Chiarimenti Integrale Generalizzato

[mtx4]

Salve
nello studiare gli integrali in senso generalizzato, ovvero integrali di funzioni definite su intervalli illimitati o su intervalli limitati ma per cui la funzione tende a infinito su uno degli estremi, ho qualche perplessità nel determinare il carattere dell'integrale, la sua convergenza o meno, o detto in altri termini se la funzione è integrabile o no nell'intervallo considerato
il mio testo fornisce due criteri, il criterio del confronto, quello del confronto asintotico e in generale quello dell'assoluta convergenza

il mio problema sta nell'applicazione di tali criteri, e quindi io preferisco stabilire l'integrabilità per definizione, pur calcolando primitive di funzioni complesse
ma ciò non va bene, anche per gli esercizi, che alle volte chiedono solo di stabilire il carattere

ad esempio per l'integrale $ int_(0 )^(1 ) xlogx $ come mi devo muovere se non voglio calcolare la primitiva (banale) ??
relazione di asintoticità in mente non me ne vengono
col confronto, posso dire che $logx$ < radice di x
dunque la funzione iniziale è minore di $x*$radice di $x$ e cioè di $1/(x^(-3/2))$ che fra $0$ ed $1$ converge, segue che la funzione iniziale converge ed è integrabile
è lecito un ragionamento di questo tipo ??

su integrali del tipo $ 1/(xlogx)$ fra $0$ e $1/2$ oppure $2$ e +infinito
ho provato cose analoghe, ma non riesco, oppure giungo a conclusioni sbagliate o corrette, ma formalmente sbagliate

lo stesso con l'integrale di $(senx)/(x^2)$ fra $0$ e $1$, non so come procedere

è gradita una mano, qualche consiglio pratico e/o teorico, cercando di arrivare alla soluzione insieme
graziee

[AMs1]

Allora per l'ultimo, $sinx/x^2$, puoi osservare che per $x->0$ si ha che $sinx/x^2 sim 1/x$ ... quindi diverge, giusto?

Per quanto riguarda $xlogx$ e $1/(xlogx)$ io li ho sempre trattati calcolandoli direttamente.
Eventualmente puoi sfruttare la

$int_b^{oo} 1/(xlog^{\alpha}x) dx<+oo$ per b>1 e $\alpha>1$

e analogamente

$int_0^{b} 1/(xlog^{\alpha}x) dx<+oo$ per 0

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