Chiarimenti su "Integrazione per parti"
Salve;
Sto studiando il metodo di integrazione per parti e mi son sorti alcuni dubbi che voglio render partecipi...
L'integrazione per parti si può applicare se e solo se si ha un prodotto tra due o più funzioni o comunque una divisione che trasformiamo in prodotto giusto?
la formula è : $ int f^{\prime}(x) *g(x) dx= f(x)*g(x)-int g^{\prime}(x) f(x) dx $
voglio chiarir bene il significato di questa scrittura: La formula così comè ci comunica che la possiamo usare solo se si ha un prodotto fra la derivata di $f(x)$ e $g(x)$ ??
quindi per esempio se abbiamo $ int f(x) *g(x) dx =$ per poter applicare la formula dovremmo intanto decidere quale sia $f$ e quale sia $g$ e poi derivare $f$ per poter applicare la formula ??
Grazie per i chiarimenti
Sto studiando il metodo di integrazione per parti e mi son sorti alcuni dubbi che voglio render partecipi...
L'integrazione per parti si può applicare se e solo se si ha un prodotto tra due o più funzioni o comunque una divisione che trasformiamo in prodotto giusto?
la formula è : $ int f^{\prime}(x) *g(x) dx= f(x)*g(x)-int g^{\prime}(x) f(x) dx $
voglio chiarir bene il significato di questa scrittura: La formula così comè ci comunica che la possiamo usare solo se si ha un prodotto fra la derivata di $f(x)$ e $g(x)$ ??
quindi per esempio se abbiamo $ int f(x) *g(x) dx =$ per poter applicare la formula dovremmo intanto decidere quale sia $f$ e quale sia $g$ e poi derivare $f$ per poter applicare la formula ??
Grazie per i chiarimenti
Risposte
"mat100":
quindi per esempio se abbiamo $ int f(x) *g(x) dx =$ per poter applicare la formula dovremmo intanto decidere quale sia $f$ e quale sia $g$ e poi derivare $f$ per poter applicare la formula ??
Ciao,
considera che l'integrazione per parti è da usare quando non puoi semplificare l'integrale apportando delle modifiche che non fanno cambiare il risultato dello stesso, oppure quando non hai nello stesso integrale la derivata della funzione (in quel caso conviene usare il metodo di sostituzione). In ogni caso devi prima notare in che modo ti semplifichi tutti i calcoli, altrimenti rischi di complicare tutto ulteriormente...Per esperienza posso dire che è sempre bene considerare $f(x)$ una funzione più "complessa" così da semplificarla nel momento in cui vai a calcolare la sua derivata...
Se non mi sono espressa bene (cosa molto probabile
) dimmi che ti illustro un esempio....
No, attenzione.
I simboli sotto integrale servono solo a definire quelli fuori integrale.
Scelta la $f'(x)$, quando trovi $f(x)$ significa che hai integrato quella funzione
I simboli sotto integrale servono solo a definire quelli fuori integrale.
Scelta la $f'(x)$, quando trovi $f(x)$ significa che hai integrato quella funzione
esempio:
$\int xlogx\ dx =$
$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$
$\int xlogx\ dx =$
$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$
"faximusy":
No, attenzione.
I simboli sotto integrale servono solo a definire quelli fuori integrale.
Scelta la $f'(x)$, quando trovi $f(x)$ significa che hai integrato quella funzione
si ho capito che si sceglie $f^{\prime}(x)$
ma non ho capito con quale criterio scelgo $f^{\prime}(x)$ , da dove me la esco fuori la derivata di $f(x)$ se io non conosco neanche $f(x)$
...
magari fammi un esempio più dettagliato .
dall'esempio sopracitato ... si è creato dal nulla una derivata "$2x$ "... senza cambiare il valore della funzione perchè si è moltiplicato per $1/2$
quindi da quello che sto capendo... dopo aver semplificato l'eventuale funzione... dobbiamo cercare in qualche modo di creare una derivata stando attenti a non alterare il valore della funzione giusto ???
sarà perchè sono ancora all'inizio ma così all'impatto mi sembra come cercare un ago in un pagliaio! thkx..
No, forse l'esempio è un po' fuorviante. Puoi farlo anche senza manipolazioni.
E' un procedimento meccanico, niente di complicato
Scegli $f'(x)$ in base a quale ti conviene di più, e quale ti permette una soluzione più agevole.
