Cardioide

[kfc2]

Ciao, come faccio a stabilire analiticamente (senza grafico) che la cardioide è una curva semplice?

Ho provato a dimostrare l'iniettività di una delle due componenti ma non riesco

[pilloeffe]

Ciao kfc,

Benvenuto/a sul forum!

Qual è la definizione di curva semplice?
Dai un'occhiata anche qui.

[kfc2]

è semplice se non assume mai uno stesso valore per due parametri diversi (eccetto agli estremi dell'intervallo)

ho guardato il link ma non trovo quello che mi serve, mi spiace

[pilloeffe]

"kfc":è semplice se non assume mai uno stesso valore per due parametri diversi (eccetto agli estremi dell'intervallo)

Esatto, cioè una curva semplice è una curva con supporto che non si auto-interseca, cioè in buona sostanza la funzione $\gamma : I \rightarrow \RR^2 $ che individua il supporto è una funzione iniettiva.

"kfc":ho guardato il link ma non trovo quello che mi serve

Cerca meglio, perché ti servono le equazioni parametriche:

$\gamma(t) = (x(t), y(t)) = (2a cos t(1-cos t), 2a sin t(1-cos t)) $

ove $0 <= t <2\pi $
Affinché la curva sia semplice, per $t_1 \ne t_2 $ non possono mai essere soddisfatte contemporaneamente le due relazioni seguenti:
$x(t_1) = x(t_2) \qquad \qquad y(t_1) = y(t_2) $

[kfc2]

sisi ma non riesco a dimostrarlo