fallisce il teorema dell'esistenza dei punti fissi.
Certo il teorema di punto fisso non regge (e in effetti la domanda anche se espressa in "cos'è una contrazione?" faceva riferimento al teorema). Però, in generale, sicuro che con \(h=1\) la \(f\) non è definibile comunque una contrazione (lata)?
"Platone":
Però, in generale, sicuro che con \(h=1\) la \(f\) non è definibile comunque una contrazione (lata)?
Si, $h$ deve essere strettamente minore di $1$. Ti può interessare la nozione di contrazione debole, che ottieni se $h=1$ ma c'è il $<$ invece che il $<=$, che ti garantisce l'unicità di un eventuale punto fisso, ma non l'esistenza. Inoltre esiste anche il concetto di funzione non espansiva che è quando $h=1$ (col $<=$) , ovvero una funzione $1$-lipschitziana, che però è scollegata del teorema delle contrazioni.
"otta96":
Si, $h$ deve essere strettamente minore di $1$. Ti può interessare la nozione di contrazione debole, che ottieni se $h=1$ ma c'è il $<$ invece che il $<=$, che ti garantisce l'unicità di un eventuale punto fisso, ma non l'esistenza.
Grazie per il chiarimento: non conoscevo (o non ricordavo) questo risultato.
"otta96":
Inoltre esiste anche il concetto di funzione non espansiva che è quando $h=1$ (col $<=$) , ovvero una funzione $1$-lipschitziana, che però è scollegata del teorema delle contrazioni.
Si certo, come avevo scritto, il teorema in questo caso non regge.
[ot]@Platone: tu puoi definire quello che vuoi, e molti matematici lo fanno. Altra cosa è che la definizione sia utile. Un po' di anni fa ho assistito a un corso di Vitali Milman, che disse: "le definizioni sono come l'inquinamento: sono nocive e vanno ridotte il più possibile, ma senza di esse non è possibile avere industria".
In questo caso, come ci ricorda otta, si può parlare di "contrazione debole, nonespansiva, larga, alta, bassa, bla, bla, bla"... Una montagna di nozioni, magari utili in certi contesti specialistici, ma non in generale. La grande utilità delle contrazioni sta nel teorema, appunto, delle contrazioni; quindi la cosa migliore, per economia di pensiero, è dare una definizione che permetta di enunciare quel teorema in modo chiaro e conciso.
Insomma, tutto questo per dire che \(h\) deve essere strettamente minore di \(1\). Fatemi contento.
[/ot]
In questo caso, come ci ricorda otta, si può parlare di "contrazione debole, nonespansiva, larga, alta, bassa, bla, bla, bla"... Una montagna di nozioni, magari utili in certi contesti specialistici, ma non in generale. La grande utilità delle contrazioni sta nel teorema, appunto, delle contrazioni; quindi la cosa migliore, per economia di pensiero, è dare una definizione che permetta di enunciare quel teorema in modo chiaro e conciso.
Insomma, tutto questo per dire che \(h\) deve essere strettamente minore di \(1\). Fatemi contento.
[/ot]
@dissonance
Sono d'accordo su tutto quello che hai scritto ed è una cosa che penso anche io in generale (su alcuni testi, soprattutto, ma non solo, scolastici, si trovano delle classificazioni e delle nomenclature più da botanici che da matematici).
Quello che volevo dire (mi sono espresso male) con "è definibile" non era se fosse possibile o meno farlo (per l'appunto, uno può chiamare quello che vuole come vuole), ma se non si trovasse in giro (manuali, dispense, ecc) definita anche in questo modo.
Comunque la questione credo sia chiarita abbastanza. Il nostro WildWolf92 avrà più materiale su cui riflettere di quello che si aspettava
ps. non so se è corretto rispondere così ad un tento nascosto...
Sono d'accordo su tutto quello che hai scritto ed è una cosa che penso anche io in generale (su alcuni testi, soprattutto, ma non solo, scolastici, si trovano delle classificazioni e delle nomenclature più da botanici che da matematici).