Esempio:
$\int xsinxdx$
Evidentemente ti conviene scegliere $g(x)=x$, perchè derivando $x$ esce $1$, quindi è possibile che semplifichi di molto l'integrale. Proviamo!
$\int xsinxdx= -xcosx-\int (-cosx)dx $
Come vedi, si è enormemente semplificato
Il risultato finale sarà:
$-xcosx+sinx +c$
E' un procedimento meccanico, niente di complicato
Scegli $f'(x)$ in base a quale ti conviene di più, e quale ti permette una soluzione più agevole.
Esempio:
$\int xsinxdx$
Evidentemente ti conviene scegliere $g(x)=x$, perchè derivando $x$ esce $1$, quindi è possibile che semplifichi di molto l'integrale. Proviamo!
$\int xsinxdx= -xcosx-\int (-cosx)dx $
Come vedi, si è enormemente semplificato
Il risultato finale sarà:
$-xcosx+sinx +c$
"faximusy":
No, forse l'esempio è un po' fuorviante. Puoi farlo anche senza manipolazioni.
E' un procedimento meccanico, niente di complicato
Scegli $f'(x)$ in base a quale ti conviene di più, e quale ti permette una soluzione più agevole.
Esempio:
$\int xsinxdx$
Evidentemente ti conviene scegliere $g(x)=x$, perchè derivando $x$ esce $1$, quindi è possibile che semplifichi di molto l'integrale. Proviamo!
$\int xsinxdx= -xcosx-\int (-cosx)dx $
Come vedi, si è enormemente semplificato
Il risultato finale sarà:
$-xcosx+sinx +c$
ho capito: della "nostra" $f(x)$ " dobbiamo sapere l'integrale e della nostra $g(x)$ la derivata... sta a noi decidere quale ci conviene per semplificare il calcolo ,,,
vediamo se ho capito:
ho svolto $ int e^x * cosx dx=$ scegliendo $f(x)=cosx$ e $g(x)=e^x$ mi risulta $ senx*e^x- int senx*e^x dx=$
$senx*e^x+cosx*e^x +C$ ; ma formalmente il risultato è errato... Dovrebbe essere $e^x*[senx+cosx)/2+C$
dove ho sbagliato?
Io l'ho risolto così
$ int e^x * cosx dx$ pongo $f(x)=e^x$ e $g(x)=cosx$ applicando questo metodo ottengo $ int e^x * cosx dx= e^x cosx + int e^x senx dx$ ora reintegro il secondo per parti, ossia $int e^x senx dx$ e ottengo
$int e^x senx dx = e^xsenx- int e^x cosx$
ritornando all'integrale che avevamo prima, si ha
$ int e^x * cosx dx= e^x cosx + e^x senx -int e^x cosx dx$ e segue (potando a primo membro l'integrale che risulta essere uguale a quello di partenza) $2 int e^x cosxdx = e^x (cosx + senx)$ e dividendo tutto per $2$ ottieni la soluzione richiesta
Se hai dubbi chiedi pure
$ int e^x * cosx dx$ pongo $f(x)=e^x$ e $g(x)=cosx$ applicando questo metodo ottengo $ int e^x * cosx dx= e^x cosx + int e^x senx dx$ ora reintegro il secondo per parti, ossia $int e^x senx dx$ e ottengo
$int e^x senx dx = e^xsenx- int e^x cosx$
ritornando all'integrale che avevamo prima, si ha
$ int e^x * cosx dx= e^x cosx + e^x senx -int e^x cosx dx$ e segue (potando a primo membro l'integrale che risulta essere uguale a quello di partenza) $2 int e^x cosxdx = e^x (cosx + senx)$ e dividendo tutto per $2$ ottieni la soluzione richiesta
Se hai dubbi chiedi pure
"mat100":
mi risulta $ senx*e^x- int senx*e^x dx=$
$senx*e^x+cosx*e^x +C$ ; ma formalmente il risultato è errato... Dovrebbe essere $e^x*[senx+cosx)/2+C$
dovresti risolvere per parti anche questo:
$ int senx*e^x dx$
bene,... Samy21 ti ha riportato l'intero procedimento
Abbiamo risposto quasi insieme
Infatti quel $e$ è un po fastidiosa, perchè sia come derivata che come integrale, non si semplifica un granchè xD
Quando capitano queste cose, devi solo stare attento "a non tornare indietro".
Per esempio, risolvi questo integrale:
$\int cos^2xdx = \int cosxcosxdx$
senza formule trigonometriche, ma appunto per parti.
