Check esercizio trasformata di Fourier

[Uomosenzasonno]

Buonasera a tutti. Volevo solo sapere se ho svolto correttamente questo esercizio sul calcolo della trasformata di Fourier:

Calcolare la trasformata di Fourier di:

$u(x) = 1/(x^2+4x+5)star(e^-(x-1)H(x-1)), x in R$

dove $star$ indica la convoluzione.

Ovviamente la convoluzione corrisponde al prodotto a livello di trasformata. Quindi ho calcolato separatamente le trasformate dei due termini della convoluzione:

Ponendo $x=z$ ho:

$T_(f) (1/(x^2+4x+5)) = int_(-oo)^(+oo) (e^-(2pi xi x)/(x^2+4x+5))dx= int_(-oo)^(+oo) (e^-(2pi xi x)/(z^2+4z+5))dz$

Utilizzando teorema dei residui e gli svariati Lemmi:

$int_(-oo)^(+oo) (e^-(2pi xi x)/(z^2+4z+5))dz = 2pi iRes((e^-(2pi xi x)/(z^2+4z+5)), i)$

Da cui si ricava che:

$T_(f) (1/(x^2+4x+5)) = 2pi i(e^((2-i)2pi i xi)/(2i))$

A questo punto calcoliamo la seconda trasformata. $H(x-1)$ teoricamente è il gradino di Heaviside traslato su $1$ (in pratica il gradino che inizia a partire da 1 su l'asse reale). Allora la trasformata sarà:

$T_(f)(e^-(x-1)H(x-1)) = int_(1)^(+oo) ((e^-(2pi xi x)e^-(x-1)))dx$

Che sarà uguale a:

$int_(1)^(+oo) ((e^-(2pi xi x+1)e^-1) = e^-1[e^-(2 pi i xi +1)x/(-2pi i xi +1)]$ tra $1$ e $+oo$

Che mi verrebbe:

$T_(f)(e^-(x-1)H(x-1)) = (e^-(2pi i xi)/(-2 pi i xi +1))$

al che moltiplicando, la soluzione.... forse.

grazie ancora

[Quinzio]

Il primo termine* direi che va bene:
puoi controllare anche con le serie di F. notevoli qui http://www-dimat.unipv.it/esami-ingegneria/fourier/

* convolante... ? , come si chiama qualcosa che va a convolare ?

[Uomosenzasonno]

E scusa il secondo termine?

Grazie della risposta cmq!

[dissonance]

C'è qualcosa che non va nella definizione di trasformata, però. Io direi che ti sei sistematicamente dimenticato una \(i\) nel termine oscillante:

\[e^{-i(2\pi x \xi)}.\]