Cercasi f

[dennysmathprof]

Se abbiamo la derivabile funzione \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ,f {'} \) continua \[ \left( {x - y} \right){\left( {f\left( x \right) - 1} \right)^2} = - \left( {x + y} \right)\left( {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right)\left( {{e^{f'\left( x \right)}} - 1} \right) \;\;\;\forall x,y \in \mathbb{R} , y > 0 \;\;\; \text{è }\; \left| x \right| \le y \]
Trovate la f

[Rigel1]

Se \(x<0\) e \(y\to -x\) (da destra) otteniamo \(2x (f(x)-1)^2 = 0\), dunque \(f(x) = 1\). Per continuità avremo dunque \(f(x) = 1\) per ogni \(x\leq 0\) e \(f'(0) = 0\).
Se \(x\geq 0\), dividendo per \(x-y\) e mandando \(y\to x\) otteniamo
\[(f(x)-1)^2=-2x (e^{f'(x)}-1)f'(x),\qquad x\geq 0\]
e dunque, in particolare, \((e^{f'(x)}-1)f'(x)\leq 0\) per ogni \(x > 0\). D'altra parte la funzione \(t\mapsto t(e^t-1)\) è strettamente positiva per ogni \(t\neq 0\) e si annulla in \(t=0\), per cui deduciamo che \(f'(x) = 0\) per ogni \(x>0\). Poiché \(f(x) = 1\) per ogni \(x\leq 1\) ed \(f\) è continua, concludiamo che \(f(x) = 1\) per ogni \(x\in\mathbb{R}\).