Quando capitano queste cose, devi solo stare attento "a non tornare indietro".
Per esempio, risolvi questo integrale:
$\int cos^2xdx = \int cosxcosxdx$
senza formule trigonometriche, ma appunto per parti.
"Samy21":
Io l'ho risolto così
$ int e^x * cosx dx$ pongo $f(x)=e^x$ e $g(x)=cosx$ applicando questo metodo ottengo $ int e^x * cosx dx= e^x cosx + int e^x senx dx$ ora reintegro il secondo per parti, ossia $int e^x senx dx$ e ottengo
$int e^x senx dx = e^xsenx- int e^x cosx$
ritornando all'integrale che avevamo prima, si ha
$ int e^x * cosx dx= e^x cosx + e^x senx -int e^x cosx dx$ e segue (potando a primo membro l'integrale che risulta essere uguale a quello di partenza) $2 int e^x cosxdx = e^x (cosx + senx)$ e dividendo tutto per $2$ ottieni la soluzione richiesta
Se hai dubbi chiedi pure
grazie...
ma allora in teoria, integrando per parti si innesca "un ciclo infinito"... penso che mi sono espresso male , ma per far capire...
l'integrale che si formerà per via della formula è un prodotto che dovremo svolgere per parti , ma quando ci dobbiamo fermare ??
perchè potremmo integrare all'infnito così..
mannò!! assolutamente 
in genere il secondo integrale è più semplice, magari immediato... o comunque ci si riconduce alla situazione precedente:
otteniamo nel secondo membro, l'integrale del primo membro ma cambiato di segno...
assolutamente in genere il secondo integrale è più semplice, magari immediato... o comunque ci si riconduce alla situazione precedente:
otteniamo nel secondo membro, l'integrale del primo membro ma cambiato di segno...
"mat100":
ma quando ci dobbiamo fermare ??
Beh quando ottieni un integrale più semplice oppure quando hai la soluzione puoi fermarti
Scherzi a parte, in quel caso era consigliabile reintegrare così da ottenere lo stesso integrale di partenza e semplificare tutti i calcoli....Se non avessimo reintegrato si che si sarebbe creato un circolo infinito
Tutto chiaro adesso?
"faximusy":
Infatti quel $e$ è un po fastidiosa, perchè sia come derivata che come integrale, non si semplifica un granchè xD
Quando capitano queste cose, devi solo stare attento "a non tornare indietro".
Per esempio, risolvi questo integrale:
$\int cos^2xdx = \int cosxcosxdx$
senza formule trigonometriche, ma appunto per parti.
Riguardo il "ciclo infinito", ti ripropongo di risolvere questo
"faximusy":
[quote="faximusy"]Infatti quel $e$ è un po fastidiosa, perchè sia come derivata che come integrale, non si semplifica un granchè xD
Quando capitano queste cose, devi solo stare attento "a non tornare indietro".
Per esempio, risolvi questo integrale:
$\int cos^2xdx = \int cosxcosxdx$
senza formule trigonometriche, ma appunto per parti.
Riguardo il "ciclo infinito", ti ripropongo di risolvere questo
[/quote]....
ci provo
$int cosx cosx dx= senx cosx - int senx * (-senx) dx =$ ora risolviamo il secondo integrale
$int senx *(-senx) dx= - cosx* (-senx)- int -cosx * cosx dx= $ in teoria dovrei integrare ancora ... perchè ancora non abbiamo l'integrale "uguale a quello di partenza" , ma come funzione abbiamo $-cos^2x$
o no ?
