Chiarimenti su esercizi di vario genere di analisi 2

[bimbozza]

1) L'integrale di

[math](x^3ycosx+2xysinx-y^2e^x)dx+(x^2sinx-2ye^x)dy [/math]

lungo l'ellisse 2x^2+y^2=2, essendo la curva chiusa, è zero, vero?

2)Consideriamo la serie (con n che va da 1 a infinito )

[math]\frac{n^2+1}{h^n}[/math]

. Solo una delle seguenti affermazioni è corretta:
A)converge per ogni valore positivo di h
B)converge sse h appartiene all'intervallo (-1,1)
C)non converge se h è diverso da zero
D)è assolutamente convergente per ogni valore positivo di h

Allora, ho applicato il criterio del rapporto quindi:

[math]\lim_{x \to \infty} \frac{(n+1)^2+1}{h^{n+1}} * \frac{h^n}{n^2+1}[/math]

[math]\lim_{x \to \infty} \frac{(n^2+2n+2}{h(n^2+1)}[/math]

[math]\lim_{x \to \infty} \frac{(n^2(1+2/n+2/n^2)}{hn^2(1+1/n^2)}[/math]

=

[math]\frac{1}{h}[/math]

che converge se è

[ciampax]

1) Quello che affermi è vero se e solo se la forma

[math]\omega=a\ dx+b\ dy[/math]

è esatta. Poiché nel tuo caso la forma è definita su tutto il piano, basta verificare che essa sia chiusa:

[math]a_y=b_x[/math]

. Essendo

[math]a=x^3 y\cos x+2xy\sin x-y^2 e^x[/math]

[math]b=x^2\sin x-2y e^x[/math]

si vede facilmente che

[math]a_y=x^3\cos x+2x\sin x-2ye^x=b_x[/math]

pertanto la forma è chiusa, quindi esatta e il suo integrale lungo una qualsiasi curva chiusa risulta identicamente nullo.

2) La serie è

[math]\sum_{n=0}^\infty \frac{n^2+1}{h^n}[/math]

.

Consideriamo i due casi

[math]h>0,\ h0[/math]

, avendo una serie a termini positivi, puoi applicare il criterio del rapporto e ricavare la condizione di convergenza

[math]1/h1[/math]

Per

[math]h1[/math]

Tuttavia, detto

[math]a_{n}=\frac{n^2+1}{k^n}[/math]

allora

[math]a_{n+1}-a_n=\frac{(n+1)^2+1}{k^{n+1}}-\frac{n^2+1}{k^n}=\\
\frac{n^2+2n+2-kn^2-k}{k^{n+1}}=\frac{(1-k)n^2+2n+2-k}{k^{n+1}}

[bimbozza]

1)non mi torna la

[math]x^3[/math]

nella derivata di b rispetto ad x. Non dovrebbe essere

[math]2xsinx +x^2cosx+2ye^x[/math]

e quindi diversa da a derivata rispetto a y?

2) se h converge quando appartiene a

[math](- \inf,-1) e (1,+ \inf)[/math]

allora la C) non può essere esatta perchè afferma il contrario.
A) non può essere perchè 1 è positivo ma non è compreso
B)non può essere perchè è anche in questo caso negherebbe i risultati ottenuti.
D)non è perchè se lo fosse implicherebbe che la A) sia vera, ma non lo è.
Boh, continuo a non concordare con nessuna delle opzioni...