Chiarimenti su "Integrazione per parti"

[Danying]

Salve;

Sto studiando il metodo di integrazione per parti e mi son sorti alcuni dubbi che voglio render partecipi...

L'integrazione per parti si può applicare se e solo se si ha un prodotto tra due o più funzioni o comunque una divisione che trasformiamo in prodotto giusto?

la formula è : $ int f^{\prime}(x) *g(x) dx= f(x)*g(x)-int g^{\prime}(x) f(x) dx $

voglio chiarir bene il significato di questa scrittura: La formula così comè ci comunica che la possiamo usare solo se si ha un prodotto fra la derivata di $f(x)$ e $g(x)$ ??

quindi per esempio se abbiamo $ int f(x) *g(x) dx =$ per poter applicare la formula dovremmo intanto decidere quale sia $f$ e quale sia $g$ e poi derivare $f$ per poter applicare la formula ??


Grazie per i chiarimenti

[Danying]

"Samy21":Dato che tra breve andrò a letto ti spiego i passaggi così ci pensi e se ci sono dubbi ne riparliamo domani

Allora, l'integrale da risolvere è $int xlogxdx$ e sappiamo che gli integrali con il logaritmo sono risolvibili sono con il metodo per parti, ossia secondo la formula $int f(x) g'(x) dx = f(x)g(x) - int f'(x) g(x)dx$

Nel nostro integrale ovviamente consideriamo $f(x)=logx$ e per esclusione allora la $g'(x)=x$ ma sappiamo che l'unico integrale che ha come derivara una $x$ è proprio $x^2$ che ha appunto per derivata $2x$.
Ora tu pensi "ma io nell'integrale di partenza non ho il $2$ quindi non posso applicarlo" però moltiplicando e dividendo per lo stesso numero il risultato non cambia, così facendo abbiamo quindi come $g'(x)= 2x$ e applicando ls formula si ottiene $1/2 int 2xlogx dx = 1/2 (x^2 logx - int x^2 1/x dx)$ e poi facendo i vari calcoli si ottiene il risultato di derive

Tutto chiaro?

si si è tutto chiaro.

la cosa che non mi era/è chiara è che se consideri $g^{\prime}(x)=x$, nella formula poi si deve moltiplicare $f(x)$ per la primitiva di $g'(x)$ che è $x^2/2$ non $x^2$


thankx.

[fireball-votailprof]

"Samy21":
Allora, l'integrale da risolvere è $int xlogxdx$ e sappiamo che gli integrali con il logaritmo sono risolvibili sono con il metodo per parti

Su questo non ci metterei la mano sul fuoco
Esempio:
$int1/xlogxdx=intlogxd(logx)=(log^2x)/2+c

sempre se con il secondo SONO intendevi dire SOLO, altrimenti scusami!

[fireball-votailprof]

perchè moltiplicare e dividere per $2$ ?
$intxlogxdx=(#)$

$f=logx to f^{\prime}=1/x
$g^'=x to g=intg^'dx=1/2x^2

$(#)=1/2x^2logx-1/2intxdx=1/2x^2logx-1/4x^2+c$ che derivata dà proprio $xlogx$

[Samy211]

"Andre@":
sempre se con il secondo SONO intendevi dire SOLO, altrimenti scusami!

Si quando c'è la derivata moltiplicata per la funzione è sempre bene fare una sostituzione

A quanto pare la risoluzione corretta è quella nella quale devi moltiplicare e dividere per 2 dato che è stato confermato pure da Derive...Pure io avevo pensato di risolvere così

[Samy211]

"IntoTheWild":esempio:
$\int xlogx\ dx =$

$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$

Comunque rivedendo anche a lui dovrebbe venire $1/2x^2logx-1/4x^2 +c$

[Sandruz1]

"IntoTheWild":esempio:
$\int xlogx\ dx =$

$1/2\int2x logx\ dx $ scelgo $\f'(x)=x/2$ e $g(x)=logx$
$1/2[x^2logx] -1/2 \intx^2 1/x\dx$
$1/2x^2logx-x^2 + c$

Scusate se uppo questo thread, ma sto impazzendo!
Da dove esce quell' $1/2$ fuori dall'Integrale?

[gugo82]

Quando moltiplichi per $2$ sotto il segno d`integrale devi anche dividere per $2$ (per non alterare la funzione integranda), quindi...