poi nel caso dell'esempio citato nella prima pagina
"IntoTheWild":
esempio:
$\int xlogx\ dx =$
$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$
$\f'(x)=x/2$ <-- è derivata di $x^2/4$ che io non vedo nell'integrale di partenza;
"mat100":
$int cosx cosx dx= senx cosx - int senx * (-senx) dx =$ ora risolviamo il secondo integrale
$int senx *(-senx) dx= - cosx* (-senx)- int -cosx * cosx dx= $ in teoria dovrei integrare ancora ... perchè ancora non abbiamo l'integrale "uguale a quello di partenza" , ma come funzione abbiamo $-cos^2;$
Beh considera che il segno $-$ lo "esci" dal simbolo di integrale ottenendo quindi $ 2 int cos^2x dx=senxcosx+ senxcosx + c$ e quindi procedendo come prima ottieni $ int cos^2x dx=senxcosx + c$
EDIT: in questo caso però mi sembra che si sostituisce a $sen^2x= 1 - cos^2x$ così poi ottieni come soluzione dell'integrale $(senxcosx + x)/2 +c$ ... Spero di non aver detto una cavolata
"mat100":
poi nel caso dell'esempio citato nella prima pagina
[quote="IntoTheWild"]esempio:
$\int xlogx\ dx =$
$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$
$\f'(x)=x/2$ <-- è derivata di $x^2/4$ che io non vedo nell'integrale di partenza;[/quote]
$x/2$ non lo trovi perchè lui per avere la derivata di $x^2$ ossia $2x$ moltiplica e divide per $2$... A me questo integrale viene $1/2 (x^2logx-1/2x^2) + c$ non so gli altri come operano in questo caso
"Samy21":
[quote="mat100"]
$int cosx cosx dx= senx cosx - int senx * (-senx) dx =$ ora risolviamo il secondo integrale
$int senx *(-senx) dx= - cosx* (-senx)- int -cosx * cosx dx= $ in teoria dovrei integrare ancora ... perchè ancora non abbiamo l'integrale "uguale a quello di partenza" , ma come funzione abbiamo $-cos^2;$
Beh considera che il segno $-$ lo "esci" dal simbolo di integrale ottenendo quindi $ 2 int cos^2x dx=senxcosx+ senxcosx + c$ e quindi procedendo come prima ottieni $ int cos^2x dx=senxcosx + c$
EDIT: in questo caso però mi sembra che si sostituisce a $sen^2x= 1 - cos^2x$ così poi ottieni come soluzione dell'integrale $(senxcosx + x)/2 +c$ ... Spero di non aver detto una cavolata
"mat100":
poi nel caso dell'esempio citato nella prima pagina
[quote="IntoTheWild"]esempio:
$\int xlogx\ dx =$
$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$
$\f'(x)=x/2$ <-- è derivata di $x^2/4$ che io non vedo nell'integrale di partenza;[/quote]
$x/2$ non lo trovi perchè lui per avere la derivata di $x^2$ ossia $2x$ moltiplica e divide per $2$... A me questo integrale viene $1/2 (x^2logx-1/2x^2) + c$ non so gli altri come operano in questo caso
[/quote]anche a me viene così... però con derive viene come ha scritto "into the wind"
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
"mat100":
però con derive viene come ha scritto "into the wind"
E non ti è chiaro come mai ha fatto così?
Rileggi cosa ti ho scritto prima riguardo a $x/2$
Dato che tra breve andrò a letto ti spiego i passaggi così ci pensi e se ci sono dubbi ne riparliamo domani
Allora, l'integrale da risolvere è $int xlogxdx$ e sappiamo che gli integrali con il logaritmo sono risolvibili sono con il metodo per parti, ossia secondo la formula $int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - int f'(x) g(x)dx$
Nel nostro integrale ovviamente consideriamo $f(x)=logx$ e per esclusione allora la $g'(x)=x$ ma sappiamo che l'unico integrale che ha come derivara una $x$ è proprio $x^2$ che ha appunto per derivata $2x$.
Ora tu pensi "ma io nell'integrale di partenza non ho il $2$ quindi non posso applicarlo" però moltiplicando e dividendo per lo stesso numero il risultato non cambia, così facendo abbiamo quindi come $g'(x)= 2x$ e applicando ls formula si ottiene $1/2 int 2xlogx dx = 1/2 (x^2 logx - int x^2 1/x dx)$ e poi facendo i vari calcoli si ottiene il risultato di derive
Tutto chiaro?
Allora, l'integrale da risolvere è $int xlogxdx$ e sappiamo che gli integrali con il logaritmo sono risolvibili sono con il metodo per parti, ossia secondo la formula $int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - int f'(x) g(x)dx$
Nel nostro integrale ovviamente consideriamo $f(x)=logx$ e per esclusione allora la $g'(x)=x$ ma sappiamo che l'unico integrale che ha come derivara una $x$ è proprio $x^2$ che ha appunto per derivata $2x$.
Ora tu pensi "ma io nell'integrale di partenza non ho il $2$ quindi non posso applicarlo" però moltiplicando e dividendo per lo stesso numero il risultato non cambia, così facendo abbiamo quindi come $g'(x)= 2x$ e applicando ls formula si ottiene $1/2 int 2xlogx dx = 1/2 (x^2 logx - int x^2 1/x dx)$ e poi facendo i vari calcoli si ottiene il risultato di derive
Tutto chiaro?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo