Carattere serie

[dilettabenedetti]

Salve a tutti, ho una serie con un parametro della quale devo stabilire per quali valori di "a" converge:

$\sum_{n=1}^infty (sqrt(n^(2a)+1) - sqrt(n^(2a)))$

Ho cercato di calcolarne il limite per $n->infty$ raccogliendo $sqrt(n^(2a)+1)$ ma il risultato non torna..
Potete darmi una mano? Grazie!

[Wilde1]

quando calcoli il limite prova a "razionalizzare" (cioè toglierti le radici al numeratore) e vedrai che il limite migliorerà

[dilettabenedetti]

sempre raccogliendo il termine "più grande"?

[dilettabenedetti]

Sto provando ma non ne vengo a capo

$ lim_(n->infty) ( sqrt(n^(2a)+1) - sqrt(n^(2a))) * (sqrt(n^(2a)+1)+sqrt(n^(2a)))/(sqrt(n^(2a)+1)+sqrt(n^(2a))$

Quindi ottengo:

$ 1/(sqrt(n^(2a)+1)+sqrt(n^(2a)) $

Poi ho cercato di raccogliere ancora ma non arrivo ad una conclusione

[quantunquemente]

allora,facciamo un po'd'ordine :
prima di tutto,è facile vedere che la serie non converge per $aleq0$

$a>0$
posto $x=n^(2a)$, si ha $sqrt(1+x)-sqrtx=1/(sqrt(x+1)+sqrtx)$ che è chiaramente asintotico,a $+infty$ ,a $1/(2sqrtx)$

[dilettabenedetti]

Pertanto è sufficiente dire che la serie converge per $a>0$ ?

$ 1/(2sqrtx) -> 1/(2sqrt(n^(2a))) -> 1/(2(n^a)) $

Per il criterio del confronto asintotico

[quantunquemente]

no,perchè non vanno bene tutte le $a>0$
la serie converge per $a>1$

[dilettabenedetti]

Si si giusto, errore mio!!

Grazie mille per il chiarimento!

[dilettabenedetti]

Avrei anche una domanda riguardo un integrale improprio con parametro $b$ :

$\int_2^infty e^(-bx+(b-1)x^2)/(x-2)^(1/4) dx $

Quello che fondamentalmente mi mette in crisi è che il parametro non si trovi all'esponente dell'incognita.. Ho provato a rigirarlo in un sacco di modi, ma sembra che nessuno sia corretto.. Potresti darmi una mano? Soprattutto per capire qual è il metodo da utilizzare in questi casi

[poppilop]

Altrimenti potresti lavorare con la prima radice raccogliendo $n^(2a)$
$sqrt(n^(2a))*sqrt(1 + 1/n^(2a)) - sqrt(n^(2a))$
Potresti ora raccogliere $sqrt(n^(2a))$ e stimare ora. Dopo la stima avresti $1/(2n^a)$ che potresti confrontare con l'armonica generalizzata