Quello che volevo dire (mi sono espresso male) con "è definibile" non era se fosse possibile o meno farlo (per l'appunto, uno può chiamare quello che vuole come vuole), ma se non si trovasse in giro (manuali, dispense, ecc) definita anche in questo modo.
Comunque la questione credo sia chiarita abbastanza. Il nostro WildWolf92 avrà più materiale su cui riflettere di quello che si aspettava
ps. non so se è corretto rispondere così ad un tento nascosto...
"Platone":
Una contrazione è semplicemente una funzione \(f:(X,d)\to(X,d)\) da no spazio metrico in sé che "contrae" la lunghezza di ogni segmento; quindi, in formule, tale che
\(\forall x,y\in X, d(f(x),f(y))\leq d(x,y)\).
Quest'ultima disuguaglianza può anche essere "migliorata" trovando un \(h\in (0,1)\) tale che
\(d(f(x),f(y))\leq h\cdot d(x,y)\).
Ad ogni modo, non hai nulla su cui studiare (dispense, un libro consigliato, ecc)?
Sul libro da cui sto studiando( Fusco,Marcellini) oltre al teorema mi porta la dimostrazione ma poi a un certo punto si interrompe con un laconico:'e così via' senza spiegarmi il continuo :/ Siccome subito prima del teorema , c'è la dicitura ''che questo teorema detto anche di Banach-Caccioppoli è utilissimo in Analisi e tornerà più volte nel prosieguo del testo'' credevo ci fosse dell'altro da sapere :/ Grazie comunque
"otta96":
[quote="Platone"]Però, in generale, sicuro che con \(h=1\) la \(f\) non è definibile comunque una contrazione (lata)?
Si, $h$ deve essere strettamente minore di $1$. Ti può interessare la nozione di contrazione debole, che ottieni se $h=1$ ma c'è il $<$ invece che il $<=$, che ti garantisce l'unicità di un eventuale punto fisso, ma non l'esistenza. Inoltre esiste anche il concetto di funzione non espansiva che è quando $h=1$ (col $<=$) , ovvero una funzione $1$-lipschitziana, che però è scollegata del teorema delle contrazioni.[/quote]
Questo, ad esempio , sul testo non lo riporta. Utilissimo
"Platone":
@dissonance
Sono d'accordo su tutto quello che hai scritto ed è una cosa che penso anche io in generale (su alcuni testi, soprattutto, ma non solo, scolastici, si trovano delle classificazioni e delle nomenclature più da botanici che da matematici).
Quello che volevo dire (mi sono espresso male) con "è definibile" non era se fosse possibile o meno farlo (per l'appunto, uno può chiamare quello che vuole come vuole), ma se non si trovasse in giro (manuali, dispense, ecc) definita anche in questo modo.
Comunque la questione credo sia chiarita abbastanza. Il nostro WildWolf92 avrà più materiale su cui riflettere di quello che si aspettava
ps. non so se è corretto rispondere così ad un tento nascosto...
Gentilissimi
)) Sicuramente è più roba di quanto abbiano scritto gli autori 
Che poi a dirla tutta , se permettete : io sono a Ingegneria Informatica e non a Matematica , un testo un pò più 'semplice' non lo potevano scegliere da consigliarci ? 
@WildWolf92: Che testo usi?
P.S.: Non me la prenderei tanto con gli autori... Purtroppo la Matematica è così: più vai avanti, meno è “semplice”.
P.S.: Non me la prenderei tanto con gli autori... Purtroppo la Matematica è così: più vai avanti, meno è “semplice”.
"gugo82":
@WildWolf92: Che testo usi?
P.S.: Non me la prenderei tanto con gli autori... Purtroppo la Matematica è così: più vai avanti, meno è “semplice”.
No ci mancherebbe , so che condensare tutto in un testo non è semplice
Il testo è 'Analisi Matematica 2 ' di Marcellini, Fusco e Sbordone
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