Carattere serie con termine generale scomponibile in due addendi
Buongiorno, volevo un chiarimento: se ho una serie numerica il cui termine generale puó essere scomposto in una somma di due successioni, quali sono le conclusioni a cui é lecito giungere se analizzo il carattere delle serie costruite con tali successioni?
Nel senso, se ho una serie con termine generale scomponibile nella somma di due successioni, le cui serie convergono, posso dire che la serie di partenza converge? Se sì, posso fare lo stesso nel caso di divergenza?
Nel senso, se ho una serie con termine generale scomponibile nella somma di due successioni, le cui serie convergono, posso dire che la serie di partenza converge? Se sì, posso fare lo stesso nel caso di divergenza?
Risposte
[size=105]$ |sum_(k=1)^(n)a_k*b_k|leq sum_(k=1)^(n)|a_k*b_k|=sum_(k=1)^(n)|a_k|*|b_k|leqsqrt( sum_(k=1)^(n)a_k^2 *sum_(k=1)^(n) b_k^2)leqsum_(k=1)^(n)|a_k|*sum_(k=1)^(n)|b_k|$[/size]
Cosa puoi dedurre?
Se le serie costruite dalle due successioni convergono entrambe, la serie di partenza converge. Non si può fare lo stesso discorso per la divergenza.
@anto: Si parla di somma, non di prodotto, che c'entra quella roba?
@gianni: Come per i limiti. Se una successione o funzione si scompone in una somma, e se entrambi gli addendi ammettono limite, allora la somma ha per limite la somma dei limiti. La stessa cosa per le serie: se hai una serie il cui termine generale si scompone in somma, e se i due addendi formano serie convergenti, allora la serie di partenza è convergente e la sua somma è quella che ti aspetti.
Anche qui, questo è solo un se, e non un se e solo se. Può succedere che una successione si scomponga in somma, con addendi che non ammettono limite, ma essa stessa ammette limite. Pure può succedere che una serie si scomponga in somma, con due addendi che non sono serie convergenti, eppure la serie di partenza converge. ESEMPIO FONDAMENTALE:
\[
\sum \left( \frac1n-\frac1n\right) = 0, \]
anche se \(\sum \frac1n\) non converge.
@gianni: Come per i limiti. Se una successione o funzione si scompone in una somma, e se entrambi gli addendi ammettono limite, allora la somma ha per limite la somma dei limiti. La stessa cosa per le serie: se hai una serie il cui termine generale si scompone in somma, e se i due addendi formano serie convergenti, allora la serie di partenza è convergente e la sua somma è quella che ti aspetti.
Anche qui, questo è solo un se, e non un se e solo se. Può succedere che una successione si scomponga in somma, con addendi che non ammettono limite, ma essa stessa ammette limite. Pure può succedere che una serie si scomponga in somma, con due addendi che non sono serie convergenti, eppure la serie di partenza converge. ESEMPIO FONDAMENTALE:
\[
\sum \left( \frac1n-\frac1n\right) = 0, \]
anche se \(\sum \frac1n\) non converge.
@dissonance
Mado sto rincoglionendo
Mado sto rincoglionendo
@anto: Comunque quella cosa è corretta e ti dice che se fai il prodotto puntuale dei termini generali di due serie assolutamente convergenti trovi una serie assolutamente convergente.
infatti volevo farlo arrivare, inutilmente(dato il problema), a questo.
Magari servirà a qualcun altro
Magari servirà a qualcun altro
Collegandomi all'esempio di dissonance... Anche peggio in questo caso qui:
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n + (-1)^{n+1}\; ,
\]
che è una serie convergente (poiché ha addendi nulli), e però le sue serie di cui essa è somma, i.e.:
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \quad \text{e}\quad \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\; ,
\]
sono entrambe non regolari.
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n + (-1)^{n+1}\; ,
\]
che è una serie convergente (poiché ha addendi nulli), e però le sue serie di cui essa è somma, i.e.:
\[
\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \quad \text{e}\quad \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n+1}\; ,
\]
sono entrambe non regolari.
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